固体物理学基础知识训练题及其参考答案

《固体物理》基础知识训练题及其参考答案

说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体

物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。

第一章

作业1：

1.固体物理的研究对象有那些

答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体

的性能与用途。

2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点

答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子

排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。

3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点试画图说

明。有那些单质晶体分别属于以上三类。

答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的

体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li,Na,K,Rb,Cs,Fe等。

面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每

个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu,Ag,Au,Al等。

六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分

布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三

边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷史。常

见的六角密排晶体有：Be,Mg,Zn,Cd等。

®0®

4.试说明，NaCI,金刚石，CsCI,ZnS晶格的粒子排列规律。

答：NaCI：先将Na♦和。•组成两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一

套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成NacI晶格；

金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶

格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格；

Cscl:：先将Cs▼和d-组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶

格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。

ZnS：类似于金刚石。

作业2：

1.什么叫原胞

解：原胞是指晶格内重复排列的最小体积单元。

2.简单立方晶格，体心立方晶格，面心立方晶格的基矢是什么设对应的立方晶格的边

长为a,以上三种晶格的体积是多少

解:简立方基矢：j4=ai

3

va2=ajV=a

<ciy=cik

面心立方基矢；

厂a一一

4丁+，)

<之2唠j+QV=%

ICl3=—(l+K)

体心立方基矢

"«i=-(i+j-k)

<«2=^(-i+j+k)V=g/;

、G=^(i-j+k)

3.对于简单晶格和复式晶格，如何确定其中原子的位置

解：对于简单晶格每个原子的位置可以写成：可％可；1W可为晶格

基矢；

对于复式晶格位置可以写成：氏=匕+】:石％云+】•尾；X表示原胞内各种等价原子之间

的相对位移。

4.如何确定某一晶列指数

(D取一晶体微粒为坐标原点0,确定原胞的基矢二，豆，二；

(2)将所考察的晶列平移过坐标原点，从原点沿着晶列方向，找出最近的一个微粒的

矢量并表示为：灭=1：工4石+13石；

(3)写出该晶列的晶向指数[(l2/3]o

5.如何确定某一晶面的密勒指数

(D取一晶体微粒为坐标原点o,确定原胞的基矢用，石石；

(2)找出考察的晶面在矢量玉,孝石;方向上的截距回.用1百

(3)将r、s、t倒数并整数化，从而得到该晶面的密勒指数(%h2%)。

作业3：

1.倒格子基矢如何利用正格子基矢求出

aa

0,

22i,j,k

aa上

,.・C=4•(0,axa=0,J=-f+k)

2924，23224

aaaa

，■0—,—,0

2222

b}=2^-x^-x—(-/+j+k)=-(-i+j+k)

a4a

%=—(/T+k)

同理可得：;即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

&=—(J+j—k)

a

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

4ypi

4=不㈠+j+k)

(2)体心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢):

4+J-h

由倒格子基矢的定义：a=—(生乂6)

aaa

"2"2"2i；j,k

aaaa3aaaa2：：

=—(J

•r。=41•、(2gxdJ/j=~~~,~~,c**

2222222

aaaaaa

2222'2'2

•M=2"+W(j+k)与(j+k)

b2=—(/+Z)

同理可得：-;即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

“二一(，+J)

所以，体心立方的倒格子是面心立方。

2、证明倒格子矢量6="乙+久仇+AA垂直于密勒指数为（44A）的晶面系。

证明：

因为。=幺一"，CB=*-%

%%h%

G=乩瓦+h2b2+llyby

G..hCA=O

容易证明

GmCB=O

所以，倒格子矢量G=/讷+1M+1电垂直于密勒指数为（力也为）的晶面系。

作业5

1.在三维情况下，正交变换表示成什么形式此时绕Z轴转e角的正交矩阵和中心反

演的正交矩阵各是什么

解：在三维情况下，正交变换可表示成:

a\\“12X、

y

z)

其中矩阵上)

是正交矩阵(i,j=1,2,3)

(COS。-sin6

sin。cos。

绕Z轴转9角的正交矩阵是:

0、

中心反演的正交矩阵为:

2.简单立方晶格有咖些对称操作

答：(1)绕立方轴转动£、71、—,有三个立方轴，共有9个对称操作；

22

(2)绕面对角线转动乃，有六条不同的面对角线，共6个对称操作；

1Ji

(3)绕立方体对角线转且、—47r,有4条不同的立方体对角线，共8个对称操作;

33

100

(4)正交变换010,即不动，也算一个对称操作;

I。0

将上述的4种可能加起来，一共是24个对称操作。

又因为中心反演定律可以使立方体保持不变，因此以上每一个转动加中心反演都是对

称操作。所以总共48个对称操作。

3.什么叫对称素

答：若某物体绕其一对称轴转a角后，其中的微粒分布仍然与原来的空间排列完全相

24

同，那么该操作对应的对称素n为：n=—,a用弧度制。

作业6

1.试证明：晶体的宏观对称性只有哪几种对称素

证明:

如下图，格点A的位置可表示为+Z2a2

围绕“过格点A点且垂直纸面的轴”转动。角后，设格点B转到另一格点？的位

由于格点A与格点B完全等价，因此围绕“过格点B点

且垂直纸面的轴”转动。角，格点A一定会转到另一格点A'的

位置。

又由于A和B都是晶体中的格点，晶体中的格点排列具有

严格的周期性，所以有：

瓦干||筋，.•.丽=nW=〃施，n为整数。

如图可得：^V=A^（l-2cos（9）

n=\-2cos。=>cos。=-

2

•••COS®必须在1与T之间。

.=2^,—,—,——,71

•・n只能有-1,0.1,2,3五个值，相应的323，它的宏观对称素还能为:

1,2.3,4,6；由于各个对称素的中心反演都是对称操作，故得：12,3,44也是对称素。

第二章

作业7：

1、三维NaCI晶体对应的马德隆常数的表达式是什么在二维、一维情况下，马德隆常

数的表达式又分别是什么

(])”|+"2+小

三维:a-E

二维:

一维:

2、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为a=2ln2o

证：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键取任一负离子作参考离子。用

r表示相邻离子间的距离。

.•.一"早―+…]

rT%r2r3r4r

马德隆常数〃=2[1

234

vM(l+x)=x-—+--—+•••

234

当x=1时有：/〃2=1---1-----1■…

234

即a=2ln2

u=M-f1

3、试由三维NaCI晶体的内能表达式r表示相邻正负离子的距离,

N表示晶体中原胞的个数，（1）其中表示相互吸引的平均库仑能和重叠排斥能各是哪一项（2）

试求出该晶体处于平衡态时的晶格常数、体变模量和结合能。

AR

解：（1）平均库仑能为N（一6），重叠排斥能为N工

Rr

（2）令半|=（）,由于〃二吊,+与，则有：

dr\rr）

勺-热=。,于是―吟声

K二dpJyd，］(n-\)aq2

体模变量:2

_烂［dV)Vo4fxi8短

V

AR

结合能：W=-u(rQ)=-N(一一+—)

2F

作业8：

1、共价结合有哪两个基本特性它们的含义分别是什么

解：（1）饱和性：是指一个原子只能形成一定数目的共价键，一个电子只能和一个与自

己自旋方向相反的电子形成一个共价键。

（2）方向性：是指原子只在特定的方向上形成共价键。

2、以金刚石的共价键为例说明什么叫“轨道杂化”

解：碳原子有6个电子，在基态4个电子填充了1S和2s轨道（每个轨道有正反自旋的一

对电子），剩下两个电子在2P壳层，在这种情况下只有两个2P电子未配对的，但是在金刚石

中，每个碳原子与4个领近原子以共价键结合，这种情况表明，金刚石中的共价键不是以上

述碳原子的基态为基础的，而是由下列2s和2P波函数组成的新的电子状态组成的:

Wn2=万(%S+一外弓,一9”、，

W"4=/(夕2s一火?一心〃+^IP.)。

这个形成新的电子状态的过程叫做“轨道杂化”。

3、金属性结合的晶体有哪些重要特点

解：（1）电子的共有化；（2）有很大的范性。

4、金属性结合的晶体是依靠哪两种作用力达到平衡的

解：依靠排斥作用力和库仑吸引作用力讪到平衡的。

作业9：

ap

1、若一个晶体的相互作用能可以表示为〃⑺二一声7,试求:

(1)平衡距离6;(2)结合能W(单个原子)；

(3)体能弹性模量；(4)若取m=2,n=10,%=3A,W=4eV,求〃值。

解:⑴吟…即爷+&。.，产圜士

⑵单个原子：吟一呆.卜力却f，。=(瞿T

(3)K=-,晶体体积卜=附/；d~uinn/、

r~TT7lv=v=~―2\wo)；

dV-eV0q%

K=k器

civo

-/n

(4)由已知条件：？=(幽］””‘1mAnPn-m

uW/=-an\\----)-^―

\ma)2n[ma

4=，°4倍+2W尸=1.2X10-95'.〃严

a=7.5xlO"V•苏

2、用林纳德一琼斯势计算Ne在体心立方和面心立方结构中的结合能之比值。

解：…闾曲%)=/(%)A,阴

=0.957

3、什么叫电离能什么叫亲和能什么叫负电性

答：原子的电离能量是使原子矢去一个电子所必需的能量，因此可以用来表示原子对价

电子束缚的强弱。

一个可以用来度量原子束缚电子能的量是亲和能，即一个中性原子获得一个电子成为负

离子时，所放出的能量。

为了比较不同原子束缚电子的能力，或者说得矢电子的难易程度，常用原子的负电性。

（负电性二（电离能+亲和能）（单位：电子伏特）

4、在元素周期表中，元素的负电性有何规律

答：有两个趋势：（1）周期表由上到下，负电性逐渐减弱；

（2）周期表愈往下，一个周期内的负电性的差别也愈小。

周期表左端I族元素Li、Na、K、Rb、Cs具有最低的负电性。

IV族至VI族具有较强的负电性。

作业10：

1、试阐述杜隆-粕替定律的内容和适用范围。

答：内容：若一摩尔固体有N个原子，它们共有3N个振动自由度，按能量均分定律，每

个自由度上有平均能量为⑥丁（平均动能和平均势能各为37/2）,该固体的摩尔热容量

为Cv=3NkB=3R

适用范围：单原子晶体：在高温下近似成立。

2、在低温下，固体的热容量随温度的变化呈现什么变化规律

答：在低温下，固体的热容量随温度降低而减小；当温度7.（）K时，固体热容量

G，—»o。

3、对于一维单原子链，试写出它对应的：

（1）动力学方程；（2）格波方程；（3）色散关系；（4）第一布里渊区；（5）玻恩-

卡曼条件。并说明其中各个字母的含义。

解:（1）动力学方程：-）一夕（〃“一），即有

••

加〃二夕（〃“+］+4T-2〃”）

（2）格波方程：%=

⑶色散方程：s2="siM（L沏即。=2、々"的

m2Vm2

（4）第一布里渊区：-4＜“＜乃即有-巴＜qjZ

aa

（5）玻恩一卡曼条件：将第一个原子和最后一个原子（即第N个原子）连接起来，使这

两个原子的平衡位置相距为晶格常数〃o

利用玻恩一卡曼条件有：A,=L.N即）=A/-N）M

24

则有：eF=T,于是可得：q=——xh（其中h为整数）

Na

又由于（-工，工］（第一布里渊区），

aa

NN

所以/?G（一一,一］,h且为整数，共有N个取值，

22

以上各式中字母的意义说明：N——维单元子链中的原子总数，晶格常数，3f格

波的振动圆频率，〃一整数，尸一力常数，qf格波的波数。

作业11：

1、对于一维双原子链，试写出它对应的:

(1)动力学方程；(2)格波方程；(3)色散关系；(4)第一布里渊区；并说明其中

各个字母的含义。

解：⑴动力学方程：P原子加心=""2“+1+〃2”-1一2〃2〃)

••

Q原子M〃2”+尸一以2〃2用一〃20+2一)

(2)格波方程：出“=A-d2”⑷

=&"*2向加

/Z2B+1

/-、2/4〕m+M|,,,,4，〃M..)二

(3)色散关系：“~〈、\=0n--------<1±[1------rj-sinaq\--

co；\mM\(m+M)

7T7T

(4)第一布里渊区：-乃<2的<+4则有：一<q<—

2a2a

格波的角频率，〃->原胞的序数，。一相邻两原子处于平衡位置的距离，

q―>波数。

2、对于一维双原子链，试写出它对应的玻恩-卡曼条件，并说明其中各个字母的含义。

解：将第一个原胞与最后一个原胞实现首尾相接，且让它们之间的距离等于其它相邻原

胞之间的距离。

利用玻恩-卡曼条件，则有〃2〃=42(〃+川，〃22=42(“+”1，

由此可得：q=/?.且一其中/?为整数，再利用第一布里渊区的取值，可得

N-la

NN

--</?<—,N是该双原子链中的原胞总数；且h为整数，共有N个取值。

22

作业12：

1.对于三维晶格振动，试写出它的格波方程，并说明其中各个字母的含义。

-i卜

答：三维晶格对应的格波方程为：uL=Ae''一

）

，一格波的波矢量；s—格波角速度（即圆频率）；R-f〔LkJ一第L个原胞中第k个

微观粒子的位移。

2.某三维晶体的一个原胞内含有n个原子，对于一定的波矢量耳，该原胞中有声学波

和光学波各多少支

答：对于一定的波矢量弓，该原胞中有3支声学波。（3n-3）支光学波。

3.对于三维晶格振动，使用波恩-卡曼条件推导：

（1）格波的波矢量弓必须满足什么条件并说明该条件中各个字母的含义。

（2）允许的弓在0空间的分布密度。

答:

D设格波的波矢量弓无目=与后及+天&，利用波恩-卡曼条件可得:,

u（R1+M4）="（瓦）

工（用+M4）=）（瓦）=@=且64

双瓦+M4）="（用）N,

即：格波的波矢量a必须满足

①6],同，63是倒格子基矢；为晶格基矢。

②乂，M.M分别晶体在4，2，小方向上的晶体原胞数，晶体的总原胞数为

N=MMM。

③%,外,％是整数，它们分别有Np%2,但个整数取值。

]VVV

2）分布密度==—H-（V是三维晶格的体积）

b.（b2b.}（24（24

作业13：

1.简述利用中子非弹性散射确定晶格振动谱的实验步骤。

答：步骤：⑴先确定中子散射前后的动量。，F；

,22

（2）根据上-----乙=±力。⑻确定格波的圆频率。⑷，再根据

2Mn

设一万一_L方行十hGn确定格波的波矢q,在0q）-q坐标系确定一个实验点。

（3）改变中子散射前后的动量。和F，利用（2）中的方法，可以确定许多对应的

①（q）和*值，从而可以在以4）坐标系确定晶格振动实验谱线。

2.为什么常用中子非弹性散射方法确定晶格振动谱。

答：（1）中子的能量口%0与晶格振动形成的格波的能量方。何）具有相同的数量级，

因此，中子与格波相互作用后，中子的能量和动量都会发生明显的改变，从而便于测量，因

而容易得到精确的结果。：2）中子的德布罗意波长正好与晶格常数同数量级。

作业14：

1.内含N个原子的晶格，利用量子理论可得到它的热容量是多少

2.爱因斯坦模型的基本内容是什么利用爱因斯坦模型可得内含N个原子的晶格

热容量是多少

答：内容：（1）晶体中所有原子的振动都被视为独立的；（2）认为所有原子的振动频率

都为同一值go

利用爱因斯坦模型可得内含N个原子的晶格热容量为:

（力4出/

=3叫（巧"一］）2

3.德拜模型的基本内容是什么爱因斯坦、德拜温度各是什么

答：内容：

D认为晶格振动频率分布在0m之间，0m是频率的最大值；

2）认为对振动模而言，晶体可视为连续分布的弹性介质，则0=cq；

爱因斯坦温度：*=学；德拜温度：。力=牡

knkn

作业15：

1.计算振动模式密度的一般公式中各个字母的含义分布是什么

答:g⑹=同9=手

AOTO卜8市y

g（⑹="fdS（对三维晶体）

（2""|▽㈤

d69等频面g和3+Ay之间的微小间距离；dn表示在刃一间隔内晶格振动模

式的数目。

2.若。=cq2c试分别对一维、二维、三维晶体计算对应的振动模式密度。

解：由G=cq??.q=

―维下：g(d?)=2x—x[=2x—x—!—=-^-f=co'2

''24Jdco242cq2

QS

二维下：g（①）=近平、生=2叫岛一1一

▽，陷（21）-2cq4就

三维下:

JdS

第四章

作业16：

1、布洛赫定理的内容是什么

答：布洛赫定理的内容是，

晶体中的电子的波函数夕⑺是以晶格周期又调幅的平面波，即

r,w(r)==〃必+/zd!+/t6z,nj,n,n

(p(r)=u(r+Rn),Rn223323

—►—>»

是整数，〃1，〃2，〃3是正格子原胞基矢。

2、一维近自由电子近似模型的内容是什么

答：一维近自由电子近似模型是假设电子所处的势场V(x)沿某一值的起伏较小，用势

场平均值声作为势场的V(.K)的零级近似，即声是势场丫(6的主要部分；把周期势场卜(工)

的起伏AV(AV=|V(A-)-V|)作为丫(x)的微扰来处理。

该模型可以用来处理金属中电子的能带结构。

3、一维近自由电子近似模型下的零级近似对应的波动方程、波函数、能量各是多少

答:波动方程

2/77dx1

零级波函数为：

零级能量为：

+V

4.一维近自由电子近似模型下，电子波函数的一级修正量、能量的二级修正量各是多少

答：电子波函数的一级修正量为:

电子能量的二级修正量为:

2斤，卜：电子的坐标

其中：匕原胞的序号数

"°〃：晶格常数

5.结合一维近自由电子近似模型说明：什么叫做能带什么叫做带隙

答：能带：在一维近目由电子近似下，电子的能量为：

七=耳+砂+欧）=（空+D）+（）+ZF~取-----6

2〃？”匹人心伫一

2mIaJ

2万NN

其中波数k可能的取值可由玻恩-卡曼条件确定为：k=h——，其中-一＜h4一,且人为

Na22

整数，共有N值。对于每一个量子数队都可以找到电子态的能量£。由于N通常为1（）23个

数量级（很大），因而，允许的女值对应电子可能的能量E是十分密集的，即为准连续的,

这种准连续的能量分布叫做能带。

带隙：在两个相邻的能带之间，如果存在空隙，这个空隙就叫做带隙，空隙的宽度

叫做带隙的宽度，带隙处表示电子不允许存在的状态。

6.在能带理论中，什么叫做能级间的排斥作用

答：相互作用的两个微观态，作用的结果是原来能级较高的态，能量变得更高了；原来

能量较低的态，能量变得下降了。这种相互作用叫做能级间的排斥作用。这是在量子力学中

普遍存在的结果。

7、三维近自由电子近似模型下的零级波函数、零级能量各是多少

答：零级波函数为：

卜㈤哧.

22

零级能量为：Ef=V+—

2m

-一一.

波动方程为：・乙『2+丫任）^7"）=£#/-）

2m

8、三维近自由电子近似模型下的能带和一维近自由电子近似模型下的能带相比，有何

不同

答：三维和一维情况有一个重要的区别是，三维近自由电子近似模型下的不同能带在

能量上不一定分隔开，它们可以发生能带之间的交叠。

在一维情况，由于在布里渊区中心和边界的简并都是二重的，可以用统一的表达式（只

是匕不同）来表达简并微扰的结果，在三维情况下不行，简并微扰计算要按不用的K,不同

的能带分别进行。

作业17：

1、紧束缚近似模型的内容是什么

答：紧束缚近似模型的内容是：被考察的电子处在第m个原子附近时，它主要受到该

原子的作用，即将该电子受到第m个原子的作用势V0-R”）作为该电子所受总势场U（广）的

零级近似，而将该晶体中第m个原子之外的所有原子对该电子的作用势场

2\丫［八^二。行）-丫（7-a）］作为总势场。（不）的微扰，其中尸和力分别是被考察的电子

和第m个原子的位置矢量。

2、写出电子在紧束缚近似模型中对应波函数的表达式。

答：电子在紧束缚近似模型中对应波函数为：匕.⑺=：»>扁鼠一瓦）；其中N

,Vm

是晶体中的原胞总数，已行一旦“）是第m个原子的势场V（>-R”）对被考察电子激发的波函

数，r和Rm分别是被考察的电子和第m个原子的位置矢量。

3、写出电子在紧束缚近似模型中对应能量的表达式，其中各个字母的含义分别是什么

答：被考察的电子处在第m个原子附近时，它主要受到该原子的作用，该电子的能量为:

E&H-»（艮）9一浜心,其中J.是第m个原子的能级；E是电子的波矢

&=城邻近

量；瓦=瓦一瓦;是从第m个原子到第n个原子的位移，A,和无分别是第m个原子、第n

个原子的位置矢量；4=-j鼠孑=：一瓦，尸和风分别是被

考察的电子和第m个原子豹位置矢量。

4、试写出简单立方晶格中由原子s态形成的能带。

答：S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此在电子能量

E⑻=4-一4-ZJ（R、卜一次“、中的j（瓦）有相同的值，简单表示为：4=/（艮），

段二最近邻

又为最近邻的矢径。s态波函数为偶宇称，即0（一，•）=>,（，•），在最近邻重叠积分

./（/?,）=-J0；（3-艮）口6）-叭8）物在）痣中，波函数的贡献为正，所以4>o。简单立

方晶体六个近邻格点为:

(。,0,0),(o,a,o),(0,0,Q),(-4,0,0),(0,0,-。)

把近邻格矢用代入E@a)-限)e-支应即可得到简单立方晶格中由原子

&工最铭近

S态形成的能量为：

E(k)=£t,-Jo-2J([cos^/z)+cos(kya)+cos(k.a)],其中c,是第m个原子的能级,

被考察的电子处在第m个原子附近。

作业18：

1、什么叫做能态密度计算能态密度的一般公式是什么

答：定义；它表示能量处在匚附近单位能量区间包含的微粒状态数，若用AZ表示能量分

Ar7

布在E-E+AE中的能量状态数目，则能态密度为：N(f)=]im==方

笈-0\EdE

2、计算晶体中电子的能态密度的公式是什么

答：对于三维晶体，计算晶体中电子的能态密度的公式为：N(E)=g%J询，

积分遍及整个等频面。

3、什么叫做费米面

答：在[空间占有电子区域与不占有电子区域的分界面叫做费米面。设晶体中N个电子,

它们在矢量k空间可填充半径为卷球，即该球内拥有的电子状态总数为N,该球面即为费米

面。

4、什么叫做价带、导带、带隙

答：价带：能量最高的满带叫价带。导带：电子只部分填满的带和能量最低的空带叫导

带。带隙：导带底和价带顶之间的能量范围叫带隙。

第五章

作业19：

1、讨论晶休中的电子在外加场（电场或磁场等）中的运动时，有哪两种方法

方2

答：一种是求解含外势场U的薛定谤方程：V2+V（万）+U]w⑺=E小了），