微专题3数列中的函数特征（原卷版）-三轮靶向复习专题

微专题3数列中的函数特征数列是以自变量为正整数集的一类特殊函数，是高中数学中的重要内容．借助数列的函数特性解决数列问题在一定程度上简化运算，同时也对数列的几何意义有更深刻的认识．借助函数的定义、图象、性质以及构造函数几种途径研究和解决数列问题，对于解决数列通项、数列最值等问题有重要作用．数列是按照一定顺序排列的一列数[1]．数列是一种特殊的函数，定义在正整数集或其有限子集．当自变量按照正整数从小到大依次取值时，对应的一列函数值为，对应的通项公式为．由此可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征．克莱因曾说：“函数是数学的灵魂．”函数思想是数学思想的重要组成之一，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略．数列一直以来都是高考的重点内容，而数列与函数的综合应用是高考命题的重点和热点．因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数相关知识，通过其概念、图象和性质，将数列与函数联系起来，探究它们间的内在联系，从而有效的简化数列问题，最终解决问题．以函数的概念、图象、性质为工具，揭示函数思想在数列问题中的应用技巧．数列的函数特征数列的函数特征数列的周期性数列中的最值问题．.类型一数列的周期性数列{xn}满足存在正整数M，T，使得对任意大于M的自然数n，都有xn＋T＝xn成立，则称数列{xn}为周期数列，称T为它的一个周期．周期数列往往以递推式的形式给出，因此常常用递推数列的知识研究数列的周期性．【例1】若，则该数列的前2012项的乘积A．3 B． C．2 D．1【变式11】在数列中，若存在非零整数，使得对于任意的均成立，那么称数列为周期数列，其中叫数列的周期．若数列满足且，且，，当数列的正周期最小时，该数列的前2012项的和是A．1344 B．2684 C．1342 D．2688【变式12】若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立则称数列为周期数列，周期为，已知数列满足，则，有下列结论：①若，则可以取3个不同的值；②若，则数列是周期为3的数列；③对任意的且，存在，使得是周期为的数列；④存在且，使得数列是周期数列．其中正确的结论有①②③．类型二数列的单调性【例2】已知数列的前项和为，且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，且是递减数列，求实数的取值范围．【变式21】已知数列是等比数列，且满足，是数列的前项和，且，，．（1）求，的通项公式；（2）设，是数列的前项和．若对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围．【变式22】已知数列的前项和为，且满足．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．【变式23】已知数列满足，前项和满足（1）求的通项公式；（2）求的通项公式；（3）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围

类型三数列中的最值问题数列中的最值问题一般涉及到求数列{an}项的最值，前n项和Sn的最值及序号n的最值．求解数列最值的常用方法有：(1)等差数列an是关于n的一次函数，当d＝0时，Sn＝na1为一次函数；当d≠0时，Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是二次函数，用二次函数最值问题的求解方法求Sn的最值问题；(2)当a1＞0，d＜0时，有an≥0成立的最大自然数时的n使得Sn最大；当a1＜0，d＞0时，有an≤0成立的最大自然数时的n使得Sn最小；(3)先用比较法证明数列{an}的单调性，然后利用单调性求{an}的最值；(4)构造函数，利用基本不等式求最值．【例3】数列的首项为1，且满足，（1）求、的值；（2）若为单调递增数列，求的通项；（3）设，为数列的前项和，求的最小值．【变式31】已知数列满足，是的前项之和，且．（1）求数列的通项公式；（2）求函数的最大值及此时的值．

【变式32】已知数列是首项，公差为2的等差数列，数列满足；（1）若、、成等比数列，求数列的通项公式；（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围；（3）数列满足，其中，，当时，求的最小值．【变式33】已知等差数列中，，，数列的前项和为，且．（1）求，；（2）若，求数列的前项和；（3）当时，求的最小值和最大值．

1．已知数列的首项，前项和为，且．（Ⅰ）试判断数列是否成等比数列？并求出数列的通项公式；（Ⅱ）记为数列的前项和，求的最小值．2．设数列满足，，设．（1）求证：是等比数列；（2）设的前项和，求的最小值．

3．已知数列的前项和满足，为常数，，（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，，若数列的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围．4．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且与1的等差中项等于与1的等比中项．（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，若数列是单调递增数列，求实数的取值范围．

5．已知数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对任意，不等式恒成立，求实数取值范围；（3）设，数