第5章函数概念与性质单元综合检测（重点）（课堂培优）

第5章函数概念与性质单元综合检测（重点）一、单选题1．函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据解析式有意义可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.【解析】由解析式有意义可得，故，故函数的定义域为故选：D.2．函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的定义域，设，求出的值域，再求出的值域即可得解.【解析】由得，得，设，则，所以，即函数的值域是.故选：C3．已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于（）A．3 B．7 C．9 D．11【答案】B【分析】根据函数在上是单调函数，且，易知为定值，然后设，得到，由求解.【解析】因为函数在上是单调函数，且，所以为定值，设，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选：B．4．函数的图象是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由判断.【解析】因为函数，故选：C5．设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数定义域及其单调性列不等式，求的范围即可.【解析】∵函数是定义在上的减函数，且，∴，解得，故选：C．6．若函数，在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的开口方向以及对称轴确定出满足的不等式，由此求解出的取值范围.【解析】因为的对称轴为且开口向上，且在上是减函数，所以，所以，故选：D.7．设函数若，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别讨论和两种情况解不等式即可求解.【解析】当时，，解得：或（舍）当时，，解得：，综上所述：的取值范围是，故选：A.8．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】题目比较综合，先要通过的奇偶性，列出关于的方程组，用方程组的方法求出关于的解析式，，可以变形为，是单调性的定义，说明构造新函数之后，函数在单调递增，最后根据新函数在区间的单调性，可以分类讨论得到函数中参数的范围【解析】由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以将代入得：联立解得：，等价于，即：，令，则在单增①当时，函数的对称轴为，所以在单增②当时，函数的对称轴为，若在单增，则，得：③当时，单增，满足题意综上可得：故选：C【点睛】题目考察的知识点比较综合，涉及到：①函数奇偶性的应用②通过方程组法求解函数的解析式③构造新函数④已知函数在某一区间内的单调性，求解参数的范围需要对函数整个章节的内容都掌握比较好，才能够顺利解决二、多选题9．已知函数则下列结论中正确的是（）A． B．若，则C．是奇函数 D．在上单调递减【答案】CD【分析】A.由分段函数求解判断；B.分，，由求解判断；不成立；C.利用奇偶性的定义判断；D.画出函数的图象判断.【解析】因为A.，故错误；B.当时，，解得或（舍去），当时，，不成立；故错误；C.当时，，则，，又，所以；当时，，则，，又，所以，所以是奇函数，故正确；D.函数的图象如图所示：，由图象知在上单调递减，故正确.故选：CD10．已知偶函数满足，下列说法正确的是（）A．函数是以2为周期的周期函数B．函数是以4为周期的周期函数C．函数为偶函数D．函数为偶函数【答案】BC【分析】根据函数的奇偶性和周期性确定正确选项.【解析】依题意是偶函数，且，，所以A错误.，所以B正确.，所以函数为偶函数，C正确.若是偶函数，则，则函数是周期为的周期函数，这与上述分析矛盾，所以不是偶函数.D错误.故选：BC11．已知函数，则函数具有下列性质（）A．函数的图象关于点对称 B．函数在定义域内是减函数C．函数的图象关于直线对称 D．函数的值域为【答案】AD【分析】先利用分离常数法将进行化简，对A，B，C通过图象的平移以及的性质即可判断；对D，通过以及函数的定义域即可求解.【解析】解：，故的图象是由的图象向左平移一个单位再向下平移一个单位得到；对A，的对称中心为，函数的图象关于点对称，故A正确；对B，的定义域为，在上单调递减，上单调递减，故在上单调递减，上单调递减，在定义域内不单调，故B错误；对C，的图象关于点中心对称，故C错误；对D，且定义域为，即，即函数的值域为，故D正确.故选：AD.12．已知是定义在区间，上的奇函数，且（1），若，，，时，有．若对所有，，，恒成立，则实数的取值范围可能是（）A．(－∞，－6] B．(－6，6) C．(－3，5] D．[6，＋∞)【答案】AD【分析】先判断的单调性，求得的最大值，化简不等式，利用构造函数法，结合一次函数的性质列不等式组，由此求得的取值范围.【解析】任取，，由于，结合可知，即，所以在上递增.所以.由可得，即对任意恒成立.构造函数，则，即，解得或.故选：AD【点睛】求解多变量的不等式恒成立问题，可考虑减少变量来进行求解.三、填空题13．设（其中a､b､c为常数，），若.则___________.【答案】31【分析】由已知得，，由此能求出．【解析】（其中，，为常数，，，，．故答案为：31．14．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】关于的不等式恒成立转化为，分类讨论去绝对值求出的最小值即可.【解析】解：设，则当时，，当时，，当时，，则，要关于的不等式恒成立，则，，故答案为：.15．已知是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___.【答案】【分析】利用函数在上是减函数，可列出不等式组，由此求得a的取值范围.【解析】由于是定义在R上的减函数，∴，求得，故答案为：.16．已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】作出的函数图象，对x的符号进行讨论，根据不等式只有唯一整数解得出a的范围．【解析】作出的函数图象如图所示：①当时，，存在唯一的整数x，使得成立，只有1个整数解，又，；②当时，则，存在唯一的整数x，使得成立，只有1个整数解，又，，；当或时，只有1个整数解．故答案为：.四、解答题17．已知为定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）利用奇函数的定义即可求函数的解析式．（2）根据函数的解析式，先画出图象，然后对进行分类讨论即可求出函数的值域．【解析】（1）∵函数是定义在上的奇函数，∴，且，∴，设，则，∴，∴（2）可画出分段函数的图象如图所示，令，可解得结合图象可知：（1）当时，（2）当时，（3）当时，18．已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数在区间上为增函数.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）判断函数的奇偶性，利用奇偶性的定义证明即可；（2）作差判断符号，利用函数的单调性的定义证明即可.【解析】解：（1）是奇函数，理由如下：函数的定义域为，，，关于原点对称，且，是奇函数；证明：（2）任取，，且，则，，，，即．在，上单调递增.19．已知函数（1）证明函数在区间上的单调性；（2）若函数在区间上的最大值为，最小值为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）由二次函数的性质判断在区间上的单调性，根据单调性可求出和的值，即可求解.【解析】（1）函数在区间上单调递增；设任意的，且，则，因为，，所以，，所以，即，所以函数在区间上的单调递增；（2）函数对称轴为，开口向上，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增；所以，，，所以函数在区间上的最大值为，最小值为，所以.20．已知函数(其中a为常数).（1）若a=2，写出函数的单调递增区间(不需写过程)；（2）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题设得，讨论、，结合二次函数的性质判断的增区间即可.（2）由题设有恒成立，若将问题转化为，即可求a的范围.【解析】（1）由题设，，当时，，则对称轴为且开口向上，∴在上递增，当时，，则对称轴为且开口向上，∴在上递减，上递增，综上，的增区间为.（2）由题设，恒成立，即恒成立，当时，恒成立；当时，恒成立，∴当时，即可，则；当时，即可，则或，不合题意.当时，即可，则.综上，a的取值范围.21．设函数.（1）若对于一切实数x，恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据函数解析式，讨论或，利用二次函数性质列不等式组即可求解.（2）分离参数可得，由，即可求解.【解析】（1），，恒成立综上(2)∵∴∴∴，22．已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定函数的解析式；（2）用单调性定义证明在上是增函数；（3）解不等式.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）由，可求得函数解析式；（2）由单调性的定义证明；（3）由奇函数的性质变形不等式，再由单调性求解．【解析】（1）由题意，，，所以．（2）证明：任取，则.∵，∴，，，，，∴，即，∴在上是增函数.（3）∵在上是增函数，∴，解得.23．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立．（1）证明：函数是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3），求的取值范围.【答案】（1