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文档简介

洛必达法则

函数的单调性与极值中值定理第4章导数的应用§4·1§4·2§4·3§4·4§4·5曲线的凹凸性与拐点函数图像的描绘§4·2洛必达法则

说明：

洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限的方法结合使用，效果更好。注意：

4.2.2其他类型的未定式极限的求法

极限不存在洛必达法则的使用条件．注意：

练习题

练习题答案

练习题答案

§4·3函数的单调性§4.3.1函数的单调性的判别方法引例（单调性与导数的关系）观察下图,分析函数的单调性与其导数之间的关系.

分析：

（2）定理4.4：函数单调性的判别法

解（1）求定义域：（-∞，+∞）

（3）列表讨论：－0不存在+↘↗

（3）列表讨论：x3+0－0+↗↘↗

（3）列表讨论：0－ 0 +↘ ↗

注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．注意：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.

y-2O2-4-224xy=x3注意：

4.3.2函数的极值及其求法引例（极大值与极小值）观察下图，分析函数值的变化情况

分析

定理4.5（极值存在的必要条件）

可导函数的驻点一定是它的极值点吗？试举例说明.讨论：例如:函数f（x）=x³，这个函数在x=0点处可导,

在x=0点处的导数为0，x=0点是这个函数的驻点。但是这个函数是单调函数，没有极值点。讨论：若函数在某点连续，但没有导数，函数在该点可以取极值吗？结论：

函数的极值只可能在驻点或导数不存在的点取得。问：极值存在的充分条件是什么？

（3）列表讨论：（－2，1）1+0－0+↗极大值21↘极小值－6↗解法一

解法二讨论试举例说明.

2.函数的最大值和最小值

结论只能在驻点、端点、一阶导数不存在的点取得.求最值的步骤：

结合下图讨论：若函数在开区间（a，b）内只有唯一极大（小）值，是否该极大（小）值必是最大（小）值？讨论:§4·4曲线的凹凸性与拐点

观察图中曲线与切线的关系：

定义:

曲线凹凸性的判别法:

定义:连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点.

（3）列表讨论：

曲线0

（0，1）1+ 0 － 0 +

︶拐点（0，1）︵拐点（1，0）︶

§4·5函数图像的描绘图中曲线呈现什么样的变化趋势？问题：x2x-1y=1xy=O

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