数学素材：二维形式的柯西不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨“思考”：你能简明地写出定理1的证明吗？答：(a2＋b2）（c2＋d2)－(ac＋bd）2＝(a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2）－（a2c2＋b2d2＋2abcd)＝（ad)2＋（bc)2－2abcd＝（ad－bc）2≥0.所以，(a2＋b2）（c2＋d2)≥(ac＋bd)2。当且仅当ad＝bc时等号成立．“探究":试从不等式①推导不等式②，再进行反方向的推导,从数形结合的角度体会两者的等价关系．答:设α＝（a，b)，β＝（c，d）．①⇒②：因为（a2＋b2）(c2＋d2)≥(a2＋b2)(c2＋d2），所以(a2＋b2）(c2＋d2）≥（a2＋b2)（c2＋d2)cos2θ，即eq\r(a2＋b2）eq\r(c2＋d2)≥│eq\r（a2＋b2)eq\r（c2＋d2)cosθ│因此，│α││β│≥│α·β│。②⇒①：因为│α·β│＝││α││β│cosθ│≤│α││β│（其中θ为向量u,v的夹角)．所以α·β＝ac＋bd＝eq\r（a2＋b2）eq\r（c2＋d2)cosθ，(ac＋bd）2＝(a2＋b2）（c2＋d2)cos2θ≤（a2＋b2)（c2＋d2)．数形结合略．当且仅当α与β同向，即ad＝bc时等号成立．“探究”：请结合平面直角坐标系，解释不等式④的几何意义．答：如图，|CA｜＋|CB｜≥|AB｜，即在△ABC中两边之和大于第三边．当与反向时，等号成立．习题3.11．解：函数的定义域为［5，6]，且y＞0，y＝3eq\r(x－5）＋4eq\r(6－x)≤eq\r（32＋42)·eq\r((x－5)＋（6－x)）＝5×1＝5。当且仅当4eq\r(x－5）＝3eq\r(6－x)，等号成立，即当x＝eq\f(134，25）时,函数取得最大值．2．解：三维形式的柯西不等式为：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(aeq\o\al（2，1）＋aeq\o\al（2，2)＋aeq\o\al（2，3）)（beq\o\al(2,1）＋beq\o\al（2,2)＋beq\o\al(2，3)）≥（a1b1＋a2b2＋a3b3）2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，3）或者存在一个数k，使得ai＝kbi（i＝1，2,3)时等号成立．设a1，a2，a3，b1，b2，b3,c1，c2，c3是实数,则eq\r((a1－b1)2＋(a2－b2)2＋（a3－b3)2）＋eq\r(（b1－c1）2＋(b2－c2)2＋（b3－c3)2)≥eq\r((c1－a1)2＋（c2－a2)2＋（c3－a3)2).3．证明：由柯西不等式,(x＋2y）2≤［（eq\r(2）x）2＋(eq\r（3）y）2]eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，\r(2）))）2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2,\r（3)））)2))＝（2x2＋3y2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）＋\f(4，3）)）≤6×eq\f(11，6）＝11，∴x＋2y≤eq\r(11）.4．证明：因为a2＋b2＝1,cos2θ＋sin2θ＝1，故由柯西不等式可知(bsinθ＋acosθ)2≤（a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ）＝1.∴|bsinθ＋acosθ｜≤1。5．证明：∵（ax1＋bx2)（bx1＋ax2)＝（ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[（eq\r(ax1)）2＋(eq\r（bx2)）2］·[（eq\r(ax2))2＋(eq\r(bx1））2]≥(aeq\r(x1x2)＋beq\r（x1x2)）2＝x1x2(a＋b）2＝x1x2，∴（ax1＋bx2)（bx1＋ax2)≥x1x2.6．解：将x＋2y＝1看成一条直线，则x2＋y2就是坐标原点到直线上任一点（x，y)的距离的平方．故最小值为d＝eq\f(1，\r(1＋22)）＝eq\f（\r(5），5)，当且仅当x＝eq\f（1，5）,y＝eq\f（2，5）时，x2＋y2取得最小值,且最小值为eq\f(\r(5),5）。7．解:由柯西不等式,可知eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（a＋\f（1，b)))eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2b＋\f(1，2a)))＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,b）＋a))eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2b＋\f（1，2a）)）＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,\r（b)））)2＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\r（a)））2))eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1((\r（2b））2＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,\r(2a）））)2）)≥eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,\r(b))·\r(2b）））＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r（a)·\f(1,\r（2a)）)）)）2＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r(2)＋\f（1，\r（2））））2＝eq\f（9,2)。当且仅当eq\f（1,\r(b））·eq\f(1，\r（2a))＝eq\r（a）·eq\r（2b),即ab＝eq\f(1，2）时,等号成立．8．证明:设x1，x2＞0，则由二维形式的柯西不等式有(px1＋qx2）（p＋q）≥（eq\r（px1)·eq\r（p）＋eq\r(qx2）·eq\r（q))2＝（peq\r（x1）＋qeq\r（x2）)2。又∵p,q＞0，p＋q＝1,∴eq\r（px1＋qx2)≥peq\r（x1)＋qeq\r（x2)。①又∵f（x）＝eq\r（x），∴①式可变形为pf(x1）＋qf(x2)≤f(px1＋qx2)．9．解：∵y＝3sinx＋4eq\r（1＋cos2x)＝eq\f(3，\r（2)）eq\r(2）sinx＋4eq\r（1＋cos2x）≤eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(9,2）＋16））eq\r(2sin2x＋(1＋cos2x))＝