2018-2019年上海各区高中数学高三数学一模试卷试题

第一学期教学质量检测高三数学试卷

一'填空题(本大题共有12题，满分54分)只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得

4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1.已知全集口=11,集合A=(3,l][2,^o),则①人=.(1,2)

2.抛物线V=4x的焦点坐标为.(1,0)

logX1

3.不等式9]〉0的解为.(4,y)

4.已知复数z满足(l+i>z=4i(i为虚数单位)，则z的模为.2^2

5.若函数y=/(x)的图像恒过点(0,1),则函数y=/T(x)+3的图像一定经过定点—.

。，3)

6.己知数列｛4｝为等差数列，其前几项和为".若品=36,则%+。4+网=.12

7.在AABC中，内角的对边是a,4c.若/=(2+g)万"=。，则4=—.-n

8.己知圆锥的体积为业兀，母线与底面所成角为史，则该圆锥的表面积为.3兀

9.已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37,则展开式中的

第五项为.—x

8

10.已知函数/(%)=2x|x+a|-有三个不同的零点，则实数a的取值范围为.

(-co,-A/2)

11.已知数列｛。〃｝满足：解液=1007(〃一1)4+1+2018(〃+1)4(nsN*),

且6=1,%=2,若=A,则A=.1009

12.已知函数/(%)=｛%,若对任意的七«2,xo),都存在唯一的

,%<2

x2,满足玉)=/(巧)，则实数a的取值范围为.aG[-2,6)

解：当X]£[2,+00)时，负---£(0,.

1L)4再2+16I16」

当％2£(Y°,2)时,

(1)若a22,则/(%)=在(YO,2)上是单调递增函数,

所以o［；］.若满足题目要求，则［°，,

I，.二a-2v4,av6.又a22,所以aw[2,6).

a—x

|,x<a,

x-a

2,则='

若I

(2)x_a,/(x)在(fo,a)上是单调递增

,a<x<2.

\-a

函数，此时/(x)e(O,l)；“X)在［a,2)上是单调递减函数，此时,1.

若满足题目要求，则\,：.a>-2,又a<2,所以ae［—2,2).

综上，ae[-2,6).

二'选择题(本大题共有4题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项

是正确的，选对得5分，否则一律得零分.

13.“。<!”是“一元二次方程好一%+々=0有实数解”的(A)

4

(A)充分非必要条件(B)充分必要条件

(C)必要非充分条件(D)非充分非必要条件

14.下列命题正确的是(D)

(A)如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

(B)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面

(C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面

(D)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

15.将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案

有(B)种.

(A)72(B)36(C)64(D)81

16.已知点A(l,—2),5(2,0),尸为曲线y=/3—上任意一点，则AP-A5的取值范

围为(A)

(A)[1,7](B)[-1,7](C)[1,3+273(D)[-1,3+2退

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.

17.（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知直三棱柱AAG—ABC中，AB=AC=A4=l,NBAC=90°.

Cl）求异面直线AB与耳C1所成角;

B,

（2）求点用到平面ABC的距离.

解：（1）在直三棱柱4月。1一A3C中，AA.1AB,

AA_LAC,AB=AC=A4=l,ZBAC=90°

B

所以，AXB=AXC=BC=42.2分

因为，BC〃B©,所以，"BC为异面直线AB与与a所成的角或补角.....4分

在AA13C中，因为，A\B=AC=BC=6,

7T

所以，异面直线A3与耳G所成角为;......................7分

（2）设点Bx到平面AXBC的距离为h,

由(1)得S^Bc二4乂后义行二=虫，....................9分

^1]ov,232

5A4Db]bD=—2xlxl=—2,....................11分

因为，VB_ABC—^C-ABB....................12分

S=CA

所以，JMtBC'J5'AA.B.B,,解得，'=

所以，点回到平面ABC的距离为个......................14分

或者用空间向量:

（1）设异面直线$5与与G所成角为。如图建系，则港=(1,0,—1),

AZ

瓦4=（-1,1,0）,.............4分

A(0,0,1)

C.fO.lj)

4(101)

AJB•JB]G

因为，cosQ=

A3,3]G

7T

所以，异面直线与与G所成角为玄.........7分

(2)设平面ABC的法向量为％=(",v,w),则或港.

又玩=(—1,1,0),港=(1,0,—1),..........9分

n-BC=0—w+v=0

所以，由《得〃=(1,1,1)........12分

M-W=0

n-AXB=0

BxBn八

所以，点耳到平面\BC的距离d=--=—......................14分

m3

18.(本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)

已知函数/(x)=2百sinxcosx-2sin2x.

(1)若角。的终边与单位圆交于点尸寸3,二4)，求/(I)的值；

(2)当xe[-生JT，生n]时，求/(x)的单调递增区间和值域.

63

3443

解：(1)・角1的终边与单位圆交于点P(g，w),.,.sintz=w,costz=g...2分

/(a)=2-^3sinacostz-2sin2a=2^/3x-x--2x(—)2=2464分

55525

2

(2)/(%)=2^sinxcosx-2sinx=A/3sin2x+cos2x-16分

=2sin(2x+-)-l8分......

由2k兀-—<2x+—<2k兀+工得，kn――<x<kn-

26236

又xe[-工,工],所以/(x)的单调递增区间是xer_££].10分

636'6'

"日-J巧，一工＜2»工＜2

12分

63666

sin(2x+-)＜1,“X)的值域是[-2,1].14分

26

19.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：

①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：exp）

与游玩时间小时）满足关系式：E=〃+20/+16a；

②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即罩年号取

值不变）；

&超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例

关系，比例系数为50.

（1）当。=1时，写出累积经验值E与游玩时间/的函数关系式E=/Q）,并求出游玩6

小时的累积经验值；

（2）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间/的比值称为“玩家愉悦指数”，记作若

。〉0,且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数。

的取值范围.

厂+20/+16,0</<3

解：（1）E=/（O=<85,3<t<5............（写对一段得1分，共3分）

335-50/,t>5

f=6时，E（6）=35................................................................................................（6分）

(2)0W3时，+子+20

（8分）

H(f)224nt+詈24

0<4-yfa<3l9

①rn（10分）

8y/a>4

4G>3

"Q+OO)

②<（12分）

3+旦416

I3

综上，<2G[―,+CO)（14分）

4

20.（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知双曲线F：靛-6=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别是耳、F2,左、右两顶点分

别是4、4,弦48和CD所在直线分别平行于X轴与y轴，线段3A的延长线与线段CO

相交于点P（如图）.

（1）若d=（2,J5）是r的一条渐近线的一个方向向量，试求r的两渐近线的夹角。；

⑵若|冏=1,|?B|=5,\PC\=2,|PD|=4,试求双曲线T的方程;

(3)在(1)的条件下，且区4|=4,点C与双曲线的顶点不重合，直线剧和直线与

直线/:x=l分别相交于点"和N,试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是,

请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.

22

解:(1)双曲线二―4=1的渐近线方程为:

a2b-

即陵±冲=。，所以：=V，.......2分

ce

0A/302tan2/5

从而tan'=----气=4小

/21-tan2-

2

所以。=arctan4百.......................................4分

(2)设尸(下,力),则由条件知：

XP=^(\PB\-\PA\)+\PA\=^(\PB\+\PA\)=3,

yP^(\PC\+\PD\)-\PC\=；(|PD|—|PC|)=1,即P(3,1).........6分

所以A(2,l),C(3,3),................................................7分

3_J_

代入双曲线方程知：＜*?1_81_5

9分

b

8/5y2

272710分

22

(3)因为八4|=4,所以口=2,由(1)知，b=6,所以r的方程为：(=1，

22

令所以牛―兰_=1,

C41:y=^^(x+2),令x=l,所以

x0+2x0+2

C42：y=」^(x—2),令x=l,所以N(l,二^),[’分

x0-2x0-2.......।乙刀

故以MN为直径的圆的方程为：(x—l『+(y——二2^)=0,

XQ+2XQ—2

即(>_1)2+丁+(」----正)y_卑」=0,

飞一22

XQ+2X0-4

BP(x-l)2+y2+(y0--么”一，=0,14分

若以MN为直径的圆恒经过定点(x,y)

y=of-1+1

"r.曰八_X—1——

于7E卜〈/一八1)2-+厂29广八。=〈V=o?

所以圆过X轴上两个定点g,0)和(-；,0)16分

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

已知平面直角坐标系xOy,在x轴的正半轴上，依次取点4,4,4，A“(〃eN*),并

在第一象限内的抛物线犬=：x上依次取点耳，与，骂，，线(〃eN*),使得A4T4儿

(AeN*)都为等边三角形，其中&为坐标原点，设第〃个三角形的边长为了(〃).

⑴求”),7(2),并猜想:(〃)(不要求证明)；

2m

(2)令4=9f(n)-8,记tm为数列｛a,J中落在区间(9'",9)内的项的个数，设数列｛图｝

的前加项和为5个试问是否存在实数X,使得2"<S,"对任意meN*恒成立？若存在，

求出4的取值范围；若不存在，说明理由；

(3)已知数列｛2｝满足：.=与由田=与41—黄二高，数列｛g｝满足:

q=i，c〃+i=I求证:bn</(-^)<cn.

cn2

解：(1)/(1)=1,/(2)=2........................(2分)

猜想/(")=〃.........................(2分)

(2)an=9n—S........................(5分)

QQ

由9m<9“一8<92m=9m-1+-<n<92"-1+-

99

:.n=9ml+1,9^+2,……,92m-1......................（6分）

...&=92'"T—9'"T...............................（7分）

3522m-1

.Sm=（9-1）+（9-9）+（9-9）+-••+（9-9"T）

=（9+93+95+---+92M-1）-（1+9+92+---+9M-1）

9（1-92m）（l-9m）92m+1-10-9m+l八、

=-----s----:-----=...............（9分）

1-921-980

2久<3,,对任意meN*恒成立nZ/wiEJ疝nuSiugn^WB..........（10分）.

（3）仇=sin?,记么=sin%©=（，则sin限=与—cos，=sing

=a=,（"eN*）................................................（12分）

冗、rnEIsee。”一1（p

c=tan—,记g=tan%,0=一，贝=-----——=tan—n

x44tan/2

=9〃=,（"eN*）.................................................（14分）

sin尸%=tailor，

JI

当％£（0,5）时，sinx<x<tan%可知：

.TCTCc/TC、TC/\\

包=sm广〈尹=/（尹）<q,=tan广，.............................（18分）

杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研

数学学科试卷2018.12.18

一、填空题（本大题有12题，满分54分，第1——6题每题4分，第7—12题每题5分）

1、设全集。=｛1,2,3,4,5｝,若集合A=｛3,4,5｝,则立=

2、已知扇形的半径为6,圆心角为石，则扇形的面积为

3

3、己知双曲线犬-V=1,则其两条渐近线的夹角为

4、若（a+6）"展开式的二项式系数之和为8,则〃=—

5、若实数羽y满足犬+产=1,则冲的取值范围是

6、若圆锥的母线长/=5（。加），高〃=4（劭），则这个圆锥的体积等于

7、在无穷等比数列｛%｝中，lim（fll+a2++a“）=g,则4的取值范围是

8、若函数/（力=111产的定义域为集合A,集合B=（a,a+1）,且3屋A,则实数a的取

值范围—

2工74,

9、在行列式4-34中，第3行第2列的元素的代数余子式记作/（x）,则y=l+/•单）

65-1

的零点是—

10、已知复数2］=COSX+2/（X）Z；Z2=（由5出彳+（：05彳）+，，（xeRi,虚数单位）在复平面

上，设复数4/2对应的点分别为Zi，Z?,若NZ0Z2=9O,其中是坐标原点，则函数/（X）

的最小正周期

11、当0<x<。时，不等式」-+一3-22恒成立，则实数。的最大值为______

f（a-x）2

12、设d为等差数列｛%｝的公差，数列也｝的前项和7；,满足7；+g=（-1）"aeN*）,

且d=%=8，若实数m&Pk=｛x|a&_2<x<。/中｝（左eN*,左23）,贝U称zn具有性质Pk,若

是H"数列｛4｝的前"项和，对任意的weN*,521都具有性质片，则所有满足条件的人的

值为_____

二、选题题（本题共有4题，满分20分，每题5分）

13、下列函数中既是奇函数，又在区间［-1,1］上单调递减的是（)

(A)/(x)=arcsinx(B)y=lg|x|(C)〃%)=-%(D)/(x)=cosx

14、某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选

出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）

3322

（A）—（B）-（C）-（D）-

10553

15、已知/（力=1085,羽。40,5）,

设。=/[.。r6卜=/(痴1夕—。),°=片。j，则a,b,c的大小关系是

(A)a<b<c(B)b<c<a(C)c<b<a(D)a<b<c

16>已知函数/(%)=+X2+nx,记集合A={%,(%)=O,r£7?卜

集合3={x，(x)=0,xeR},若A=B,且都不是空集，则加+〃的取值范围是()

(A)[0,4](B)[-1,4](C)[-3,5](D)[0,7]

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17、（本题满分14分，第1题满分6分，第2小题满分8分）

如图，平面ABCD,四边形A3CD为矩形，PA=PB=l,AD=2,点P是尸5的

中点，点E在边8c上移动。（1）求三棱锥E-PAD的体积（2）证明：无论点E在边BC的

何处，都有AFLPE

18、（本题满分14分，第1题满分7分，第2小题满分7分）

在AA3c中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos3=2

13

4.

（1）右sinA=—,求cosC.（2）已知b=4,证明5

5，

19、(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

上海某工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是(5%+1-2

兀，

其中

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x取值范围；

(2)要使得900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利

润。

20、(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)

如图，已知点尸是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C:V=4%上存在不同的两点,

满足PA,尸3的中点均在抛物线C上，

(1)求抛物线C的焦点到准线的距离；

(2)设A8中点为且P(％,»),"(%,%)，证明：%=%

2

(3)若点P是曲线_?+匕=1(%<0)上的动点，求APA8面积最小值.

21、(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)

M+m

记无穷数列｛a,,｝的前九项中最大值为Mn,最小值为m“，令b"=”"，其中〃eN*

⑴若g=2"+88学,请写出"的值⑵求证：“数列｛%｝是等差数列”是“数列也｝

是等差数列”的充要条件;(3)若对任意“，有⑷<2018，且闻=1，请问：是否存在KGN：

使得对于任意不小于K的正整数〃，有2+1=包成立？请说明理由。

一、填空题

1、｛1,2｝:2、61；3、—:4、3：5、——:6、12万：7、0»—jkjj—»1|；8、[—1.0j：9、x=-1

10、万：11、2：12、3或4.

二、选择题

13、C；14、3；15、。；16H

三、解答题

17、(1)-；(2)力尸_1_平面尸3。：

3

18、(1)—：(2)-5

65

19、(1)[3,10]；(2)4575元

20、(1)2；(2)略：(3)6近上而■

4

21、(1)5(2)略：(3)略

虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试

高三数学试卷2018.12

一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分，第772题,

每空填对得5分，请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.

1.计算lim

…5"+4”

2.不等式上＞2的解集为

x-1

3.设全集U=R，若A={—2,—l,0,l,2},B={X|j=log3(l-x)}，则A(gB)=.

4.设常数aeR，若函数=log3（x+a）的反函数的图像经过点（2,1），则“=.

5.若一个球的表面积为4万，则它的体积为.

6.函数〃同=尤+刍卜«2,8））的值域为.

7.二项式［6+彳；的展开式的常数项为.

22

8.双曲线上-匕=1的焦点到其渐近线的距离为

43------------

9.若复数z=sm,'T（i为虚数单位），则z的模的最大值为

cos0i

10.已知7个实数1,一2,4,3瓦c,d一次构成等比数列，若

从这7个数中任取2个，则他们的和为正数的概率

为.

11.如图，已知半圆。的直径AB=4,△O4C是等边

三角形，若点P是边AC（包含端点A、C）上的

动点，点0在弧BC上，且满足OQ_LOP,则。PBQ

的最小值为.

12.若直线丁=自与曲线y=2睡*+2）Mx-1|恰有两个公共点，则实数大的取值范围为

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

12

13、已知xeR，贝『'x-一<-"是"x<l"的（）

33

A充分非必要条件B.必要非充分条件

C充分条件。.既非充分也非必要条件

14、关于三个不同平面//7,/与直线/，下列命题中的假命题是（）

A若a，尸，则a内一定存在直线平行于p

A若a与P不垂直，则a内一定不存在直线垂直于耳

C.若aLy,0Ly,ac0=l，则/_Ly

D.若a,万，则。内所有直线垂直于6

-l,x<-1

15、已知函数，（尤）=狈2_尤+1送（无）=«尤,_1〈尤<1若函数y=〃x）_g（x）恰有两

1,X>1

个零点，则实数a的取值范围为（）

A（0,+oo）B.y,O）3（O,1）C.00,—g）D（l,+oo）D.

（f0）U（0,2）

16、已知点E是抛物线C：y2=2px（p>0）的对称轴与准线的交点，点/为抛物线。的

焦点，点P在抛物线C上，在AE/P中,,若sinNEFP=〃-sinNFEP,则〃的最大值

为（）

A—B.BC.V2D.6

22

三、解答题

17、在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4,点C是底面直径AB所对弧的中点，

点。是母线%的中点.

(1)求该圆锥的侧面积与体积；

(2)求异面直线AB与CD所成角的大小.

18、已知函数/(x)=l--；；^(0>0,。片1)是定义在7?上的奇函数.

(1)求实数"的值及函数的值域；

(2)若不等式f"(x)23:3在xe[l,2]上恒成立,求实数f的取值范围.

19、某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用

地区域近似为圆面，该圆的内接四边形A8CD区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界

AB=AD=2km,BC=3km,CD=1km.

(1)求AC的长以及原棚户区建筑用地ABCD的面积；

(2)因地理条件限制，边界AD,DC不能更变，而边界可以调整，为了增加棚户区

建筑用地的面积，请在弧ABC上设计一点P,使得棚户区改造后的新建筑用地(四边形

APCD)的面积最大，并求出这个面积的最大值.

P

20.设椭圆「J+V=i,点/为其右焦点，过点尸的直线与椭圆「相交于点P,。.

2

(1)当点P在椭圆「上运动时，求线段EP的中点M的轨迹方程；

(2)如图1,点R的坐标为(2,0)，若点S是点P关于x轴的对称点，求证：点Q,S,R共线；

(3)如图2，点T是直线/:x=2上的任意一点，设直线PT,",QT的斜率分别为既,

求证：左成等差数列.

21、对于H(几wN*)个实数构成的集合石二角勺，©},记旌=6+4++，.已知由H个

正整数构成的集合A={q,〃2，，凡}(G<a2V<q,〃>3)满足：对于任意不大于SA的正整

数根,均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于根.

(1)求％,%的值；

(2)求证：“％,外,成等差数列”的充要条件是“SA=g”(〃+l)

/⑺=1一/^(">""1)”；

(3)若邑=2018.求证：〃的最小值是11,并求〃取最小值时，%的最大值.

虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试

高三数学参考答案和评分标准2018年12月

一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7T2题，每

空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.

5.—6.[472,9)

1.52.(0,2)3.{1,2}4.8

7.608.«9./±110.-11.212.(-00,0]u{l}

27

二、选择题(本大题共4题，每题5分，满分20分)

13.A14.D15.B16.C

三、解答题（本大题共5题，满分76分）

17.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.

解：（1）由已知，得圆锥的底面半径为&=2,高为。尸=2百，……2分

故该圆锥的侧面积为S=亦•Ol-H4=;rx2x4=8;r.……4分

该圆锥的体积P=1•万•（。4>•OP=8巨;r.

……6分

3/3

（2）以直线OC,OB,。尸分别为x,y,z轴，建立空间直ZA

角坐标系，则相关点的坐标为4(0,2。)，8(0,2,0),

C(2,0,0),P(0,0,273),D(0,-l,^),于是

AB=(0,4,0),CD=(-2,-1,73).-

故cos＜瓯前＞=।组.巴==-=-立.-＞

网梓|4-2V24y

因此异面直线4B与CD所成角的大小为arccos—

18.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.

解：（D由/（x）是R上的奇函数，知〃0）=0,1--匕=0,解得a=3.

此时/（x）=^r，故对于任意的有/（x）+/（一功=±1+?-：-1=o

3+13*+13-*+1'

即/（x）是R上的奇函数；因此实数a的值为3.,4分

令〃"）=**=乂则3'=胃>°，解得T<L即函数/（X）的值域为（-L］）•…6分

(2)解法1：由⑴知于是不等式人/。)23'-3可化为

3+1

(3z)2-(/+2)-3x+(r-3)<0.……8分

令3'="€[3,9](因xe[1,2]),则不等式/一(f+2)z+(r-3)4。在“e[3,9]上恒

成立.

设虱〃)=/-a+2)z+C-3),则g®40在uw[3,9]上恒成立，……10分

等价于上臂♦即W⑶EW+2)+(-3)40J1；O摩”

[g(9)S0lg(9)=81-9«+2)+(r-3)40，吟2

因此，实数r的取值范围为一号,+8).……14分

(2)解法2：由(1)知/(x)=|^,当xe[1,2]时，/(x)>0.于是不等式

。/(可羽-3可化为摩3工-3，(3*-3)(3'+1)(3'-1>-4八410分

_=3<1.=.^^..=(3-1)-g

令3、-1=ve[2,8](因xe[1,2]),则由函数夕(v)=v-2在[2,8]上递增知，

p(v)1Mx=夕(8)=”.故由0。)1皿恒成立知，实数f的取值范围为竺,+8).……14分

2_2>

19.(本题满分14分)本题共2小题，每小题7分.

解：(1)设NC=x，则由余弦定理，得

222222

cosB=上2+二3-—X,cosD=2+1-X

22-32-2-1-

由四边形N3C。是圆内接四边形，得NB+ND=180。,

故cos3+cosZ)=0,从而

224-32-?(第19题图)

=0o，=7,即4c=77.

2.2-3+2x213分

从而cosS=工=NB=60。，ZD=120°.5分

5

故HmKABco+S^DC=y.2•3•sin60°+1-2-1-sin120°=2V3.

答：/C的长为J7(km),原棚户区建筑用地/3CO的面积为26(七川),……7分

2

(2)解法1：由条件及“同弧所对的圆周角相等"得NP=NB=60°・

要使棚户区改造后的新建筑用地ZPCD的面积更大，必须使A4产0的面积最大，即点尸到

4c的距离最大，从而点P在弦4。的垂直平分线上，即以=PC10分

于是A4PC为等边三角形，其面积为比.(4C)2=2阻.……12分

44

因此，棚户区改造后的新建筑用地4PCD面积的最大值为迪+sA,”=冬旦+也=蛀

4MOC4241

即当A4LPC为等边三角形时，新建筑用地NPC。的面积最大，最大值为苧佐加2)……14分

(2)解法2；由条件及“同弧所对的圆周角相等"得NP=NB=60°.

设P/=〃,PC=v(〃,v>0),则5以4=[“V'Sin.NP=苴2电...9分

24

在&4PC中，由余弦定理，有

故S、,cS也，当且仅当〃=丫="时，等号成立.……12分

4

因此，棚户区改造后的新建筑用地ZPCD面积的最大值为速+s=迪+且=毡

4“424'

即当A4PC为等边三角形时，新建算用地"CD的面积最大，最大值为期优源I……14分

20.(本题满分16分)本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.

解：(1)易知尸(1,0),设"(XJ),P(X”M),则由M为线段尸尸的中点，得

_再+1

=卜=2一1……2分

Y_-+05=27

I”2

于是，由点尸(和必)在椭圆r：二+)2=1上，得丝-»+(2»=1,

22

即点M的轨迹方程为2

(2X-1)+8/=2.5分

3

证：（2）当过点尸的直线与x轴重合时，点P与S重合，点,0S分别为椭圆在x轴的两个

顶点，显然点Q,S,R共线.

当过点F的直线与x轴不重合时，设其方程为x=加y+1,且P（芍,必）,Q（X2,y2））

x=my+1,

则S(X],一乂)，由.丫2得(加2+2)必+2冽y-1=0,显然A>0.

[e=i,

所以必+以=—患,必力=一六,

于是RQ=(x2-2,y2)=(my2-l,y2),RS=(x,-2,-yt)=(myt-I,-yt),