5.1.2 导数的概念及其几何意义课件（1）高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2导数的概念及其几何意义（1）问题1：高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2：抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率——平均变化率——平均变化率——瞬时变化率——瞬时变化率复习引入思考1：解决这两类问题时有什么共性？这两类问题都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.探究：平均变化率思考2：

一般地，对于函数

y＝f(x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点(如

x＝

x0）处的瞬时变化率吗？追问1：为了研究函数

y＝f(x)在

x＝

x0处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？为了研究函数

y＝f(x)在

x＝

x0处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量Δx（可以是正值，也可以是负值，但不为

0）.计算自变量x从x0变化到x0+Δx这个过程中函数值的平均变化率.追问2：函数

y＝f(x)的自变量

x从

x0变化到x0+Δx这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？自变量

x：函数值

y：

函数

y＝f(x)从x0到的平均变化率：平均变化率对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x).这时，x的变化量为∆x，y的变化量为

∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0).我们把比值

，即叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率.归纳总结追问3：函数

y＝f(x)在

x＝x0

处的瞬时变化率该如何表示呢？无限趋近于无限趋近于无限趋近于探究2：导数的概念取极限导数的概念如果当∆x→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作或，即归纳总结说明：1.f′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；2.f′(x0)与∆x的具体取值无关；3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.

问题1高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率——瞬时变化率——瞬时变化率——平均变化率——平均变化率思考3：根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，比如效率、国内生产总值的增长率等.例1：例题解：为了便于计算，我们可以按下述步骤进行：解：课本P65（1）求函数值的增量:（2）求平均变化率:（3）取极限，得导数:反思归纳简记：一差、二比、三极限.求函数

y＝f(x)在

x＝x0

处导数的步骤:1.设函数f(x)在x0处可导,则=(

)A.f′(x0)

B.f′(-x0)

C.-f′(x0)

D.-f′(-x0)解析：练习选C.解：课本P66例题例2：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.已知在第xh时，原油的温度(单位:°C)为

.计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解：在第2h和6h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6).课本P65在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3℃/h与5℃/h.说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.

一般地，f'(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近

的变化情况.

f'(x0)为负，体现了下降的变化趋势；

f'(x0)为正，体现了上升的变化趋势.追问：

和在这个实际问题中的意义是什么？在例2中，计算第3h与第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

解：在第3h附近，原油温度大约以1℃/h的速率下降；在第5h附近，原油温度大约以3℃/h的速率上升.练习课本P66解：在第2s和6s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和

v′(6).例3：一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为

，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为2m/s2与－6m/s2.说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.例题课本P661.一质点A沿直线运动，位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t=2.7s时的瞬时速度.练习课本P662.设函数f(x)=x2-1.求:(1)当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；(2)函数在x=1处的导数.课本P66随堂检测1.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则

等于（

）A.4 B.4x C.4＋2ΔxD.4＋2(Δx)22.已知f(x)＝

，且f′(m)＝－

，则m的值等于（

）A.－4 B.2 C.－2 D.±24.已知函数f(x)＝

，则f′(1)＝____.5.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的