高职数学课件 1.2极限

1.2极限1.2.1、数列的极限1.2.2、函数的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”(1)、割圆术：播放——刘徽概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积(2)、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”(3)(4)(1)即1.2.1数列的极限（2）即即即2.数列的极限数列（1）当n无限增大时,xn=无限趋近于常数1,

即数列（1）以1为它的变化趋向；

数列（3），当n无限增大时，其奇数项为1，偶数项为-1，随着n的增大，它的通项在-1,+1之间变动，所以当n无限增大时，没有确定的变化趋向；数列（4）当n无限增大时，xn也无限增大．

数列（2）当n无限增大时,无限趋近于常数0,

即数列（2）以0为它的变化趋向；

对于数列,如果当无限增大时，无限趋近于某个确定的常数,则称常数为数列的极限，收敛于或(没有极限,我们称数列是发散的．,记为）．若数列定义1通项或称数列例1

观察下列数列并求其极限：（1）（2）（3）（4）还是采用列表的方法：（1）—（2）题

n值110100100010000100000…0.000000.818180.980200.998000.999800.99998…211101100110001100001…可以看出，当n逐渐增大时，越来越接近1，而越来越大，不接近任何常数，因此有：（1）（2）不存在（3）—（4）题

n值1234567…0.50.250.1250.06250.031250.0156250.0078125…-11-11-11-1…可以看出，当n逐渐增大时，越来越接近0，而的值在1与-1之间来回跳动，不接近任何常数，因此有：（3）（4）不存在以上极限中，与都不存在．当时，的变化趋势是越来越大，这种情况我们称为数列趋向于无穷大．记为，而的值在1与-1之间来回跳动，没有一个确定的趋势．单调递增的数列单调递减的数列有界数列都有≤数列对于每一个正整数,都有≥数列对于每一个正整数，

对于数列存在一个固定的常数得对于其每一项,都有≤,使结论:单调有界数列必有极限.1．当时,函数的极限2．当时,函数的极限1.2.2函数的极限1.2.2函数的极限1．当时函数的极限．定义4设函数当的绝对值很大时有定义，如果当的绝对值无限增大时，函数的值无限接近一个确定的常数A，我们就说A是当时函数的极限．记为．例2

观察函数，当时的极限．解由的图象可知，定义3设函数在内有定义（为一确定实数），当自变量x的值无限增大时，函数的值无限接近一个确定的常数A，则称A是当时函数的极限．记为．例3

观察函数，当时的极限．解由的图象可知，定义4

设函数在内有定义（为一确定实数），当x自变量的值无限变小时，函数的值无限接近一个确定的常数A，则称A是当时函数的极限．记为例4

观察函数，当时的极限．解由的图象可知，2．当时函数的极限．函数在处没有定义，但是在点的附近有定义（只要）．先来看一个例子：因为（），当无限趋向于1（但)时，容易看出将无限趋向于2．为了给出时函数的极限的定义，我们先给出邻域的概念：开区间称为以为中心，以为半径的邻域（其中为实数），记为。一般地，为了使时函数的极限有更广泛的适用范围，在定义极限的时候，不必强求在点处有定义，只需要求在点的某去心邻域内有定义即可．

显然，所谓去心邻域，就是在中去掉了邻域的中心点所得到的开区间，记为定义5设函数在点的某去心邻域内有定义，当自变量x在该去心邻域内无限接近于时，相应的函数值无限地接近一个常数A，就称常数A为时函数的极限，记为注意:在时的极限是否存在,处函数值的大小无关.

处有无定义及在点的变化趋向．

(2)但在有些问题中,往往只需要考虑点的一侧从趋近(1)在点与是以任意方式趋近于的,函数于时,（记为的左侧趋近于如果当从）时以为极限,）．记为或（为极限,以（记为从趋近于的右侧)时如果当或

．时的左极限,为函数当则称为当时的右极限,则称记为定理２此定理常用来判断分段函数在分段点处的极限是否存在．因为,所以由定理２可知存在．解函数在处的左、右极限例5

判断函数在点处是否有极限．无限趋近于某一常数函数极限的定义可以统一于如下定义．简记为或．定义

如果变量在自变量的某一变化过程中，，则称为变量的极限，三、极限的性质定理(唯一性定理)有极限，定理(有界性定理)使得函数在该邻域内有界．在某一变化过程中如果函数则其极限是唯一的．当时极限存在,若函数则必存在的某邻域,定理(数列极限存在准则)

单调有界数列必有极限．定理(两边夹定理)(可以除外),．,则的某邻域内的一切如果对于≤≤,且有定义

极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小.1．无穷小量例如:是当时的无穷小量是当时的无穷小量是当时的无穷小量四、无穷小量与无穷大量注意:1.无穷小量是个变量,而不是数;2.一个函数是无穷小量,必须指明自变量的变化趋势;3.零是唯一可称为无穷小量的数。时,函数为无穷小

但时，

函数不是无穷小

如:2．无穷小的性质定理在自变量的同一变化过程中（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积仍是无穷小;（3）有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小，特别地，常数与无穷小的乘积仍是无穷小.例3求为无穷小,解因为当时,因此当时,为无穷小量