自动控制原理-经典控制部分-线性系统的数学模型

第2章线性系统的数学模型§2.5信号流图

信号流图是表示线性方程组变量间关系的一种图示方法，将信号流图用于控制理论中，可不必求解方程就得到各变量之间的关系，既直观又形象。当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流图，并可据此采用梅逊(Mason)公式求出系统的传递函数。2/27考虑如下简单等式这里变量xi和xj可以是时间函数、复变函数，aij是变量xj变换(映射)到变量xi的数学运算，称作传输函数，如果xi和xj是复变量s的函数，称aij为传递函数Aij(s)，即上式写为2.5.1信号流图的定义§2.5信号流图

3/27变量xi和xj用节点“○”来表示；传输函数用一有向有权的线段(称为支路)来表示；支路上箭头表示信号的流向，信号只能单方向流动。信号流图§2.5信号流图

4/272.5.2系统的信号流图

在线性系统信号流图的绘制中应包括以下步骤：（1）将描述系统的微分方程转换为以s为变量的代数方程。（2）按因果关系将代数方程写成如下形式：

§2.5信号流图

5/27（3）用节点“○”表示n个变量或信号，用支路表示变量与变量之间的关系。通常把输入变量放在图形左端，输出变量放在图形右端。§2.5信号流图

6/27例2-9

如下图所示的电阻网络，v1为输入、v3为输出。选5个变量v1、i1、v2、i2、v3，由电压、电流定律可写出四个独立方程

§2.5信号流图

7/27将变量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作节点表示，由因果关系用支路把节点与节点联接，得信号流图。

§2.5信号流图

8/272.5.3信号流图的定义和术语

节点：表示变量或信号的点，用“○”表示。支路：连接两个节点之间的有向有权线段，方向用箭头表示，权值用传输函数表示。输入支路：指向节点的支路。输出支路：离开节点的支路。源节点：只有输出支路的节点，也称输入节点，如图中节点X1。汇节点：只有输入支路的节点，如图节点X7。§2.5信号流图

9/27信号流图定义与术语混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点，如图中的X2、X3、X4、X5、X6。通道(路径)：沿着支路箭头方向通过各个相连支路的路径，并且每个节点仅通过一次。如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反馈回X2。10/27前向通道：从输入节点(源节点)到汇节点的通道。如图X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7为一条前向通道，又如X1到X2到X3到X5

到X6到X7也为另一条前向通道。回路则是指起始节点和终止节点为同一节点，且不与其它节点相交次数多于1次的封闭通路。

自回环：单一支路的闭通道，如图中的-H3构成自回环。§2.5信号流图

闭通道(反馈通道或回环)：通道的起点就是通道的终点，如图X2到X3又反馈到X2；X4到X5

又反馈到X4。11/27通道传输或通道增益：沿着通道的各支路传输的乘积。如从X1到X7前向通道的增益G1G2G3G4G5G6。不接触回环：如果一些回环没有任何公共的节点，称它们为不接触回环。如－G2H1

与－G4H2。§2.5信号流图

12/272.5.4信号流图的性质

（1）信号流图只适用于线性系统；（2）信号流图所依据的方程式，一定为因果函数形式的代数方程；（3）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；（4）节点上可把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路；（5）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的支路，可把其变为输出节点，即汇节点；（6）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。§2.5信号流图

13/272.5.5信号流图的简化

（2）乘法规则：n个同方向串联支路的总传输，等于各个支路传输之积，如图（b）。§2.5信号流图

（1）加法规则：n个同方向并联支路的总传输，等于各个支路传输之和，如图(a)所示：14/27（3）混合节点可以通过移动支路的方法消去，如图（c）。（4）回环可根据反馈连接的规则化为等效支路，如图（d）。§2.5信号流图

15/27例2-10将图2-43所示系统方框图化为信号流图并化简求出系统的闭环传递函数

§2.5信号流图

16/27解：信号流图如图(a)所示。化G1与G2串联等效为G1G2支路，G3与G4并联等效为G3+G4支路，§2.5信号流图

17/27如图(b)，G1G2与-H1反馈简化为支路，又与G3+G4串联，等效为如图(c)18/27进而求得闭环传递函数为

§2.5信号流图

19/272.5.6信号流图的增益公式

给定系统信号流图之后，常常希望确定信号流图中输入变量与输出变量之间的关系，即两个节点之间的总增益或总传输。上节采用信号流图简化规则，逐渐简化，最后得到总增益或总传输。但是，这样很费时又麻烦，而梅逊(Mason)公式可以对复杂的信号流图直接求出系统输出与输入之间的总增益，或传递函数，使用起来更为方便。§2.5信号流图

20/27式中，T—输出和输入之间的增益或传递函数；

Pk

—第k条前向通道的增益或传输函数；Δ—信号流图的特征值，称为流图特征式

=1-∑Lj1+∑Lj2 -∑Lj3 +…

∑Lj1所有不同回环增益之和；∑Lj2所有两两互不接触回环增益乘积之和；∑Lj3所有三个互不接触回环增益乘积之和；

Δk

－与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的Δ，称为第k条前向通道特征式的余子式。梅逊增益公式可表示为§2.5信号流图

21/27

步骤1：列写出输入R(s)到输出C(s)的所有前向通路步骤2：列写信号流图的所有回路步骤3：判断所有回路的接触性，利用流图的特征式公式计算流图的特征式

步骤4：判断前向通路与所有回路的接触性，计算所有前向通路的特征余因子步骤5：利用Mason公式计算输入R(s)到输出C(s)的传递函数

§2.5信号流图

22/27例2-11

利用梅逊公式求图中所示系统的传递函数

C(s)/R(s)。§2.5信号流图

23/27解：输入量R(s)与输出量C(s)之间有四条前向通道，对应Pk与Δk为：P1=G1G2G3G4G5Δ1=1P2=G1G6G4G5Δ2=1P3=G1G2G7G5Δ3=1P4=-G1G6G2G7G5Δ4=1图中有五个单回环，其增益为：L1=-G3H2，L2=-G5H1，L3=-G2G3G4G5H3，L4=-G6G4G5H3，L5=-G2G7G5H3，其中L1与L2是互不接触的，其增益之积L1L2=G3G5H1H2

§2.5信号流图

24/27系统的特征式Δ为

系统的传递函数为§2.5信号流图

25/27例2-12

求图示信号流图的闭环传递函数

解：系统单回环有：L1=G1，L2=－G2，L3=－G1G2，L4=－G1G2，L5=－G1G2系统的特征式

Δ为：

§2.5信号流图

26/27前向通道有四条：P1=-G1Δ1=1P2=G2

Δ2=1P3=G1G2Δ3=1P4=G1G2

Δ4=1系统的传递函数为

§2.5信号流图

27/272.6在MATLAB中数学模型的表示

控制系统的数学模型在系统分析和设计中是相当重要的，在线性系统理论中常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等，而这些模型之间又有着某些内在的等效关系。MATLAB主要使用传递函数和状态空间表达式来描述线性时不变系统(LinearTimeInvariant简记为LTI)。

28/272.6.1传递函数

单输入单输出线性连续系统的传递函数为：

其中m≤n。G(s)的分子多项式的根称为系统的零点，分母多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零，得系统的特征方程：D(s)=a0sn+a1sn－1+……+an－1s+an=02.6在MATLAB中数学模型的表示

29/27因传递函数为多项式之比,所以我们先研究MATLAB是如何处理多项式的。MATLAB中多项式用行向量表示，行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数，例如多项式P(s)=s3+2s+4,其输入为：

>>P=［1024］

注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。

MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为

C=conv(A,B)2.6在MATLAB中数学模型的表示

30/27例如给定两个多项式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),则应先构造多项式A(s)和B(s),然后再调用conv()函数来求C(s)>>A=［1,3］;B=［10,20,3］；>>C=conv(A,B)

C=1050639即得出的C(s)多项式为10s3

+50s2+63s+92.6在MATLAB中数学模型的表示

31/27

MATLAB提供的conv()函数的调用允许多级嵌套,例如

G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的语句来输入

>>G=4*conv(［1,2］,conv(［1,3］,［1,4］))2.6在MATLAB中数学模型的表示

32/27有了多项式的输入,系统的传递函数在MATLAB下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来,其格式为

sys=tf(num,den)其中num为分子多项式，den为分母多项式

num=［b0,b1,b2,…,bm］；den=［a0,a1,a2,…,an］；2.6在MATLAB中数学模型的表示

33/27对于其它复杂的表达式,如可由下列语句来输入

>>num=conv(［1,1］,conv(［1,2,6］,［1,2,6］));>>den=conv(［1,0,0］,conv(［1,3］,［1,2,3,4］));>>G=tf(num,den)Transferfunction:2.6在MATLAB中数学模型的表示

34/272.6.2传递函数的特征根及零极点图

传递函数G(s)输入之后,分别对分子和分母多项式作因式分解,则可求出系统的零极点,MATLAB提供了多项式求根函数roots(),其调用格式为

roots(p)其中p为多项式。

2.6在MATLAB中数学模型的表示

35/27例如,多项式p(s)=s3+3s2+4>>p=［1,3,0,4］;%p(s)=s3+3s2+4>>r=roots(p)%p(s)=0的根r=-3.3533

0.1777+1.0773i0.1777-1.0773i反过来,若已知特征多项式的特征根,可调用MATLAB中的poly()函数,来求得多项式降幂排列时各项的系数,如上例

>>poly(r)p=1.00003.00000.00004.00002.6在MATLAB中数学模型的表示

36/27而polyval函数用来求取给定变量值时多项式的值,其调用格式为

polyval(p,a)其中p为多项式;a为给定变量值

例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=－5时值：>>n=conv(［3,2,1］,［1,4］);>>value=polyval(n,-5)

value=－662.6在MATLAB中数学模型的表示

37/27［p,z］=pzmap(num,den)其中,p─传递函数G(s)=numden的极点

z─传递函数G(s)=numden的零点例如,传递函数传递函数在复平面上的零极点图,采用pzmap()函数来完成,零极点图上,零点用“。”表示,极点用“×”表示。其调用格式为2.6在MATLAB中数学模型的表示

38/27用MATLAB求出G(s)的零极点,H(s)的多项式形式,及G(s)H(s)的零极点图

>>numg=［6,0,1］;deng=［1,3,3,1］;>>z=roots(numg)

z=0+0.4082i

0－0.4082i

%G(s)的零点>>p=roots(deng)p=－1.0000+0.0000i－1.0000+0.0000i%G(s)的极点－1.0000+0.0000i2.6在MATLAB中数学模型的表示

39/27

>>n1=［1,1］;n2=［1,2］;d1=［1,2*i］;d2=［1,-2*i］;d3=［1,3］;>>numh=conv(n1,n2);

denh=conv(d1,conv(d2,d3));>>printsys(numh,denh)numh/denh=%H(s)表达式>>pzmap(num,den)%零极点图>>title(‘pole-zeroMap’)2.6在MATLAB中数学模型的表示

40/27零极点图如图所示：2.6在MATLAB中数学模型的表示

41/272.6.3控制系统的方框图模型

若已知控制系统的方框图,使用MATLAB函数可实现方框图转换。

1.串联

如图所示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series()来求G1(s)G2(s),其调用格式为

［num,den］=series(num1,den1,num2,den2)其中：2.6在MATLAB中数学模型的表示

42/272.并联如图所示G1(s)和G2(s)相并联,可由MATLAB的并联函数parallel()来实现,其调用格式为

［num,den］=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：2.6在MATLAB中数学模型的表示

43/273.反馈

反馈连接如图所示。使用MATLAB中的feedback()函数来实现反馈连接,其调用格式为

［num,den］=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)式中：sign为反馈极性,若为正反馈其为1,若为负反馈其为－1或缺省。44/27例如

G(s)=,H(s)=,负反馈连接。

>>numg=［1,1］;deng=［1,2］;>>numh=［1］;denh=［1,0］;>>［num,den］=feedback(numg,deng,numh,denh,－1);>>

printsys(num,den)num/den=2.6在MATLAB中数学模型的表示

45/27MATLAB中的函数series,parallel和feedback可用来简化多回路方框图。另外,对于单位反馈系统,MATLAB可调用cloop()函数求闭环传递函数,其调用格式为

［num,den］=cloop(num1,den1,sign)2.6在MATLAB中数学模型的表示

46/272.6.4控制系统的零极点模型

传递函数可以是时间常数形式,也可以是零极点形式,零极点形式是分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。MATLAB控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间的转换函数,其调用格式分别为

［z,p,k］=tf2zp(num,den)［num,den］=zp2tf(z,p,k)其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式,而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。

2.6在MATLAB中数学模型的表示

47/27例如

G(s)=用MATLAB语句表示：>>num=［12241220］;den=［24622］;>>［z,p,k］=tf2zp(num,den)z=－1.9294－0.0353＋0.9287i－0.0353－0.9287i

2.6在MATLAB中数学模型的表示

48/27p=－0.9567＋1.2272i－0.9567－1.2272i－0.0433＋0.6412i－0.0433－0.6412i

k=6即变换后的零极点模型为G(s)=2.6在MATLAB中数学模型的表示

49/27可以验证MATLAB的转换函数,调用zp2tf()函数将得到原传递函数模型。

>>［num,den］=zp2tf(z,p,k)num=06.000012.00006.000010.0000den=1.00002.00003.00001.00001.0000

即

2.6在MATLAB中数学模型的表示

50/272.6.5状态空间表达式

状态空间表达式是描述系统特性的又一种数学模型,它由状态方程和输出方程构成,即

x(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)式中

x(t)∈Rn

称为状态向量,n为系统阶次;A∈Rn×n

称为系统矩阵;B∈Rn×p

称为控制矩阵,p为输入量个数;C∈Rq×n

称为输出矩阵;D∈Rq×p

称为连接矩阵,q为输出量个数。

2.6在MATLAB中数学模型的表示

51/27在一般情况下,控制系统的状态空间表达式项简记为(A,B,C,D)。

例如：设一个双输入双输出系统的状态空间表达式为2.6在MATLAB中数学模型的表示

52/27系统模型可由MATLAB命令直观地表示：>>A=［1,2,4;3,2,6;0,1,5］>>B=［4,6;2,2;0,2］>>C=［0,0,1;0,2,0］>>D=zeros(2,2)MATL