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文档简介

一、案例

二、知识要点

三、应用6.9

矩阵的初等变换，矩阵的秩一、案例求矩阵

的秩。

（一）矩阵的初等变换二、知识要点【定义6.9.2】

满足以下条件的矩阵称为阶梯形矩阵：（1）矩阵的所有零行（若存在的话）在矩阵的最下方；（2）各个非零行的首个非零元素的列标随着行标递增而严格增大．例如:

【定义6.9.3】

满足以下条件的阶梯形矩阵称为行最简阶梯形矩阵：（1）非零行的首个非零元素都是1；（2）首个非零元素所在列的其余元素都为0．例如:

【定理6.9.1】

任一矩阵经过若干次初等行变换都可化成阶梯形矩阵，进而化为行最简阶梯形矩阵．【例题6.9.1】

用初等行变换把矩阵化为行最简阶梯形矩阵．（阶梯型矩阵）

解

（行最简阶梯型矩阵）．

【练习6.9.1】

用初等行变换把矩阵

化为行最简阶梯形矩阵．

解

（阶梯型矩阵）

（行最简阶梯型矩阵）．

（二）矩阵的秩

矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用．例如

有4个三阶子式，18个二阶子式．

【定义6.9.5】

若矩阵A中不为零的子式的最高阶数是r，则称r为矩阵A的秩，记作

结论：（1）

（2）对于

，有

（3）若

，则A中至少有一个

，而所有的

【定义6.9.6】

设

,若

,则称A为满秩方阵;若

,则称A为降秩方阵;【例题6.9.2】

求下列矩阵的秩．解

A的所有三阶子式（4个）

而

，所以

因为所以

【练习6.9.2】

求下列矩阵的秩．解

因为

，所以

B的所有三阶子式（4个）

而

，所以

（三）利用初等变换求矩阵的秩【定理6.9.2】

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩（证明略）．【定义6.9.2】

矩阵A经过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵，则该阶梯形矩阵非零行的个数r称为矩阵A的秩，记为r(A)，即

【例题6.9.3】

求r(A)，其中

解

由此可看出

注意：在具体的解题过程中，如果A经过几次初等变换后即可看出r(A)的秩时，就不

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