沪教版2020必修三数学同步讲义-第12讲 频率与概率

第12讲频率与概率

【知识梳理】

知识点1概率的稳定性

频率与概率的联系

在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率,

而且试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大.频率也称

经验概率。

知识点2概率意义

L游戏的公平性

一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.

判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等如：

2.“降水概率是90犷的正确理解

“降水的概率为90%比较合理的解释是:大量观察发现，在类似的气象条件下,大约有90%的

天数要下雨.

只有根据气象预报的长期记录,才能评价预报的准确性.如果在类似条件下预报要下雨的那

些天里，大约有90%确实下雨了，可认为是准确的，反之则不准确

知识点3频率估计概率

频率本身是随机的,在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率可

能不同;概率是一个确定的数,是客现存在的，与每次试验无关.概率可看作—频

在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大

量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率，即事件A发生的频率左(A)它以会逐渐

稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我

们可以用频率启(A)估计概率P(A).

【例题解析】

知识点一：频率的计算

例1.（2020•安徽滁州市•高二月考（理））某篮球运动员进行投球练习，连投了100

次，恰好投进了90次.若用力表示“投进球”这一事件，则事件/发生的（）

A.概率为0.9B.频率为90C.频率为0.9D.以上说法都不对

【答案】C

【分析】根据频率计算公式,即可求得答案.

【详解】投球一次即进行一次试验，投球100次，投进90次，

即事件｛发生的频数为90,

909

所以事件A发生的频率为二=—=0.9.

10010

故选：C

例2.（2018•广东高二学业考试）今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人

数统计表（单位：人）如表:

月份性

——二三总计

别

男婴22192364

女婴18202159

总计403944123

则今年第一季度该医院男婴的出生频率是（）

44405964

A.-----B.-----C.-----D.

123123123123

【答案】D

【分析】利用已知条件得到第一季度的男婴数和婴儿总数，计算比值即得出生频率.

【详解】解：根据题意：第一季度的男婴数为64,婴儿总数为123,

64

故该医院生男婴的出生频率为一.

123

故选：D.

【点睛】本题考查了频率的计算方法，属于基础题.

jYl例3."019•沂水县第二中学高二月考）下表是2011~2017年我国就业人口及

劳动年龄人口（劳动年龄人口包含就业人口）统计表:

时间（年）2011201220132014201520162017

就业人口（万

76420767047697777253774517760377640

人）

劳动年龄人口

92543921989195491583910969074790199

（万人）

则由表可知（）

A.2011〜2017年我国就业人口逐年减少

B.2011〜2017年我国劳动年龄人口逐年增加

C.2011〜2017年这7年我国就业人口数量的中位数为76977

D.2011〜2017年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重逐年增加

【答案】D

【分析】根据表格中数据就业人口和劳动年龄人口数的变化可判断A、B选项的正误；根据

表格中的数据可得出2011〜2017年这7年我国就业人口数量的中位数，可判断C选项的

正误；利用表格中的数据计算出2011〜2017年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重，

可判断I）选项的正误.

【详解】由表格中的数据可知，2011~2017年我国就业人口逐年增加，劳动年龄人口逐

年减少，A、B选项均错误；

将2011~2017年这7年我国就业人口数量由小到大依次排列为：76420、76704、

76977、77253、77451、77603>77640,中位数为77253,C选项错误：

2011-2017年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重如卜表所示：

时间

2011201220132014201520162017

（年）

劳动年82.58%83.19%83.71%84.35%84.57%85.52%86.08%

龄人口

中就业

人口所

占比重

由上表可知，2011〜2017年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重逐年增加，D选项正

确.

故选：D.

【点睛】本题考查统计中相关命题的判断，涉及中位数、频率的计算，考查数据处理能

力，属于基础题.

例4.（2020•广西百色市•平果二中高二月考）已知某厂的产品合格率是95%,

从该厂抽出20件产品进行检查，其中合格产品的件数最有可能是_______.

【答案】19

【分析】由概率的定义进行计算可得答案.

【详解】解：由题意：某厂的产品合格率是95%,从该厂抽出20件产品进行检查，其中

合格产品的件数最有可能是：20x95%=19,

故答案为：19.

【点睛】本题主要考查概率的定义，相对简单.

例5.（2021・上海高二专题练习）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条

的不同取法共有〃种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为

加，则'等于.

n

【答案】7

4

【分析】分别求出八〃即可.

【详解】从4条长度不同的线段中任取3条，共有4种取法，即〃=4,可组成三角形的

1TL\

只有一种（2,3,4）,因此〃2=1,.二一=—.

n4

故答案为一.

4

【点睛】本题考查事件的概念，求事件的个数.解题时可用列举法列出任取3条线段的所

有可能以及满足组成三角形的个数，从而得〃，加.列举法是我们常用的方法.能组成三

角形的判定关键是两个较小的线段长之和大于最长的线段长度.

知识点二：概率与频率的关系

［例1.(2018•全国高二课时练习)设某厂产品的次品率为2猊估算该厂8000件产

品中合格品的件数大约为()

A.160B.7840

C.7998D.7800

【答案】B

【详解】8000X(1-2%)-7840(件)，故选B.

例2(2021・上海高二专题练习)下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的

是

(1)在大量随机试验中，事件A出现的频率与其概率很接近；

(2)概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；

(3)计算频率通常是为了估计概率.

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

［分析］利用频率和概率的定义分析判断得解.

【详解】(1)在大量随机试验中，事件A出现的频率与其他概率很接近，所以该命题是真

命题；

(2)概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限，所以该命题是真命题：

(3)计算频率通常是为了估计概率，所以该命题是真命题.

故选D

【点睛】本题主要考查频率和概率的关系，意在考查学生对•这些知识的理解掌握水平.

例3.(2020•广西百色市♦平果二中高二月考)下列关于概率的说法正确的是

()

A.频率就是概率

B.任何事件的概率都是在（0,1）之间

C.概率是客观存在的，与试验次数无关

D.概率是随机的，与试验次数有关

【答案】C

【分析】根据频率与概率的定义一一进行判断可得答案.

【详解】解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，

一般来说，随机事件A在每次实验中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随

着实验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］的某个常数上，这个常数就

是事件A的概率，故可得：概率是客观存在的，与试验次数无关,

故选：C.

【点睛】本题主要考查频率与概率的定义，相对简单.

例4.（2021•曲靖市沾益区第四中学高二期末（文））某人将一枚质地均匀的硬币

连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（）

A.正面朝上的概率为0.7B.正面朝上的频率为0.7

C.正面朝上的概率为7D.正面朝上的概率接近于0.7

【答案】B

【分析】频率等于频数除于总数.

7

【详解】正面朝上的频率是元=0.7,正面朝上的概率是0.5.

故选：B

【点睛】本题考查频率与概率的区别，属于基础题.

On例5,<2019•长沙市•湖南师大附中高二月考）对以下命题：

①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；

②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是:；

③若一种彩票买一张中奖的概率是焉，则买这种彩票一千张就会中奖;

④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】概率与试验重复的次数无关，抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是

若一种彩票买一张中奖的概率是」一，则买这种彩票一千张仍然不一定中奖，姚明

21000

投篮的结果中与不中概率不相等.

【详解】随机事件的概率与频率不一样，与试验重复的次数无关，所以①错误；

抛掷两枚均匀硬币一次，可能的结果：正正，正反，反正，反反，所以出现一正一反的概

率是上，所以②错误；

2

若一种彩票买一张中奖的概率是高，这是随机事件，则买这种彩票一千张不一定会中

奖，所以③错误；

“姚明投篮一次，求投中的概率”，姚明投篮的结果中与不中概率不相等，不属于古典概

型概率问题，所以④错误.

故选：A

【点睛】此题考查概率及相关概念的辨析，涉及古典概型的辨析，对基本事件的认识.

例6.（2020•宾县第二中学高二期中（理））下列说法正确的是（）

A.由生物学知道生男生女的概率均为《，一对夫妇生两个孩子，则一定生一男一女

2

B.一次摸奖活动中中奖概率为（，则摸5张票，一定有一张中奖

3

C.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是一

7

D.在同一年出生的367人中，至少有两人生日为同一天

【答案】I）

【分析】根据概率的定义和性质依次判断每个选项得到答案.

【详解】A.一对夫妇生两个孩子，则不一定生一男一女，A错误；

B.一次摸奖活动中中奖概率为（，则摸5张票，中奖的概率为p=,8错误;

3

C.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的频率是一，。错误；

7

D.在同一年出生的367人中，根据抽屉原理知至少有两人生日为同一天，。正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了概率的概念和性质，意在考查学生对于概率知识的掌握情况.

例7.（2020•安徽省肥东县第二中学高二月考（文））下列说法正确的是（）

A.任何事件的概率总是在（0,1）之间

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定

【答案】C

【分析】根据事件的概率，可判断A；根据频率与概率间的关系可判断BCD.

【详解】必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,故A错；

频率是由试验的次数决定的，故B错；

概率是频率的稳定值，故C正确，D错.

故选：C.

力1列8.（2018•四川省峨眉山市第一中学校高二期中（文））下列说法正确的是

A.某事件发生的概率为1.1B.对立事件也是互斥事件

C.不能同时发生的的两个事件是两个对立事件D.某事件发生的概率是随着实验次数的

变化而变化的

【答案】B

【详解】分析：根据事件发生的概率的范围是［0，1］，判断A是否正确；

根据对立事件的定义判定B是否iE确；

根据互斥事件与对立事件的定义，判断C是否正确；

根据事件发生的概率的定义判断D是否正确.

详解：：.事件发生的概率的范围是［0山，••泊错误；

•••互斥事件A、B,必有一个发生，则事件A、B为对立事件，，B正确;

•••不能同时发生的两个事件是互斥事件，不一定是对立事件，...C错误；

根据概率的定义，事件发生的概率是固定值，不随着实验次数的变化而变化，...D错

误.

故选B.

点睛：本题考查了互斥事件、对立事件的定义，考查了事件发生的概率的含义，正确理解

概念是解答问题的关键.

例9.（2021•福建龙岩市•高二期末）下列命题中正确的是（）

A.事件A发生的概率尸（A）等于事件A发生的频率力（A）

B.一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是J,说明这个骰子掷6次一定会出现一

6

次3点

C.掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件3为''两枚

都是正面朝上”，则P（A）=2P（B）

I）.对于两个事件A、B,若P（AUB）=尸（A）+P（B）,则事件A与事件5互斥

【答案】C

【分析】根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项

错误；根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.

【详解】解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；

对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是!，表示一

6

次实验发生的可能性是!，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；

对于C选项，根据概率的计算公式得尸（A）=LX,X2=L,p（B）=lxl=i,故

P（A）=2P（B）,故C选项正确;

对于D选项，设xe［-3,3］,A事件表示从［—3,3］中任取一个数%,使得xe［l,3］的事

件，则P（A）=g,B事件表示从卜3,3］中任取一个数x,使得xe［—2,l］的事件，则

P（A）=；,显然尸（AUB）=|=g+；=P（A）+P（B）,此时A事件与B事件不互斥，

故D选项错误.

【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项

的判断，适当的举反例求解即可.

例10.（2021•通城县第二高级中学高二期末）下列说法：①随机事件/的概率是

频率值的稳定值，频率是概率的近似值；

9

②抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是否；

③随机事件4的概率趋近于0,即则力是不可能事件.

④任意事件｛发生的概率总满足0<。（4）<1

其中正确的有.

【答案】①©

【分析】根据频率和概率的定义和性质依次判断即可.

【详解】对①，根据频率和概率的定义可得①正确；

189

对②，由题可得出现1点的频率是右;二，故②正确；

对③，不可能事件的概率等于0,故③错误；

对④，任意事件A发生的概率总满足0<P（A）<1,故④错误.

故答案为：①②.

例11.（2019•江西南昌市•南昌二中（文））传承传统文化再掀热潮，央视科教

频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按

成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据

调查结果绘制的选手等级人数的条形图.

若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据己知条件完成下面的2X2列联表，并据此

资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？

优秀合格合计

大学组

中学组

合计

“2n(ad-bcY…一.,

汪：K~=-------------------------------，其中〃=a+Z?+c+d.

(a+li)(c+d)(a+c地+d)

2

P(k>k0)0.100.050.005

扁2.7063.8417.879

（2）若江西参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数;

【答案】（1）没有95%的把握认为优秀与文化程度有关；（2）60人

【分析】（1）根据条形图即可完成2义2列联表，把数据代入公式计算出长2,与临界值比

较，即可得到结论;

（2）根据条形图计算出所抽取的100人中的优秀率，即可得到80人中优秀等级的选手人

数.

【详解】（1）由条形图可知2X2列联表如卜

优秀合格合计

大学组451055

中学组301545

合计7525100

100x(45xl5-10x30)2100

K23.030<3.841

75x25x45x55

没有95%的把握认为优秀与文化程度有关.

753

（2）山条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为一=-.

1004

所有参赛选手中优秀等级人数约为80x3=60人.

4

【点睛】本题考查独立性检验的运用，考查概率的计算，考查学生读图能力，属了基础

题.

例12.（2018•全国高二课时练习）有人说：“掷一枚骰子一次得到的点数是2的

概率是!，这说明掷一枚骰子6次会出现一次点数是2.”对此说法，同学中出现了两种不同

的看法:一些同学认为这种说法是正确的.他们的理由是:因为掷一枚骰子一次得到点数是2

的概率是:，所以掷一枚骰子6次得到一次点数是2的概率X6=l,即“掷一枚骰子6

次会出现一次点数是2”是必然事件,一定发生.还有一些同学觉得这种说法是错误的，但是

他们却讲不出是什么理由来.你认为这种说法对吗?请说出你的理由.

【详解】这种说法是错误的.上述认为说法正确的同学,其计算概率的方法自然也是错误的.

为了弄清这个问题,我们不妨用类比法,即把问题变换一下说法.

原题中所说的问题,类似于“在一个不透明的盒子里放有6个标有数字1,2,3,4,5,6的同样

大小的球,从盒中摸一个球恰好摸到2号球的概率是L.那么摸6次球是否一定会摸到一次

6

2号球呢？”

在这个摸球问题中，显然还缺少一个摸球的规则，即每次摸到的球是否需要放回盒子里?显

然，如果摸到后不放回，那么摸6次球一定会摸到一次2号球.如果摸到球后需要放回，那么

摸6次球就不一定会摸到一次2号球

由此看来,我们先要弄清这个摸球问题与上面的掷骰子问题是否完全类同,是否应当有每次

摸到的球还要放回盒子里的要求.我们先看看上面掷骰子问题中的规则,在掷骰子问题中，表

面上好像没写着什么规则，但实际上却臧有一个自然的规则，即第一次如果掷得某个数（如

3）,那么后面还允许继续掷得这个相同的数.于是摸球问题要想与掷骰子问题中的规则相同，

显然每次摸到的球必须要放回盒子里才妥当.那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了.

知识点三：用频率估计概率

P例1.（2020・武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二期末）从一群参加新年

晚会的小孩中随机抽出々人，一人发一个礼物，让他们返回继续参加晚会，过了一会儿，再

从中任取山人，发现其中有〃个小孩曾发过礼物，估计参加新年晚会的小孩的人数为（）

knkm

A.——B.k+m-nC.---D.k+n-m

mn

【答案】C

【分析】用样本频率估计总体频率，计算即可得.

k77km

【详解】设总人数为明则f=乌，a=—

amn

故选：C.

l例2.(2020•安徽滁州市•高二月考(文))某中学举办电脑知识竞赛，满分为

100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五

组：第一组［50,60),第二组［60,70),第三组［70,80),第四组［80,90),第五组

［90,100］,其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,而第二小

组的频数是40,则参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是()

A.50,().15B.50,0.75C.100,0.15D.100,0.75

【答案】C

【分析】由于所有组的频率和为1，从而可求出第二组的频率，再由第二组的频数可求出

总人数，求出成绩优秀的频率可得其概率

【详解】由已知得第二小组的频率是1—0.30—().15-0.10—().()5=0.40,频数为40,

设共有参赛学生x人，则xx0.4=40,所以x=100.

因为成绩优秀的频率为0.10+0.05=0.15.

所以成绩优秀的概率为0.15,

故选：C.

【点睛】此题考查频率和频数的关系，考查频率与概率的关系，属于基础题

On例3.(202°•咸阳百灵学校高二月考(文))某商店储存的50个灯泡中，甲厂生

产的灯泡占60%,乙厂生产的灯泡占40%,甲厂生产的灯泡的一等品率是90%,乙厂生产的

灯泡的一等品率是80%.若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会

均等），则它是甲厂生产的一等品的概率是

A.0.32B.0.54C.0.6D.0.9

【答案】B

【分析】计算出甲厂生产的一等品的数量，由此求得所求概率.

【详解】依题意，在50个灯泡中，甲厂生产的一等品的数量为50x60%x90%=27,所

以从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡（每个灯泡被取出的机会均等），则它是甲厂生产

27

的一等品的概率是一=0.54.

50

故选：B

【点睛】本小题主要考查利用频率估计概率，属于基础题.

fXi例"（2019•三亚华侨学校高二期中）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷

粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250

粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）

A.180石B.12500石C.160石D.120石

【答案】A

【分析】根据数得250粒内夹谷30粒，可得比例，即可得出结论.

【详解】解：由题意，这批米内夹谷约为1500x30^=180石，

故选：A.

【点睛】本题考查总体和样本以及频率等数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，

比较基础.

仕2］例5.（2019•安徽六安市•六安一中高二月考（文））已知小华每次投篮投中率都

是40%,现采用随机模拟的方法估计小华三次投篮恰有两次投中的概率.先由计算机产生

。到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3表示投中，4,5,6,7,8,9表示未投

中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数

531297191925546388230113589663

321412396021271932800478507965

据此估计，小华三次投篮恰有两次投中的概率为（）

A.0.30B.0.35C.0.40D.0.45

【答案】A

【分析】由题意知，模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组

随机数中表示三次投篮恰有两次命中的可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，

得到结果.

【详解】由题意，20组随机数中，小华三次投篮恰有两次投中有6组，即531,191,

412,271,

932，800,所以小华三次投篮恰有两次投中的概率为£=0.3.

20

故选：A

【点睛】本题考查随机模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目主要依据是等可能

事件的概率，注意列举法在本题的应用.

例6.（2021•首都师范大学附属中学高二期末）两台机床加工同样的零件，第一

台的不合格品率为0.04,第二台的不合格品率为0.07,加工出来的零件混放，并设第一

台加工的零件数是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为

【答案】0.95

【分析】由概率公式计算即可求解.

【详解】设第一台机床加工了2九件，则第一台机床加工了〃件，

因为第一台的不合格品率为0.04，第二台的不合格品率为0.07,

所以笫•台机床产生的不合格品有0.04x2〃=0.08〃，第二台机床产生的不合格品有

0.07”，

两台机床的不合格品共有0.08〃+0.07/1=0.15”，

两台机床共生产了2〃+n=3〃件，

015“10

所以现任取一零件，则它是合格品的概率为1--:一=—=0.95,

3n20

故答案为:0.95.

例7.（2°21•上海高二专题练习）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒

分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内有夹谷，抽样取米一把，数得252

粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为

【答案】161

【分析】用样本频率估计总体频率，按比例计算.

【详解】设这批米内夹谷约为X粒，则——=—,解得尤=161.

1521252

故答案为：161.

【点睛】本题考查用样本数据特征估计总体数据特征，用样本频率估计总体频率.属于基

础题.

例8.(2021•山西忻州市•忻州一中高二月考(文))由于一线城市普遍存在着交

通道路拥挤的情况，越来越多的上班族选择电动车作为日常出行的重要工具，而续航里程

数则是作为上班族选择电动车的重要标准之一.现将某品牌旗下的一新款电动车的续航里程

数作了抽检(共计1000台)，所得结果统计如下图所示.

(1)试估计该款电动车续航里程不低于34公里的概率;

(2)在该款电动车推出一段时间后，为了调查“购买者的性别”与“使用的满意程度”是

否相关，客服人员随机抽取了200名用户进行反馈调查，所得情况如下表所示:

满意不满意

男性用户6040

女性用户50

则根据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“购买者的性别”与“使

用的满意程度”有关?

(3)为了提高用户对电动车续航里程的满意度，工作人员将检测的续航里程在［30,32)之

间的电动车的电瓶进行更换，并使得该部分电动车的续航里程均匀分布于另外五组，分别

求出电瓶更换前与更换后被检测的电动车的平均续航里程，并计算更换后比更换前的平均

续航里程多了多少.

n(ad-be?

附参考公式：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）0.8；（2）表格见解析，不能；（3）36.5（公里），36.8（公里），更换后比更

换前的平均续航里程多了0.3公里.

【分析】（1）由频率分布直方图求出电动车续航里程不低于34公里的频率，然后利用频率

来估计概率；

（2）利用公式长2=7——〃（气尸）——直接求解，然后由临界值表来判断即

（a+b）（c+d）（a+c）（/?+〃）

可；

（3）由题意分别计算电瓶更换前被检测电动车的平均续航里程和电瓶更换后被检测电动车

的平均续航里程，然后进行比较即可

【详解】解：（1）由频率分布直方图可知该款电动车续航里程不低于34公里的频率为

0.100x2+0.150x2+0.100x2+0.050x2=0.8.故该款电动车续航里程不低于34公里

的概率的估计值为0.8.

（2）依题意，得到2x2列联表如下：

满意不满意总计

男性用户6040100

女性用户505010()

总计11090200

则公的观测值氏=200x(60x5。-40x50)2

=392-2.020<3.841-故不能在犯错误的

100x100x110x9099

概率不超过0.05的前提下认为“购买者的性别”与“使用的满意程度”有关;

（3）依题意，电瓶更换前被检测电动车的平均续航里程为

31x0.05+33x0.15+35x0.2+37x0.3+39x0.2+41x0.1

=1.55+4.95+7+11.1+7.8+4.1

=36.5（公里）

电瓶更换后被检测电动车的平均续航里程为

33x0.16+35x0.21+37x0.31+39x0.21+41x0.11

=5.28+7.35+11.47+8.19+4.51

=36.8（公里）

故更换后比更换前的平均续航里程多了0.3公里.

【过关检测】

一、单选题

1.（2021•四川成都市•成都七中高二开学考试（文））在天气预报中，有“降水概率预

报”，例如预报“明天降水概率为85%”，这是指（）

A.明天该地区有85%的地区降水，其他地区不降水

B.明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水

C.气象台的专家中有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水

D.明天该地区降水的可能性为85%

【答案】D

【分析】根据概率的意义结合问题的实际意义可得出结论.

【详解】在天气预报中，预报“明天降水概率为85%”.

对于A选项，山概率的意义可知，明天该地区降水的可能性为85%，

并不是说明天该地区有85%的地区降水，其他15%的地区不降水，A选项错误；

对于B选项，由概率的意义可知，明天该地区降水的可能性为85%，

并不是说明天该地区约有85%的时间降水，其他15%的时间不降水，B选项错误；

对于C选项，，山概率的意义可知，明天该地区降水的可能性为85%,

并不是说有85%的人认为降水，另外15%的专家认为不降水，C选项错误；

对于D选项，由概率的意义可知，明天该地区降水的可能性为85%,D选项正确.

故选：D.

2.（2020•河南高二期末（文））农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最

热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如

图，该方形春联为边长是40cm的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒

100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，

则“福”字的面积约为（）

A.500cm-B.560cm-C.820cm-D.1040cm'

【答案】B

【分析】设“福”字的面积为xcn?,由几何概型建立比例关系，可以求出.

【详解】设“福”字的面积为xcn?，

根据几何概型可知10°-65==,解得x=560（cm2）.

100402’）

故选：B.

【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题.

3.（2020•云南曲靖市•高二期末（文））袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、

国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机

模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机

数，分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示

取球三次的结果，经随机模拟产生了以下1E

232321230023123021132220001

231130133231013320122103233

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为()

115

A.-B.-D.—

9618

【答案】B

【分析】经随机模拟产生的18组随机数中，恰好第三次就停止包含的基本事件有3个，由

此可以估计恰好第三次就停止的概率.

【详解】解：经随机模拟产生的18组随机数中，

232321230023123021132220001

231130133231013320122103233

恰好第三次就停止包含的基本事件有：

023123132,共3个，

31

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为P=—=~.

186

故选：B.

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

4.（2020•江西赣州市•高二期中（文））在如图所示的电路图中，开关a,b,c闭合与断

【答案】B

【分析】要使灯亮，必须a闭合，而开关6,或c闭合，再根据相互独立事件的概率乘法

公式求得结果.

【详解】解：设开关a,b,。闭合分别为事件4B,C,灯亮为事件E

则灯亮这一事件E=ABCuABCuABC.

且4B,「相互独立，ABC.ABC，A耳C两两互斥,

P(E)=P[(ABC)u(ABC)u(ABC)]

=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(B)尸(C)+P(A)P(B)•P(C)+P(A)P(与)P(C)

3

8

故选:B.

【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题.

5.（2018•陕西西安市•长安一中高二期末（文））已知某运动员每次射击击中目标的概率

为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器给

出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中

目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:7527

0293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597

742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为

A.0.852B.0.8192C.0.8D.0.75

【答案】D

【分析】因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5

组,即可求得答案.

【详解】•••射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5

组，

•••射击4次至少击中3次的概率约为1-2=0.75,

故选:I）.

【点睛】本题考查了根据随机模拟的方法估计概率,解题关键是掌握随机模拟的方法估计概

率的方法,考查了分析能力,属于基础题.

6.（2020•山西（理））《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王

的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田

忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹

进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（）

【答案】A

【分析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田

忌的马获胜的概率.

【详解】依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b，c,齐王的上等马、

中等马、卜等马分别为A,B,C.由题意可知，可能的比赛为aA，bA,cA,aB,

bB.cB,aC，bC，cC,共9利L其中田忌可以获胜的事件为aB，aC，bC,共3

种，则齐王的马获胜的概率P=l—2=—.

93

故选：A.

【点睛】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解

能力，考查函数与方程思想，是基础题.

7.（2018•江西省信丰中学高二月考）2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪

念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪

念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷

100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）

726n3631363兀

A.mnr2B.mm2C.-UD.mm-9

52041()

【答案】D

【分析】落在军旗内部的次数除以总次数约等于军旗面积除以圆的面积.

【详解】由已知圆形金质纪念币的直径为229，得半件r=11/加

则圆形金质纪念币的面积为％/=%x1/=121"

所以估计军旗的面积大约是=迎包m

10010

故选:D

【点睛】此题考查利用随机模拟方法对几何概型的辨析.属于基础题

8.（2019•湖北高二期中（理））已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体

4

店购买.经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为不，而实体店里家用小电器

9

的合格率约为一，工商局12315电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投

10

诉的是在网上购买的概率约为75%.那么估计在网上购买家用小电器的人约占（）

32八43

A.-B.-C.-D.一

5577

【答案】A

【分析】设在网上购买的人数占比为X,实体店购买的人数占比为l-x,分别求出各自被

投诉的人数的占比，即可求解.

【详解】设在网上购买的人数占比为X,实体店购买的人数占比为1-X,

4

由题意可得，网上购买的合格率为二，