4.3.1 等比数列的概念课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念(1)复习引入1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列：

情境引入第2项起，每一项分别是前一项的9，100，5倍.2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：

木棰长度第一天取半第二天取半第三天取半第四天取半.........第天取半n设木棰长度为13.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20分钟就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是？第2项起,每一项是前一项的2倍2,4,8,16,32,64,…54.某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是：6思考1：请同学们仔细观察以下六个数列,类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律?你发现了什么规律?共同特点:从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.如果用{an}表示数列①，那么有

取值规律:从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于9．探究一:等比数列的概念6如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于___一个常数，那么这个数列就叫做__________.常数叫做等____数列的_____.等比数列2比同等比数列公比等差数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d表示公比通常用字母q表示(q≠0)比思考2：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？定义符号思考3：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？思考4：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？思考5：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？常数列一定是等差数列，公差为0；非零常数列是等比数列，公比为1.非零常数列既是等差数列又是等比数列,公差为0,公比为1.等差数列的项、公差均可以是0,但等比数列的项和公比均不可以是0.等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.例如数列①~⑥的公比依次为9,100,5,0.5,2,1+r.等比数列的符号语言：归纳总结（2）因为等比数列的每一项都可能作分母，所以等比数列的每一项均不为0，即注：（1）等比数列的公比可正，可负，但不可为0；判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比.练习课本P31等差中项

等比中项

如果三个数a,A,b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.如果三个数a,G,b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项.定义a,A,b成等差数列a,G,b成等比数列关系思考6：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？探究二:等比中项等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2=ab.归纳总结注意：若a,b同号,则有两个等比中项;若a,b异号,则无等比中项.

下列两个数是否有等比中项？（1）1，9

（2）-1，-4（3）-1，1练习思考7：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？等差数列

等比数列不完全归纳法探究三:等比数列的通项公式累乘法累加法等差数列

等比数列归纳总结等比数列通项公式的推广:对任意的、，在等比数列中，有两式相除，得∴a1,an,n,q知三求一等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.a1a3a5a7q2820.2已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.416500.080.0032练习课本P31指数型函数思考9：类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？思考8：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？qq>10<q<1a1>0a1<0q=1a1从图象上看，表示等比数列{an}中的各项的点是指数型函数图象上一群孤立的点.思考10：公比q＞0且q≠1的等比数列的图象有什么特点？对于数列{an},若点(n,an)(n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c,q为常数，且c≠0,q≠0,q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论.练习课本P31

例题解法1:课本P29

解法2:等比中项课本P29在等比数列{an}中，(1)a1＝1，a4＝8，求an；(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.练习例2：数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80,第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.例题课本P30(1)如果是三个数成等比数列，可设为

，a，aq对称设元法(2)如果是四个数成等比数列，可设为

，，aq，aq31.与等差数列有关的数的设元技巧：2.与等比数列有关的数的设元技巧：(1)如果是三个数成等差数列，可设为a-d，a，a+d(2)如果是四个数成等差数列，可设为a+3d，a-d，a+d，a+3d反思归纳有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．练习随堂检测1.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于（

）A.－24 B.0 C.12 D.24解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去).第2项为－6，故数列的第4项为－24.2.已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么（

）A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9解析：∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9.4.在等比数列{an}中.(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；所以q2＝4，所以a7＝a5q2＝8×4＝32.(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.解：a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，a5－a1＝a1(q4－1)＝15，所以q2－1＝3，所以q2＝4，所以a1＝1，q＝±2，所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1.5.已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两个之积为16，前后两个数之积为-128.求这四