72复数的四则运算（六大题型）（原卷版）

7．2复数的四则运算【题型归纳目录】题型一：复数代数形式的加、减运算题型二：复数加减法的几何意义题型三：复数模的综合问题题型四：复数代数形式的乘法运算题型五：复数代数形式的除法运算题型六：在复数范围内解方程【知识点梳理】知识点一、复数的加减运算1、复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：知识点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式．2、复数的加法运算律：交换律：结合律：知识点二、复数的加减运算的几何意义1、复数的表示形式：代数形式：（）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数．知识点诠释：复数复平面内的点平面向量2、复数加、减法的几何意义：如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量．设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是，由于，所以和的和就是与复数对应的向量．知识点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理知识点三、复数的乘除运算1、乘法运算法则：设，（），我们规定：知识点诠释：（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．2、乘法运算律：（1）交换律：（2）结合律：（3）分配律：【典型例题】题型一：复数代数形式的加、减运算【方法技巧与总结】解决复数加减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．例1．（2023·高一单元测试）已知，且，，则（

）A．1 B． C． D．2例2．已知，且，，则（

）A．1 B． C． D．2例3．（2023春·甘肃白银·高一统考期末）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式1．（2023春·广西桂林·高一统考期末）（

）A． B． C． D．变式2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）设复数满足，则（

）A． B． C．4 D．5题型二：复数加减法的几何意义【方法技巧与总结】复数与向量的对应关系的两个关注点（1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的．（2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．例4．（2023·高一课时练习）如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．例5．（2023·高一课时练习）设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来例6．（2023·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量对应的复数；（2）向量对应的复数；（3）向量对应的复数．变式3．（2023·高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.题型三：复数模的综合问题【方法技巧与总结】表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．例7．（2023春·高一课时练习）若，i为虚数单位，且，求的最小值.例8．（2023春·北京西城·高一北京市第十三中学校考阶段练习）已知复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．例9．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（16011665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式4．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为______．变式5．（2023·高一课时练习）若，且，则的最小值为___________题型四：复数代数形式的乘法运算【方法技巧与总结】（1）两个复数代数形式乘法的一般方法①首先按多项式的乘法展开．②再将换成．③然后再讲行复数的加、减运簯．（2）常用公式①．②．③．例10．（2023·全国·高一专题练习）设z的共轭复数是，若，，则（

）A． B． C． D．或例11．（2023·高一课时练习）计算．(1)；(2)．例12．（2023·高一课时练习）计算：(1)；(2)．变式6．（2023·高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)，其中．题型五：复数代数形式的除法运算【方法技巧与总结】（1）两个复数代数形式的除法运算步骤①首先将除式写为分式．②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数．③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．（2）常用公式①；②；③．例13．（2023春·广西贺州·高一平桂高中校考阶段练习）已知复数z满足，则z的实部为（

）A． B． C． D．例14．（2023·高一课时练习）已知复数满足则（

）A． B． C． D．例15．（2023春·安徽安庆·高一校考阶段练习）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式7．（2023春·北京昌平·高一校考期中）已知复数.(1)求；(2)若，求.变式8．（2023·高一课时练习）复数，其中为虚数单位．(1)求及；(2)若，求实数，的值．变式9．（2023·高一课时练习）计算．(1)；(2)；(3).变式10．（2023春·广西玉林·高一校考阶段练习）已知复数．(1)求z的共轭复数；(2)若，求实数a，b的值．变式11．（2023春·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考期中）若复数，复数．(1)若，求实数的值；(2)若，求．变式12．（2023·高一课时练习）计算：(1)；(2)．题型六：在复数范围内解方程【方法技巧与总结】当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数．例16．（2023春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）方程有一个根为，求的值为（

）A．5 B．3 C．4 D．2例17．（2023·高一课时练习）若虚数是方程的一个根，则实数，的值分别为（

）A．1，2 B．，2 C．1， D．，例18．（2023·高一课时练习）已知是关于的方程的一个根，求实数的值．变式13．（2023春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）已知，且，复数为虚数单位）满足．(1)求；(2)若关于的方程有实根，求的所有可能值．变式14．（2023·高一课时练习）在复数范围内解方程．变式15．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程．(1)求和．(2)写出一个以和为根的实系数一元二次方程．【同步练习】一、单选题1．（2023·高一课时练习）在复平面上，一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为，，0，则第四个顶点对应的复数不可能为（

）A． B． C． D．2．（2023·高一课时练习）复数与（a，b，c，）的积是纯虚数，则（

）A．且 B．或C．且 D．或3．（2023·高一课时练习）设，为虚数单位，则与的关系是（

）A． B． C． D．4．（2023·高一课时练习）二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根5．（2023·高一课时练习）设、、.下列命题中，假命题的个数为（

）①；②若，则；③④若，则；⑤.A．1 B．2C．3 D．46．（2023·高一课时练习）已知，则（

）A． B． C． D．7．（2023·高一课时练习）已知，且，（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么，的值分别是（

）A．， B．，C．， D．，8．（2023·高一课时练习）复数，，则的最大值为（

）A．5 B． C．6 D．9．（2023·高一课时练习）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A． B． C． D．二、多选题10．（2023春·广西南宁·高一校考阶段练习）复数满足，则下列说法正确的是（

）A．的实部为3 B．的虚部为2C． D．11．（2023·高一单元测试）下列关于复数的四个命题正确的是（

）A．若，则B．若，则的共轭复数的虚部为1C．若，则的最大值为3D．若复数，满足，，，则12．（2023·高一课时练习）已知复数，则（

）A．z的实部是 B．z的虚部是C．z的共轭复数为 D．13．（2023春·广东广州·高一校联考期中）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（

）A． B．复数的虚部为C．若复数为纯虚数，则 D．若为复数，则为实数三、填空题14．（2023春·广西玉林·高一校考阶段练习）在复平面内，复数满足，则复数在复平面内对应的点的坐标为_________.15．（2023·高一课时练习）若复数满足，则复数的值是______．16．（2023·高一单元测试）已知复数满足，且为实数，则______．17．（2023·高一单元测试）设a，，且a、b不同时为零，则______．四、