高职数学课件 第5章定积分

高职实用等数学第5章定积分及其应用5.1.1引例：曲边梯形的面积5.1.2定积分的定义5.1.3定积分的几何意义5.1定积分的概念曲边梯形是指由直线 和一条曲线y=f(x)（其中 ， ）围成的图形，如下(左)图所示．5.1定积分的概念5.1.1引例：曲边梯形的面积求曲边梯形的面积A，可以利用微积分“以直代曲”的极限方法解决（见上图(右)），方法归结为以下三步：（1）任意分割在区间［a,b］内任意插入n-1个点：即把区间［a,b］分成n个小区间，每个小区间的长度记为 ， .过各点x作轴的垂线，这些直线把曲边梯形分割成n个小的长条曲边梯形．设第i个长条曲边梯形的面积为， ．（2）以直代曲，近似求和．在每个小区间 上任取一点 ,过作x轴的垂线，交曲线y=f(x)于点，设点的纵坐标为 ．过作平行于x轴的直线，与直线 ,y=0构成一个小矩形，其面积为 ．把长条曲边梯形的面积近似为小矩形的面积：把n个小矩形的面积相加，就得到所求曲边梯形面积A的一个近似值：（3）求极限显然，分点越多，每个长条曲边梯形越窄，所求得的近似值就越接近A的精确值．因此，要求曲边梯形面积A的精确值，只需使每个小曲边梯形的宽度趋于零．记 .于是当时 ，每个长条曲边梯形的宽度便趋于零．所以曲边梯形的面积定义为：至此，通过以上方法，我们很好地解决了曲边梯形面积的计算问题．事实上在物理学中，计算变速直线运动的质点在一段时间内走过的路程，也可以用上述办法解决．在自然科学和工程技术中，有许多问题的解决都需要用这种数学处理方法．因此，我们对上述方法加以归纳，抛开上述问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，就抽象出下述定积分的定义．5.1.2定积分的定义定义1

设函数f(x)在区间［a,b］上连续，在区间［a,b］内任意插入n-1个点：即把区间［a,b］分成n个小区间.记每个小区间的长度为在每个小区间 上任取一点 ，作和式令 ．当 时，如果上式的极限存在，且极限值与区间［a,b］的分法和的取法无关，则称该极限值为f(x)在区间［a,b］上的定积分，记为其中，称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式,［a,b］称为积分区间，a和b分别称为积分上限和下限.关于定积分的定义的几点说明：（1）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即（2）和式 通常称为f(x)的积分和．（3）如果函数f(x)在［a,b］上的定积分存在，我们就说f(x)在区间［a,b］上可积．例1设x2在区间［0,1］上可积，利用定义计算定积分 ．解因为x2在区间［0,1］上可积，所以可取特殊的分点，也可取特殊的点．把区间［0,1］分成等分，分点和小区间长度记为：取 ，作积分和：因为 ，所以当时 ，．于是，问题，后面的牛顿-莱布尼兹公式很好地解决了这个问题．5.1.3定积分的几何意义由上面的引例可知，在区间上［a,b］，当 时,定积分 在几何上就表示由曲线 ,直线 ， 与x轴所围成的曲边梯形的面积．当 时（见右图），定积分在几何上表示该曲边梯形面积的负值，即一般地，定积分 的几何意义：它是由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b，所围图形的各部分面积(有正也有负)的代数和．定理1

设f(x)在［a,b］区间上连续，则f(x)在［a,b］上可积．定理2

设f(x)在［a,b］区间上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在［a,b］上可积．习题5.11．利用定积分定义计算定积分 ．2．利用定积分的几何意义（即用几何方法计算带正负号的面积）计算下列定积分.(1) . (2) .(3) . (4) .5.2定积分的简单性质5.2定积分的简单性质关于定积分的两点规定：(1) . (2)下面各性质的前提条件：设f(x)和g(x)都是闭区间［a,b］上的可积函数，k为常数.性质1 .证性质2 ．性质3特别地，性质4（定积分的保号性）如果在[a,b]上f(x)≥0，则如果在[a,b]上f(x)≤0

，则推论1

如果在[a,b]上f(x)≤g(x)

，则推论2 ．性质5（定积分区间的可加性）如果在区间[a,b]内插入任意一点c，则性质6

设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，则性质7(定积分中值定理)

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一个点x0，使：习题5.21.判断大小:(5).2.估计下列各积分的值.(1) .(2) .(3) .(4) .3.设f(x)及g(x)在［a,b］上f(x)≥0连续，证明：若在上且 ，则［a,b］在 上.5.3.1变上限的积分及其导数设f(x)在[a,b]上连续，对 ，我们把定积分称为变上限积分或积分上限的函数，记为 或 ．定理3

设f(x)在[a,b]上连续,则函数在[a,b]上一定可导，并且它的导数为5.3.1变上限的积分及其导数5.3.2微积分基本公式5.3微积分基本公式证若 ，取使 ，则当 时，有 ，于是推论1

设函数f(x)在区间［a,b］上连续,则函数是f(x)在[a,b]上的一个原函数．推论2设f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]上可导，则有（1）．例1

求下列函数的导数（1） ．（2） ．（3） ．（4） ．解（3） ．（4） ．（2）例2

计算下列各题(1) ． (2) ．(3) ．解（1） ．（2） ．（3） ．例3求 ．解这是一个型未定式，由罗必达法得：例3求 ．解这是一个型未定式，由罗必达法得：定理4

(牛顿

莱布尼茨公式)

如果F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则证明根据定理３的推论１，积分上限函数也是f(x)的一个原函数．于是 ，( C为常数)．当x=a时，有 ，而 ，所以．当x=b时，有 ，所以,即例1计算

．解由于 ，所以，原式 ．例2计算

．解原式 例3计算

．例3计算

．解原式 ．例4计算

．解原式 ．习题5.31.设 ，求 及.2．计算下列导数(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．3．计算下列各定积分(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ． (6) ．(5) ． (6) ．4．求下列极限(1) ． (2) ．5．设 ，求 ．5.4.1换元积分法5.4.2分部积分法

5.4定积分的换元积分法与分部积分法定理5

设函数f(x)在区间［a,b］上连续，函数 满足条件：（1） 在 上具有连续导数，且有反函数（2） ， ．则有这个公式叫做定积分的换元公式.5.4.1换元积分法例1计算

解设 ， ，则 .当x=0时t=0

，x=a时.故原式例2求

.解设 则当x=0时,t=0；x=8时,t=2.故原式例3求

.

解设 ，则 .当x=0时t=0，x=1时 ．故原式使用定积分换元法计算定积分，必须注意积分变量要同积分区间相配套.也就是说，换元时一定要变换积分上下线．例4

求证：若f(x)是奇函数，即f(-x)=-

f(x)

，则 ．证对于，作变换x=1，则dx=-dt.当x=-a时t=a

，x=0时t=0

，即x从-a变到０时，t从a变到０．故所以因为奇函数的图形关于原点对称，所以以上结论在几何上看是很明显的．利用这个结论，可以很容易确定一些定积分为零，比如同理可证下列命题：若f(x)是偶函数即f(-x)=

f(x)

，则若f(x)是奇函数，即f(-x)=-

f(x)，则

5.4.2分部积分法定理6

若函数u(x)，v(x)在区间［a,b］上存在连续导数，则叫定积分的分部积分公式.简记为例1计算 .解原式 .例2计算 .解原式 例3计算 .解原式 .例4计算 .解原式 .习题5.41．计算下列积分(1) ．(2) ．(3) ．(4) ．(5)．(6) ．(7) ．2.利用被积函数的奇偶性计算下列积分(1) ．(2) ．3．设f(x)在［b,-b］上连续，证明：4.计算下列定积分(1)． (2) ．(3)．(4) ．(5)．(6) ．5.5.1定积分的元素法5.5.2平面图形的面积5.5.3旋转体的体积5.5定积分的几何应用5.5定积分的几何应用我们再分析一下曲边梯形面积的计算问题.设 ，如果说定积分是[a,b]以为底的曲边梯形的面积，则积分上限函数就是[a,x]以为底的曲边梯形的面积（如右上图中左边的白色区域）.而微分5.5.1定积分的元素法二、旋转体的体积二、一、平面图形的面积三、平面曲线的弧长定积分在几何上的应用第五章一、平面图形的面积1.直角坐标情形(a)设曲线与直线及

x

轴所围图则面积微元形面积为A,所以面积(b)设曲线与直线及

x

轴所围图形的面积为A,则(有正有负),故(a)和(b)两种情况总有(c)由上下两条曲线y=f(x)和y=g(x)(f(x)≥g(x)),以及直线所围图形的面积为A,则如果[f(x)－g(x)]在[a,b]上有则其面积微元面积正有负,(d)类似地,由左、右两条曲线以及所围图形的面积为A,则和直线例1.

计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解得交点由这两条抛物线所围成的图形如图所示.取x为积分变量,则积分区间为[0,1].例1计算抛物线 ， 所围成的图形的面积.解作图，见右图．由方程 以x为积分变量，则积分区间为[0,1].上下曲线分别为： 和 .面积元素:例2计算抛物线 与直线 所围成的图形的面积.解作图，见右图.解方程 得交点(2,-2)和(8,4).选y为积分变量，则，所求图形面积为：例3.求双曲线xy=1和直线y=x,y=2所围图形的面积.解:

由得交点为简便计算,选取

y

作积分变量,则有本例也可选择x作为积分变量,但计算要复杂一些.例3求椭圆 所围成的图形的面积．解如右图所示，椭圆是关于原点对称的.椭圆的面积是椭圆在第一象限部分面积的四倍.椭圆第一象限部分在轴上的积分区间为［0,a］，上下曲线分别为： 和y=0，所以椭圆面积为：作变换x=asint，则dx=acostdt.当x=0时t=0,x=a时,故5.5.3旋转体的体积旋转体是指由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴.定理7

由连续曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积（见右图）为：证对 ，过作垂直于x轴的直线，区间［a,x］上平面图形绕轴旋转得到的旋转体的体积记为V(x).给x以改变量dx

，则相应旋转体体积的改变量的近似值为：于是得所求旋转体的体积为例4计算由椭圆 所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积．解如右图所示，这个旋转椭球体也可以看作是由上半个椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体，体积元素为于是所求旋转椭球体的体积为例5求由曲线 ，直线y=2以及x=0所围成的图形绕y轴旋转得到的旋转体的体积．解如右图所示，因为是绕y轴旋转，所以 ．体积元素为于是，所求旋转体的体积为习题5.51．求下列各曲线所围成的图形的面积.（1） 与 ．（2） 与直线 及 ．（3） 与直线 ．（4） ，y轴 与 直线， ．2．求抛物线 及其在(0,-6)点(3,0)和处的切线所围成的图形的面积.3．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积.（1） 与 ．选x为积分变量，积分区间为[-2，2]，面积元素为：解作图如右，由得交点（-2，2）、（2，2），所求面积为：（1） 围成的图形，绕y轴．（2） ， 围成的图形，分别绕x轴和y轴．4．由 所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两个旋转体的体积．5.6.1无穷区间上的广义积分5.6.2无界函数的广义积分*5.6广义积分*5.6广义积分5.6.1无穷区间上的广义积分定义2

设函数f(x)在区间 上连续,取 ，如果极限存在，就称此极限为函数f(x)在无穷区间 上的广义积分，记作 ，即这时也称广义积分 收敛如果上述极限不存在,则称函数f(x)在无穷区间 上的广义积分 发散或不存在．类似地，设函数f(x)在区间 上连续，取 ,如果极限存在，就称此极限为函数f(x)在无穷区间上的广义积分 ,记作，即这时也称广义积分 收敛．如果上述极限不存在，则称广义积分 发散．设函数f(x)在区间 上连续，如果广义积分和都收敛，就称函数f(x)在无穷区间 上的广义积分收敛，记作 ，即如果上式右端有一个极限不存在，则称广义积分 发散．在广义积分的计算中，如果f(x)有一个的原函数F(x)是，则可采用如下简记形式：类似地，有例1计算广义积分 ．解 .所以广义积分 发散．例2计算广义积分 ．解例3计算广义积分 ．解例4当 时，讨论广义积分 的敛散性．解当 时， ,广义积分发散．当 时， ,广义积分发散．当 时， ,广义积分发散．因此，当 时，此广义积分收敛，其值为 .当 时，此广义积分发散．5.6.2无界函数的广义积分定义3设函数f(x)在区间上连续，且 .取 ，如果极限存在，就称此极限为函数f(x)在 上的广义积分，仍然记作 ，即这时也称广义积分 收敛．如果上述极限不存在，就称广义积分 发散．类似地,设函数f(x)在区间 上连续,而 ,取 ，如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在上的广义积分，仍然记作 ，即这时也称广义积分 收敛．如果上述极限不存在，就称广义积分 发散．如果函数f(x)的无穷间断点x=c在［a,b］的内部，则定义广义积分当且仅当上式右端的两个广义积分都收敛时，才称广义积分 是收敛的．否则，称广义积分 发散．如果f(x)有一个原函数F(x)为， ，则广义积分的计算可采用如下简记形式：类似地，如果 ，则记为当 且 时，记为例5讨论广义积分 的敛散性．解因为 ，所以即广义积分 收敛．例6讨论广义积分 的敛散性．解因为 ，所以即广义积分 发散．例7讨论广义积分 的敛散性.解函数在区间［-1,+1］除x=0点外连续，且 =∞,有由于例8

讨论广义积分 的敛散性.解当a=1时， ，广义积分发散．当时， ，广义积分收敛．当时， ，广义积分收敛．因此，当时，此广义积分收敛，其值为 ．当 时，此广义积分发散．习题5.61．判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，试求广义积分的值.(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ．(6) ．(7) ． (8) ．(9) ．2．当为何值时，广义积分 收敛？当为何值时，这个广义积分发散？5.7数学实验:MATALAB计算定积分5.7数学实验:MATALAB计算定积分例1

求定积分 .解程序和结果如下:symsxyy=int(((1-x)＾(1/2),0,3)y=5/2例2

求定积分 .解程序和结果如下:

symsxyy=int((1-x)＾2)＾(1/2),0,3)解程序和结果如下:例3

求定积分 .

symsxyy=int(atan(x),0,1)y=1/4*pi-1/2*log(2)例4

求定积分 .解程序和结果如下:synsxyy=5/2习题5.7用MATLAB求下列定积分.1． . 2． .3． . 4． .复习题51．求由 所决定的隐函数对x的导数 ．y=int(1/x＾3,1,inf)y=1/23．求下列定积分(1).(2) ．(3). (4) ．(5). (6) ．(7). (8) ．(9). (10) ．(11). (12) ．2．当x为何值时，函数 有极值？(13).(14) ．(15).(16) ．(17).(18) ．4．设 求k的值，使 5．求下列定积分(1).(2) ．(3).(4) ．(5).(6) ．(7).(8) ．(9).(1