4.2.2等差数列的前n项和公式课件(1)高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式(1)复习引入1+2+3+…+50+51+…+98+99+100

1+100=101

2+99=101

3+98=101

……

50+51=101高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了，即高斯的算法实际上解决了求等差数列

1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧①前100项的和的问题.思考1:高斯在求和过程中利用了数列的什么性质？你能从中得出求数列的前n项和的方法吗？探究：等差数列的前n项和的公式据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋‧‧‧＋100=？高斯(1777—1855）德国著名数学家高斯的算法:(1+100)+(2+99)+‧‧‧+(50+51)=101×50=5050.对于数列1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧，若设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为可以发现，高斯在计算中利用了

这一特殊关系.这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+aq=as+at，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算.思考2：你能用高斯的方法求1+2+‧‧‧+100+101吗?(1+101)+(1+100)+‧‧‧+(50+52)+51=102×50+51=5151.或(0+101)+(1+100)+‧‧‧+(50+51)=101×51=5151.将上述方法推广到一般:求1+2+‧‧‧+n.于是有

当n是偶数时，有

当n是奇数时，有

∴对任意正整数n，都有思考3:我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论?这种求和方法叫倒序相加法把这种倒序相加的方法推广到求等差数列{an}的前n项和,可得(1)(2)思考4:不从公式(1)出发，你能用其他方法得到公式(2)吗？等差数列的前n项和的公式：含a1和d含a1和an归纳总结说明：当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n

项和公式.a1(n-1)dna1anna1an例题例1：

已知数列{an}是等差数列.课本P21例题例1：

已知数列{an}是等差数列.练习根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an}的前n项和Sn.(1)a1＝5,an＝95,n＝10;(2)a1＝100,d＝－2,n＝50;(3)a1＝－4,a8＝－18,n＝10;(4)a1＝14.5,d＝0.7,an＝32.课本P22根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an}的前n项和Sn.(4)a1＝14.5,d＝0.7,an＝32.课本P222.等差数列－1,－3,－5,‧‧‧的前多少项的和是－100?课本P22例2：已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?例题分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式

后，可得到两个关于

与d的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得

与d.课本P21归纳反思练习1.在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16.课本P232.在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.课本P231.（2013·安徽高考）设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，，则a9=（）A.-6B.-4C.-2D.2解析：选A.由联立解得，所以随堂检测3．设{an}为等差数列，Sn

为{an}的前n项和，S7＝7，S15＝75，求Sn.4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25.(1)求{an}的通项公式；解：设公差为d，由S5＝a5＋a6＝25，∴a1＝－1，d＝3.∴{an}的通项公式为an＝3n－4.(2)求等差数列{an}的前n项和Sn.解：由(1)知an＝3n－4，得{an