基于整体建构探寻“植树问题”本质

基于整体建构理念设计教学，能让单元内的数学知识融为一体，更好地引导学生理解数学知识的本质和联系，建立结构化的数学知识体系。笔者以“植树问题”教学为例，阐释单元教学视角下帮助学生整体建构知识的教学策略。一、数形结合，感知结构共性数学课程标准指出，要“引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意義的知识结构”。本节课，笔者以三个模型的共同点为抓手，引导学生围绕路长、间隔长、棵数、间隔数四个概念展开学习，重点探究棵数与间隔数之间的数量关系。课始，笔者用课件出示如下图所示的“植树问题”情境图，引导学生明确两棵树之间的距离叫做“一个间隔”，并提问：“这些间隔的长度有什么关系呢？”学生通过观察，发现这些间隔的长度相等。笔者让学生继续观察图上有几棵树、几个间隔。学生回答：“有6棵树、5个间隔。”笔者引导学生总结棵数与间隔数的关系，学生很容易发现棵数比间隔数多1。接着，笔者用课件去掉最左端的一棵树，并提问：“现在有几棵树、几个间隔？”学生流利地回答出“5棵树”，但是对于间隔数，有的学生说“有5个间隔”，有的学生说“有4个间隔”。笔者顺势引导：“这棵树虽然不栽，但位置要留着，数学上规定这也是一个间隔，所以这里还是有5个间隔。”随后，笔者又用课件去掉最右端这棵树，并提问：“现在有几棵树、几个间隔？”有了上面的经验，学生很快答出“4棵树、5个间隔”。笔者提出质疑：“棵数从6棵降为5棵，再降为4棵，为什么间隔数始终是5个呢？”学生发现，因为路长不变，间隔长度不变，所以，即使棵数减少了，间隔数也不变，还是5个。然后，笔者用课件出示三种类型“植树问题”的图示（图略），并提问：“三条小路上各有几棵树、几个间隔？”学生观察发现：第一条小路上有4棵树、3个间隔；第二条小路上有2棵树、3个间隔；第三条小路上有3棵树、3个间隔。笔者点拨：“这就是我们这节课要研究的‘植树问题的三种类型‘两端要栽、两端都不栽、一端栽一端不栽。为了方便研究，我们可以用画线段图的方式模拟植树，一般用小圆点表示树，用线段表示间隔长度。”随后，笔者用课件演示用线段图模拟三种情况下植树的动态过程，并提问：“如果第一个间隔长是3米，这条路全长是多少米？”学生回答：“如果第一个间隔长是3米，说明第二、第三个间隔长也是3米，那么这条路全长是3×3=9（米）。”教师多次追问“有几棵树、几个间隔”，目的是让学生明确清晰的棵数和间隔数的概念；利用线段图动态模拟植树的过程，目的是促使学生对植树的过程形成清晰的表象。二、实践操作，整体建构模型动手操作是学生探索知识的重要方式。教学中，笔者在操作环节给学生提供了充分的时间和空间，让学生在操作中深刻领会“植树问题”的本质，整体构建清晰的“植树问题”模型。课堂上，笔者出示探究任务：在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，有几种栽法？请在表格（表略）中填写各种栽法的棵数、间隔数，用线段图表示这几种栽法，并思考棵数与间隔数的关系。笔者还提出如下探究要求：①想一想要画几个间隔才是20米；②每个间隔要画得一样长；③线段要用直尺画；④独立完成后小组交流。学生开始操作，笔者巡视指导。在展示交流环节，笔者先展示第一种栽法，并提问这种栽法属于哪一种类型。学生回答“两端要栽”。笔者接着问：“这种情况下，有几棵树、几个间隔？怎样表示棵树与间隔数的关系？”学生借助学习任务单上已有的探究结果，回答出“有5棵树、4个间隔，棵数=间隔数+1”。笔者继续展示第二种栽法，并提问这种栽法属于哪一种类型。学生很快回答“属于两端都不栽”。笔者又问：“这种情况下，有几棵树、几个间隔？怎样表示棵数与间隔数的关系？”学生回答：“这种栽法有3棵树、4个间隔，棵数=间隔数-1。”有了上面的经验，学生能自主说出第三种栽法属于“一端栽一端不栽”，这种情况下有4棵树、4个间隔，棵树=间隔数。至此，“植树问题”的三个模型全部呈现。教师通过设计任务活动引导学生经历操作过程，通过对比“植树问题”的三种类型发现规律，让学生从整体上理清了三种类型之间的关系，从整体上建构了“植树问题”的三个模型。三、拓展应用，升华植树模型构建线段型“植树问题”的三个模型是为了应用其解决问题，只有让学生经历应用的过程，他们才能体会到“植树问题”模型的应用价值。练习中，笔者引导学生应用“植树问题”的三种模型解决问题，帮助学生巩固知识，厘清解决“植树问题”的一般思路。首先，笔者呈现第一题：在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共需要多少棵树？有学生错误地列式解答：100÷5=20（棵）。笔者提问：“要求的树的棵数就是间隔数吗？”学生发现这是“两端要栽”的情况，由“棵树=间隔数+1”得出“20+1=21（棵）”。接着，笔者呈现第二题：大象馆和猩猩馆相距60米，绿化队要在两馆之间的小路两边栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3米，一共要栽多少棵树？学生列式解答：60÷3-1=19（棵）。笔者提问：“20是什么？为什么减1？”学生回答：“20是间隔数，因为两端不栽，棵树=间隔数-1，所以要减1。”另一名学生补充道：“‘两边表明小路两边都要栽树，因此，要用19乘2计算总棵数，即总棵数是38。”最后，笔者呈现第三题：在教学楼前植树，每隔4米栽1棵（一端栽一端不栽），32米内可以栽多少棵树？学生列式解答：32÷4=8（棵）。笔者引导学生总结：因为一端栽一端不栽，棵数＝间隔数，所以是8个间隔，也是8棵树。教学中，笔者还引导学生拓展“植树问题”的外延，升华“植树问题”的三种模型，发展解决“植树问题”的普适性经验。笔者借助问题“除了树，还能换成别的事物吗”，打开学生的思路，使学生联想到“树”还可以换成路灯、栏杆、斑马线、楼层、队列等。笔者接着说：“看来‘树可以换成很多东西，接下来我们一起解决这些与‘植树问题相似的问题。”笔者呈