辽宁省鞍山市高新区2024-2025学年上学期九年级期中测试数学试卷

数学试卷考试时间：90分钟试卷满分：120分一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1.下列关于的函数中，一定是二次函数的是（）A. B.C. D.2.下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.若是方程的一个解，则的值为（）A.-2 B.-1 C.1 D.24.在中，，若，则的正切值等于（）A. B. C. D.5.将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（）A. B.C. D.6.两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的面积比为（）A.1：2 B.1：4 C.2：3 D.3：47.如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，若设路宽为m，则应满足的方程是（）A. B.C. D.8.如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛通过凸透镜所成的虚像.已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（）A. B. C. D.9.如图所示是二次函数（）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①； ②方程一定有一个根在-2和-1之间；③方程定有两个不相等的实数根； ④；⑤对于任意实数，都有.其中，正确结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.菱形的边长为，，将该菱形绕顶点在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（）A. B. C. D.二、填空（共5小题，每题3分，共15分）11.抛物线的顶点坐标是_____.12.计算：_____.13.如图，在中，点，分别在，上，，，且的，，即的长为_____.14.如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为0.9米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米.身高为1.4米的小吉站在距点水平距离为米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则的取值范围是_____.15.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，.当为直角三角形时，则的长为_____.三、解答题16.（8分）解方程（1）； （2）17.（8分）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为；（1）无人机在点处时距离教学楼底端点的距离.（2）求教学楼的高度.（结果均精确到，参考数据：，，）18.（6分）如图，抛物线（1）求证：直线与抛物线总有两个交点（3分）（2）若直线与抛物线有两个交点的横坐标分别为，，当时，求的值；（3分）19.（9分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示x…-3-2-101…y…040…（1）求二次函数图象的解析式（2分）（2）请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象；（3分）（3）根据图象回答下列问题：（4分）①当时，的取值范围为_____；②当时，的取值范围为_____；③若抛物线与x轴交点为A，与y轴交点为B，抛物线顶点为P，则_____20.（10分）如图，在圆中，弦、相交于点，已知，.（1）求证：；（2）如果圆的半径，，求的长.21.（9分）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办.“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展.亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”.亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，某零售店以每个32元的价格购进了“滨滨”吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个“滨滨”吉祥物.（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率（4分）；（2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，该零售店每个售价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？（5分）22.（12分）综合与探究：在中，，为的中点，的两边分别交直线，于点，，且.【问题探究】如图1，若，点在线段上，点在线段上，①判断与的数量关系是_____.②求证：；【拓展延伸】若，，连接，当时，求的长.23（13分）对于某一函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”.例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图2所示，且它的“镜面函数”的表达式为：（1）求函数的镜面函数；（结果写成顶点式）（2分）（2）若直线与函数的镜面函数有且只有三个交点，求的值；（4分）（3）当时，函数的镜面函数的最大值为3，直接写出的值（3分）（4）函数的镜面函数与轴有不同的交点个数时，直接写出的取值范围.（4分）

数学答案一、选择题：（共10小题，每题3分，共30分）题号12345答案CCAAC题号678910答案BBACD二、填空题：（共5小题，每题3分，共15分）11.；12.；13.；14.；15.或或三、解答题：（共8小题，共75分）16.（8分）答案略17.（1）约500米，答案正确给3分（2）约17米，答案正确给5分18.（6分）（1）证明：，整理得，，，即直线与抛物线总有两个交点（3分）（2），，，或，的值为2或；（3分）19.（9分）（1）（需过程）（2分）（2）3，3，图略（3分）（3）①或（1分）②（1分）③3或1（2分）20.（1）（4分）证明：如图，，，，即，；（2）（6分）21.（1）（4分）由题意，设每次上涨的百分率为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）.答：每次上涨的百分率为.（2）（5分）由题意，设每个售价为元，每天的利润.当时，每天的最大利润为9000元.答：该零售店每个售价62元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元22.（1）①答案正确给1分②略