沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第5讲 期中练习(解析版)

w期中练习

M内容分析

本讲整理了关于前两章相似三角形和锐角三角比的相关练习，以帮助同学们

巩固所学.

知识结构

L向量的分解」

H已知锐角，求三角比

锐角的三角比的概念］-

U已知锐角的三角比，求锐角

选择题

【练习1］已知在AABC中，ZC=90°,ZA=cr,4c=3,那么48的长为（）

33

A.3sinaB.3cosaC.-------D.-------

sinacosa

【答案】D

【解析】根据锐角三角比的概念，可得COSA=4S,即得：AB=-=-^-.

ABcosAcosa

【总结】本题主要考查锐角三角比的概念.

【练习2】在A4BC中，若（sinA-；）+cotB-f=0,则AABC的形状是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

【答案】B

【解析】由（sinA-'］+cotB--=0,即可得sinA=—,cot8=—,由此可得ZA=30°，

<2；323

ZB=60。，则"=180。-/4-4=90。，故选B.

【总结】本题主要考查两非负数相加和为0,则两个数均为0的知识点，结合特殊角的锐角

三角比进行计算.

【练习3】已知在AABC中，NC=90。，设cos8=〃，当是最小的内角时，〃的取值范

围是（)

A.0<n<—B.0<n<—

22

C.等<〃<1

D.—</?<!

2

【答案】C

根据余弦值的增减性‘3〃>8,45。=苧

【解析】NB是最小内角，则0。<々<45。,

根据OvcosBvl,故选C.

【总结】本题主要考查锐角三角比的增减性.

【练习4］如果向量。与单位向量e方向相反，且长度为,，那么向量。用单位向量e表示

2

为（）

A.a=—eB.a=2eC.a=——eD.a=—2e

22

2/26

【答案】C

【解析】方向相反，即可表示为1=>0）,长度为g,可得〃=！，故选C.

【总结】考查平行向量的表示.

【练习5】如图，在平行四边形/BCQ中，如果丽=£,AD=b,那么£+石等于（）

A.m3B.ACC.Dti

【答案】B

【解析】根据向量的“平行四边形法则"，得A月+g=4e.

【总结】考查向量运算的“平行四边形”法则.

【练习6】下列不等式中正确的个数是（）

①sin47°>sin48°；（2）cos70°>sin30°；③tan55°>cot55°；©cos46°>sin46°；

@sin80°>cot42°.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】根据正弦值增减性，锐角正弦值随着角度增大而变大，①错误；cos700-sin200,

②错误；锐角正切值随着角度增大而变大，cot55o=tan35。，③正确；cos46。=sin44。，

④错误；cot42°=tan48°>tan45°=1,0<sin800<l,⑤错误；③正确，故选A.

【总结】考查锐角三角比的转化和相关增减性.

【练习7】如图，已知AO〃8C,AC与8。相交于点。，点G是8。的中点，过点G作

GE〃BC交AC于点£如果AO=1,BC=3,那么GE:BC等于（）

A.1:2B.1:3C.1:4D.2:3

【答案】B4-D

【解析】根据三角形一边平行线的性质定理，可得：变=丝=4，%

BOBC3金后

点G是9中点，可得：DO=GO,则有空=丝=1,/\

GEGO/\

B

则有GE:BC=AD:BC=\:3.

【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用.

【练习8］下列命题正确的个数有（）个

（1）长度相等的两个非零向量相等

（2）平行向量一定在同一直线上

（3）与零向量相等的向量必定是零向量

（4）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】相等的向量需确保方向相同，（1）错误；平行向量是同一平面内平行的两条有向线

段，不一定在同一直线上，（2）错误；只有零向量模长为0,可知与零向量相等的必定

是零向量，（3）正确；相等向量可以在同一直线上，此时四个点不能构成四边形，

（4）错误.综上所述，只有（3）正确，故选B.

【总结】考查与向量有关的相关定义的理解和把握.

【练习9】如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上,

沿着E尸折叠，使点4落在BC边上的点。的位置，且则CE的长是（）

A.10x/3-15B.10-5石C.573-5D.20-10有

【答案】D

【解析】是等边三角形，则有NC=60。，由E£）_L8C,

可得：DE=CEsinC=—CE,翻折可得=

2

即有4C=AE+CE=1#

+1CE=5,得：CE=20-10G.

4/26

【总结】考查特殊图形结合特殊锐角三角比的相关应用.

a

【练习10］如图，己知是等腰AA3C底边上的高，J.tanZB=-,/C上有一点E,满

4

足/E:CE=2:3,则tan/ADE的值是（

94C8

A.8-B.5-9-

【答案】C

【解析】作跖_LAZ)交AD于点尸，

AF_AE_2

则有所//8,——

CD7D-7C-5

a

因为AABC是等腰二角形，则有tanC=tan3=—,设AD=3a,则CD=4</,

4

由止匕可得：AF=-a,EF=-a,贝U£>尸=AO-=,tanZADE=-=-.

555DF9

【总结】考查相似三角形和相关锐角三角比的应用，通过作高把所求锐角放到直角三角形中

即可.

【练习11］如图，D、E分别是AABC的边A3、AC上的点，S.DE//BC,BE交DC于点、F,

EF:FB=l:3,则SMDE:SMCF的值为（）

A.1:9B.1:3C.2:9D.1:7

【答案】C

【解析】由。E〃BC,即得：-=—=--则有丝=」,

BCFB3ABDB2

FF11

设风£)£=〃，则S液£=2。，由不=£，即可得

rB32

/

t9

由此可得：:S^CF=a:—a=2:9.

【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，“A”字型和“8”字型的叠合应用，同时注意

等高三角形面积和相似三角形面积比与相应边长的关系.

【练习12】在一次夏令营活动中，小智从位于A点的营地出发，沿北偏东60。方向走了5km

到达B地，然后再沿北偏西30。方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西

30。方向，贝IJA、C两地的距离为（）km

108万

D.573

33

【答案】A

【解析】依题意可得到如图所示的图形，则有ZME=60。,北

N2=Z3=30。，的EF//MN//PQ,可得：N2=N4=

Nl=NE4£=60。，则有ZABC=180。—Nl-N2=90。，

Z5=ZE4B-ZC4E=3O°,则有NACB=60。，

AR

由此可得：一=sinZACB,又AB=5,

AC

即得：AC=-^—=^^hn.

sin6003

【总结】考查方位角知识的综合应用，结合特殊角的锐角三角比进行求解计算.

【练习13］如图，小方同学在晚上由路灯AC走向路灯BZ）,当他走到点P时，发现身后他

影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达。点时，发现身前

他影子的顶部刚好接触到路灯8。的底部，已知小方的身高是1.5m,两个路灯的高度

都是9m,则两路灯之间的距离是（）米

A.20B.25C.30D.35

【答案】C

【解析】设=依题意可得：BQ=AP,—=

BDAB

15r

W—=---------,解得：x=5,则AB=2O+2x=3O,

92x+20

故选C.

【总结】考查三角形一边平行线性质定理的实际应用.

6/26

【练习14］如图，在用AABC中，NABC=90。，氏4=BC,点。是Z8的中点，连接C7),

过点8作BG，8,分别交CD、C4于点£、F,与过点工且垂直于AB的直线相交于

点G,连接。尸.给出以下四个结论:

小AGFG

(1)=(2)点尸是GE的中点；(3)AF=—AB；(4)^MBC=5邑切"

ABFB3

其中正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】由ZS4G=Z/WC=90。，ZABG=NBCD,AB^AC,

可得：AABGwABCD,且有AG//BC,则有4G=BD=』8C,

2

由此可得：-=—=—=可知(1)正确；同时，CQ不

CFBFBC2

是/ACB的角平分线，可得BE#FE,则尸不是GE中点，

A

।行D

(2)错误；此时可得AF=±AC=、^AB,(3)正确；则有S'MBC=3sJF

tM=6S.DF

33

(4)错误；综上所述，正确的是(1)(3),故选B.

【总结】考查等腰直角三角形结合平行问题中特殊边角关系的综合应用.

【练习15］如图，在正方形/8C。中，点P是上一动点(不与2、8重合)，对角线/C、

8。相交于点O,过点尸分别作/C、8。的垂线，分别交/C、BD于点、E、F,交4D、

8c于点A/、N,下列结论:

(1)AAPE丝MAZE；(2)PM+PN=AC；(3)PE2+PF2=PO2；(4)APOFsABNF；

(5)当时，点尸是48的中点.

其中正确的结论有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【解析】根据正方形的性质，即可得NE4E=NM4E=45。,

由PMJLAE,AE=AE,可得AAPE丝A/VWE,(1)正确;

同理可得APBFMAVBF,则有尸PN=6PB,

则有PM+PN=0(P4+P8)=&4B=AC,(2)正确;

由/4OB=90。，可知四边形PEO尸是矩形，贝IJ有+

为等腰直角三角形，AP。尸是直角三角形，但不能确定为等腰，(4)错误；"MNs

AAMP时,则有PA/=PN,即JL4P=由止匕可得AP=BP,P为中点，(5)

正确；综上所述，正确的是(1)(2)(3)(5),故选B.

【总结】本题综合性较强，主要考查正方形性质的综合应用，注意题目中由正方形得到的边

角关系，从而利用勾股定理完成解题.

填空题

7

【练习16]a为锐角，(1)sina=—，则tanc=：(2)cota=3,则sina=

3

【答案】(1)述；(2)叵.

510

【解析】(1)由sin2a+cos*2o3*5=l,可得：cosa=^~,则tana==3叵

3cosay/55

(2)由cota=0°s°=3,可得cosa=3sina,又si—a+cos2a=1,即lOsin2a=1,

sina

即得：sina=@^.

10

【总结】考查锐角三角比之间的相互关系的转化，或利用设“6'法表示长度进行求解.

【练习17]。为锐角，且cosa='，则Jl-2sina・cosa=.

2

【答案】@二L

2

【解析】a为锐角，cosa=-f可得：a=60。，贝Usina=@,由此即可化简得

22

V1-2sina»cosa=7sin2a+cos2a-2sinacosa=|sina-cosa\=",1.

【总结】考查sin2a+cos20=l公式的灵活运用进行锐角三角比化简，也可利用特殊角的锐

角三角比的值进行计算求值.

【练习18】在正方形网格中，AABC的位置如图所示，贝iJcosNB的值为

【答案】-.

2

【解析】由图中所示格点位置，知N3=45。，则cos/B=立.

2

【总结】考查利用格点三角形得到相关角的锐角三角比.

8/26

【练习19］如图，在正方形网格上有6个三角形:①MBC；②4CDB；③ADEB；④AFBG；

⑤AHGF;©AEKF,在②~⑥中，与①相似的三角形是（填序号）.

【答案】③④⑤

【解析】由图示可得：NR4c=135。，且有

—=72,满足条件的图形只有③⑤.同时

AB

利用三边对应成比例，也可证得④成立.

【总结】考查“格点三角形''中根据勾股定理得

到特殊边角关系和长度的应用.

【练习20］已知P是线段AB的一个黄金分割点，且AB=20cm,AP<BP,那么AP=

【答案】（30-10方上机.

【解析】根据黄金分割点的意义，由AP<8P,可得BP=@」AB=104-10,则有

2

AP=A8_8P=20-（10A/5-10）=00-10⑹的.

【总结】考查线段的黄金分割点和相应的黄金比，注意线段的黄金分割点有两个.

【练习21】如果从灯塔A处观察到船B在它的北偏东35。方向上，那么从船B观察灯塔A

的方向是.

【答案】南偏西35。.

【解析】换位观察，方向变为相反，偏离角度大小不变，即得.

【总结】考查方位角的基本性质.

3

【练习22］如图，A48C中，ZC=90°,sinA=-,。为AC上

5

一点，且8。=AC,0c=7cm,则AO=.

【答案】（4\万一7卜利.

354

【解析】设3C=acm,由sinA=-,可得：AB=-a,AC=—a,根据勾股定理可得

533

BD7BC?+CD?=J/+49=4C=3a,即可解得：a=3不，贝UAC=4>/7,

3

AD=AC-DC=（4y/7-l）cm.

【总结】考查共直角边的两个直角三角形结合锐角三角比的应用，根据题目条件进行边角转

换即可.

【练习23】传送带和地面所成斜坡的坡度为1:0.75,它把物体从地面送到离地面高8米的

地方，物体在传送带上所经过的路程为米.

【答案】10.

【解析】传送带和地面所成坡度，=1:0.75,可知物体传送的水平距离即为§=6〃?，根据勾

i

股定理即可得物体在传送带经过路程为x/82+62=\0m.

【总结】考查坡度的意义和应用.

【练习24］如图，在坡度为1:2.5的楼梯表面铺地毯,己知楼梯高度4c=2米，则地毯长

度至少是.

【答案】1m.

【解析】楼梯的坡度为1：2.5,可得楼梯水平长度

AC

BC=—5/72,则地毯长度至少为2+5=7〃?.

【总结】考查坡度意义的综合应用，注意地毯要沿着

楼梯铺设，完全覆盖.

【练习25］如图，正方形A3CQ中，M是边3c上一点，且8c.若,AD=b,

4

试用a,h表不DM=

10/26

B]C

M

【答案】a--b.

4

【解析】DM=DC-MC,根据正方形的性质，可得：DC=AB=a,BC=AD=b,由

可得：BM=-BC=-h,则有

444

____3

MC=-b,DM=a——b.

44

【总结】考查平面向量的线性运算，注意把握好相等向量的定义.

【练习26］如图，点G是AABC的重心，AG1GC,4c=4,那么8G的长为

【答案】4

【解析】延长3G交AC于点。，则。是AC中点，

由AGLGC,则有GO=lAC=2,根据重心性质,

2

即可得3G=2GZ)=4.

【总结】本题主要考查重心性质的应用.

【练习27］如图，在梯形中，AD//BC,8E平分NABC交8于E,且BE_LC£),

CE:ED=2tI,如果ABEC的面积为2,那么四边形的面积是

由3EJ.CD,AG//CD,得AFLBH,又BE平打ZABC,则有AF=FG=，AG,

2

即得：£>E=，C£>=[AG=24F,由止匕可得：^-=

f—T=f-T=-4#S_w=-)

333S^FHVAF)⑴9MFH&

由/D〃8C,BE平分ZABC,可知AABH为等腰三角形,

917

则有S四边形田=2sFH一S"H=2xq-彳=：.

4st1AoZ4

【总结】考查根据平行构造相似三角形“A”字型和“8”字型的应用，相似三角形面积比即为相

似比的平方，同时考查平行线与角平分线得到等腰三角形的基本图形.

【练习28】某学校为新生设计的学生板凳的正面视图如图所示,其中BA=CD,8c=20cm,

BC、EF平行于地面AD且到地面的距离分别为40。，“、8cm.为使板凳两腿底端A、

。之间的距离为50a”，那么横梁EF=.（材质及其厚度等暂忽略不计）.

【答案】44cm.

【解析】如图，分别延长8M、CN交于点P和点①

在等腰梯形中易得AP=OQ,EM=FN,

由3C7/EFV/AD,即得：BC=MN=PQ=2Q,则有

AP=15,题中3M=40-8=32,3尸=40,由EF/MP,

FM32

即——=—,得EM=12=fM,则£F=£M+M?V+/VF=44cm.

1540

【总结】考查三角形一边平行线性质定理的实际应用.

【练习29］如图，在AABC中，NA=a,£B="AB=c,用a、/?、c表示%时=

［分案］一tanatan［5

2(tana+tan/?)

【解析】作CD,A3交AB于点。，

则有tanA=,tanB=,由此可得AD=

ADBD

CDCD市田Of*鲁小则加式詈黑

即Hn----+-----=c,可得:

tanatanp

【总结】考查锐角三角比性质的综合应用，通过作高实现边角转换.

【练习30］在Rt^ABC中，斜边A3=26，且tanA+tan8=』，则Rt^ABC的面积是

2

【答案】4.

12/26

【解析】设两直角边长分别为a、b,根据锐角三角比的定义，tanA+tanB=-,即？+3=9,

2ab2

J生=*,由勾股定理可得4+/二人笈=20,则有必=8,SMBC=~ab=4.

ab22

【总结】考查锐角三角比的基本定义结合勾股定理的应用.

AP1

【练习31］已知：如图，是AABC的中线，E为AD上的一点，且色一=一，射线CE交

EDk

AF

AB于F,

FB

【答案】—.

2k

【解析】作DG//5F交4?于点G,则有.竺=空=，

FGEDk

D

因为。为8C中点，且£)G//b,则G为即中点,

即有B尸=2FG,贝|丝=四"=」一.

FB2FG2k

【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，构造“A”“8”叠加的基本图形.

【练习32］如图，在A4BC中，力。是8c上的高，且8c=5,4。=3,矩形E/G”的顶点

F、G在边8c上，顶点E、H分别在边48和/C上，如果设边EF的长为x(0<x<3),

矩形EFGH的面积为y,那么y关于x的函数解析式是.

【答案】y=5x-*尤2

3

【解析】由EH//3C,斯//4),根据三角形一边平行线的性质,

即得：变=些EHAE加心EFEH,

——=一，则有——4-——=1,

ADABBCABADBC

即2+空=1,得：EH=5--X,y=EH-EF=5x--x2.

3533

【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，进行比例转

化解决问题.

4

【练习33］已知：在A/WC中，AC=mcosC二一，AB与8C所在直线成45。角，则AC边

5

上的高的长是______.A

【答案】或a.

【解析】作A£>_L8C所在直线于点O,/\\\

由AC=a,cosC=3,可得C£)=&a,勾股定理得A^=-a,—AB由BC所5

555少

45。角，由此需进行分类讨论，

27

(1)B在。点左侧，有NB=45。，可得30=45=3。，则5。=8+即=一〃，

55

37

由面积法可得AC边上的高长为-D—==—a；

ACa25

31

(2)8'在。点右侧，有N8'=45。，可得9。=AD=2Q,则B'C=CO-*D=-a,

55

31

—ct.——ci

由面积法可得AC边上的高长为处匹=匚"

ACa25

【总结】考查多解性问题，由直线可知题目存在多解，结合锐角三角比和面积法即可求得高

长，也可直接利用锐角三角比求高长.

【练习34］如图所示，在AABC中，BC=6,E、尸分别是/8、ZC的中点，动点P在射线

EF上,BP交CE于D,ZCBP的平分线交CE于0,当CQ=』CE时,EP+8P=.

A

【答案】12.

［解析］延长BQ交EF延长线于点G./尸

由£、尸分别是48、NC中点，得/为A4BC中位线，

则有EF//8C,可得:NG=NGBC,由NPBQ=NCBG,c

则有3P=PG,EP+BP=EG,由CQ=」CE,则有CQ=」EQ,则有生=丝=」，

32EGEQ2

由8c=6,则EG=2BC=12,即£P+8P=12.

【总结】考查角平分线与平行线产生等腰三角形的基本图形，构成“8”字型比例转换即可.

14/26

【练习35］已知在AABC中，N4cB=60。，AC=2,BC=6,将AABC沿着DE翻折，使

点8与点C重合，折痕。E交于点。，交8c于点E,那么zMCD的面积为

【答案】述.

54

（解析】作A尸_L交BC于点F,

由AC=2,ZACB=60°,可得：AF=ACsinZACB=

CF=ACco&ZACB=\,依题意可得垂直平分BC,

DE_BE_3徂口_3n„_11门.,_6>/3

-~7）倚：DE=——,S=S-S=-AF-BC--DE-BC=——.

AFBF55&ACDMBCSBCD225

【总结】考查特殊角的锐角三角比的应用和翻折性质的理解应用.

【练习36】根据三角形外心的概念，我们可引入如下一个新定义：

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.

根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在用AABC中，ZA=90°,BC=10,AB=6,

如果准外心P在边AC上，那么PA的长为

【答案】4或N.

4

【解析】根据勾股定理，可得：AC=^BC2-AB2=8.

（I）点P到点A和点C距离相等，则P为AC中点，此时则有尸A=

（2）点P到点8和点C距离相等，则有P8=PC,设24=x,则PC=8-x=P8,

在RrAABP中用勾股定理，则有尸，B|J（8-x）2=62+x2,解得：x=（.

故NP的长为4或Z.

4

【总结】本题应注意多解问题的存在性，也可采用锐角三角比进行求解.

【练习37］如图，在A4O8中，已知NAOB=90。，AO=3,BO=6,将AAO8绕顶点。逆

时针旋转到AA'OB'处，此时线段49与8。的交点E为8。的中点，那么线段B'E的

长度为______.

【答案】型.

5

【解析】作。/，49交于点尸，根据勾股定理可得：

AB=VAO2+BO2=3后,根据面积法可得：OF==°亚,

AB5

勾股定理可得：EF=4EO'-OF1=空,根据旋转性质tan8=0=』=tan9=丝，

5OB2B,F

由此可得：方尸=坦叵，B'E=B'F-EF=^~.

55

【总结】考查旋转性质的综合应用.

【练习38］如图,在直线m上摆放着三个正三角形：MBC、NHFG、ADCE，已知8c=1CE,

2

F、G分别是8C、CE的中点，FM//AC,GN//DC.设图中三个平行四边形的面积依

次是$、邑、S},若R+$3=10,则$2=

BFC

则有S：=2S2=4S],由E+S3EO,可得：鸟=2,则S2=2S1=4.

【总结】考查平行线分等边三角形也得到等边三角形以及面积等比的转化.

【练习39］如图，在矩形/8CO中，已知48=12,AD=S,如果将矩形沿直线/翻折后点

4落在边CD的中点E处，直线/分别与边/8、交于点M、N,那么MN=

BC

【解析】连结ME,依题意可得MN垂直平分AE,则有=

设4W=x,贝情ME=x,AD^S-x,

在Rt\DME中用勾股定理，则有DM'+DE2=ME2,

25

即(8-X)9-+62=V,解得：X=Z，MN1AE,ZBAD=90°,易得NDAE=ZANM,

勾股定理得：AE=^jAD2+DE2=10,则有sinND4E=S^=3=sinNAMW=A^,

AE5MN

25

即-4，,=—,得：MN-

MN512

【总结】考查翻折的性质和锐角三角比的综合应用.

【练习40］如图，在矩形/8CZ)中，AB=8,8c=9,点P在BC边上，CP=3,点。为线

段AP上的动点，射线BQ与矩形ABCD的一边交于点R,且4P=BR,则空=.

BQ------

【答案】.y..vg

【解析】由BC=9,CP=3,可得BP=BC-CP=6,

勾股定理可得：AP=^AB2+BP-=10=B/?./、

(1)当射线3。与4)交于点R时，可得4?=3P=6,由则有送上更二f；

BQBP

(2)射线8Q与CD交于点R,延长"交DC延长线于点E,

勾股定理可得：CR=NBR2-叱=M,

则有理=组，即9=且，得8=4,

CPCE3CE

,„QRRE4+V19

由此可得：—=——=—―.

BQAB8

【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，注意题目的多解性.

解答题

2

【练习41】(1)-------2sin60°cos450+3tan300sin45°.

tan30°

(2)Vtan2300-2tan300+1-A/tan70°.tan200-4cos300+4cos230°.

(3)7(l-tan6O0)2+|tan600-3tan45°|-cot40°.cot50°-|sin260°.

【答案】(1)2百；(2)2-生巨：(3)1.

3

【解析】(1)原式=/-2x更x也+3x更X也=26;

由2232

、4A/3

(2)原式=|l-tan30q-|2cos30。-Z-----

3

原式=恤1160。-1|+2-3xl1-]-gx与

(3)

【总结】考查特殊角锐角三角比的计算，去绝对值注意符号.

【练习42］如图，D、E是AABC边上的点，F、G分别是边ZC、BC上的点，且满足

AD=DE=EB,DF//BC,EGHAC.

(1)求证：FG//AB；

(2)设m=£,CB=h,请用向量£、B表示向量声.

【答案】⑴略;(2)GF=|(a-^).

nrAnii

【解析】(1)证明：.DF//BC,——=——=上，即0尸=L8。，

BCAB33

■：EGIIAC,—=—=-,即BG=、BC,

BCAB33

:.BG=DF.

,BG//DF,四边形8G。是平行四边形.

:.FG/BD,B[JFG//ABi

(2)由(1)可得：—=1,又FG//AB,则有丝=空=2,

BCAB3ABBC3

即得讦=：丽=|#_司=|仅_孙

【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，同时考查同向向量的意义和向量的线

性运算.

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【练习43］如图，AABC中，AC=BC,厂为底边A8上一点，—=-(?、”>0),。是

AFn

CF中点，联结AD并延长交BC于E.

(1)求生的值；

EC

(2)若BE=2EC,求证：CF1AB.

【答案】(1)竺也；(2)略.

n

【解析】(1)过点尸作FG//DE交8C于点G,

则有些=§£=',又。为CF中点，可知E为GC中点,

GEAFn

...—TABBEm+n

由此|(可得：一=----;

CEn

(2)证明：BE=2EC,则有些=丝卫=2,

CEn