高职数学课件 第4章不定积分

高职实用等数学第4章不定积分4.1.1原函数的概念4.1.2不定积分4.1.3不定积分的几何意义4.1.4不定积分的性质4.1不定积分的概念和性质例1已知函数f(x)的导数 ，求函数f(x)

．4.1不定积分的概念和性质4.1.1原函数的概念解因为 ，对于任意的常数c，都有所以 ，（其中c为任意常数）．例2已知某物体的运动速度 (a是加速度，t是时间)，求该物体的运动方程．解设物体的运动方程为 ．因为 ,又定义1

设在区间Ⅰ上，如果对 ，都有，或

就称F(x)是f(x)在该区间Ⅰ上的一个原函数．例如例1中的y=x2是函数2x的一个原函数．例2中的 是函数 的一个原函数. （其中为任意常数）都是x3性质1假设在区间Ⅰ上F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C

（C为常数）也是f(x)的原函数．证设c为任意常数,由 ,即F(x)+c

也是f(x)的原函数．性质2假设在区间Ⅰ上F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x)-G(x)=C

.

证由

，所以F(x)-G(x)=C

（其中c为任意常数）．4.1.2不定积分定义2

在Ⅰ上f(x)函数的全体原函数称为f(x)的不定积分，记为其中符号“”称为积分号，f(x)称为被积函数，x称为积分变量．如果 ，则 所以求不定积分的问题就是求原函数的问题．以后总是把c作为常数的符号，不再另加说明．(1).(2).(3).(4).解(1)因为 ，所以是x3的一个原函数．因此(2)∵ ，∴sinx是cosx的一个原函数，因此(3)∵ ，∴.例1求下列不定积分：(4)∵ ，∴ .例4

求不定积分 ．解∵被积函数x=0在处没有定义．当x＞0时，∵ ，∵

．当x＜0时，∵ ，∵

．综合上面的讨论，得4.1.3不定积分的几何意义例5

已知某曲线在任意一点的切线斜率为2x，且曲线经过点(0,1)．求该曲线方程．解

∵ ，又∵

，∴ ,即 ．又由于曲线经过点(0,1)，所以， ,即 ．故所求曲线方程为 通过把积分曲线y=F(x)沿y轴的方向平行移动而得到.f(x)的全部积分曲线构成一个曲线簇．这个积分曲线簇如例5，积分曲线 就是将积分 线y沿轴正方向平行移动1个单位而得到的．且过点(0,1)处的切线都和x轴平行(如右图所示)．的每一条在点x0的切线的斜率都是f(x0)

，故这些切线都是彼此平行的(如上图所示).4.1.4不定积分的性质性质1

．性质2

,其中k≠0

．性质3

，或

．性质4

，或

．4.2.1基本积分公式4.2.2直接积分法4.2直接积分法4.2直接积分法4.2.1基本积分公式例如：由 可知 是xa的一个原函数，即有由此可见，根据积分运算是微分运算的逆运算，我们就可以很自然地从导数(或微分)公式得到相应的不定积分公式：1. ，其中k为常数．2． ，(a≠-1)．

二、基本积分公式3．4．5． .6． .7． .8． .9．10． .1. 2．4.2.2直接积分法例1

求不定积分 ．解原式其中例2

求

解原式例3

求不定积 ．解原式例4

求不定积分 ．解原式解例5

求例6

求解例7

求不定积分 解原式以上的例3、例4、例5表明，在求不定积分时，根据被积函数的情况，先要将被积函数进行代数或三角恒等变换后，再应用公式和性质进行积分．习题4.21．将下列函数的原函数填在括号内．(1).(2)...(3)(4)(5).(6).2．按积分公式求下列不定积分．(1).(2).(3).(4).3．求下列不定积分．(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9)...(10)(11)(12).(13).(14).4.已知曲线 上任一点的切线的斜率为,且该曲线经过点（2，5），求这曲线方程．5．已知某质点的运动速度函数为 ,运动方程为s=s(t)．如果已知v(0)=1，s(0)=0，，试求s=s(t)

．4.3.1第一类换元积分法(凑微分法)4.3.2第二换元法4.3换元积分法4.3换元积分法4.3.1第一类换元积分法(凑微分法)例1求 ．分析：已知 ，若将2x变为u，则由 便可将原积分变出 这种可套用公式的形式．这种方法就叫凑微分法．解令 ，则 ， ，于是定理1(第一类换元积分法，也叫凑微分法)设F(u)是f(u)的一个原函数，函数 可微，则证利用复合函数求导公式验证，因为所以，例2求 ．解设 ，则， ， 于是原式当运算熟练后，不必写出设u的过程．例3求 ．解,.,例4求 ．解例5求 ．解例6求 ．解例8求 ．例7求 ．解解结论：类似地，有例9求 ．解例10求 ．解例12求 ．解例11

求解

例12

求解

二、第二类换元积分法定理2(第二类换元积分法)设 ，且 .又 设具有原函数 ，则其中 是 的反函数．1.根式代换法例13求 ．解令 ，则， , 于是，

例12—例13的解题方法称为根代换法,一般地说，应用根代换积分时适用于如下情形：例14

求解axt例15

求解axt例16

求解axt例14—例16中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.

一般的说，应用三角代换法求积分时适用于如下情形：补充的积分公式：解原式 习题4.41．在下列各式的横线上填上适当的系数,使等式成立．(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ． (6) ．例16求 ．2．求下列不定积分．(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ． (6) ．(7) ． (8) ．(9) ． (10) ．(11) ． (12) ．(13) ． (14) ．(15) ．4.4分部积分法4.4分部积分法由函数乘积的微分法得：对等式两边积分，得即移项得或公式(1)或公式(2)称为分部积分公式

.

三、分部积分法例1求 ．解如果按下面的方法计算将使积分变得越来越复杂：则其中的 比原积分更为复杂．注意：

使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择u和v.选

u、凑

dv

的法则是:

幂指进指、幂弦进弦;

带对留对、带反留反;

指弦任选.即一般情况下，u与dv

按以下规律选择例2

求解例3

求解例4求 ．解例5求 ．解例6求 ．解所以于是例6求 ．解例5求 ．解作变换 ，则 ， ．于是例8求 ．解在4.3.2的例12中，我们是令 来计算，得出例7求 ．现设 ，则 ， .所以，习题4.41．求下列不定积分．(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ． (6) ．(7) ． (8) ．例1求不定积分 .解程序和结果如下:symsxy=int(x*exp(x),x)↙y=x*exp(x)-exp(x)例2求不定积分 .解程序和结果如下:symsxyy=int(1/(x*log(x)))y=

log(log(x))例3求不定积分 .解程序和结果如下:symsxyy=int(atan(x))y=x*atan(x)-1/2log(1+x^2)习题4.5用MATLAB求下列函数的不定积分.1. ． 2. ．3. ． 4. ．5. ． 6. ．复习题41．填空：（1）设 ， ，则(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)若 ，则

2．选择题：（1）可用凑微分法积分的为（）．A.B.C.D.（2）下列各式成立的有（）．A.B.C.D.（3）下列正确有效的变换为（）．A. ,把 变为 ．B. ,把 变为 ．C