2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.2.1常见函数的导数课时素养评价含解析苏教版选修2-2

PAGE课时素养评价三常见函数的导数(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=sinQUOTE的导数是 ()A.sinx B.cosx C.-sinx D.-cosx【解析】选C.y=sinQUOTE=cosx,所以y′=-sinx.2.f(x)=a3(a>0,a≠1),则f′(2)= ()A.8 B.12 C.8ln3 【解析】选D.f(x)=a3(a>0,a≠1)是常数函数,所以f′(x)=0.所以f′(2)=0.3.若函数f(x)=QUOTE,则f′(1)= ()A.0B.-QUOTEC.1D.QUOTE【解析】选B.因为f(x)=QUOTE,所以f′(x)=-QUOTE,f′(1)=-QUOTE.4.曲线y=QUOTE在点M(3,3)处的切线方程是 ()A.x-y-6=0 B.x+y-6=0C.x+y+6=0 D.x-y+6=0【解析】选B.因为y′=-QUOTE,所以当x=3时,y′=-1,所以过点(3,3)的切线方程为y-3=-(x-3),即x+y-6=0.5.已知直线l是曲线y=QUOTEx3+x的切线中倾斜角最小的切线,则l的方程是()A.y=QUOTEx B.y=xC.y=2x D.y=4x【解析】选B.因为y′=x2+1≥1,所以过点(0,0)且斜率为1的切线倾斜角最小,所以直线l的方程是y=x.二、填空题(每小题5分,共15分)6.物体的运动方程为s=t3,则物体在t=1时的速度为____________,在t=4时的速度为____________.

【解析】s′=3t2,当t=1时,s′=3,当t=4时,s′=48.答案:3487.过曲线y=QUOTE上一点P的切线的斜率为-4,则P的坐标为____________.

【解析】因为y′=-QUOTE,令-QUOTE=-4,得x=±QUOTE,P的坐标为QUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE8.与直线2x-y-4=0平行且与曲线y=QUOTE相切的直线方程是____________.

【解析】因为直线2x-y-4=0的斜率为k=2,又因为y′=(QUOTE)′=QUOTE,所以QUOTE=2,解得x=QUOTE.所以切点的坐标为QUOTE.故切线方程为y-QUOTE=2QUOTE.即16x-8y+1=0.答案:16x-8y+1=0三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的导数.(1)y=sinQUOTE.(2)y=QUOTE.(3)y=3-x.(4)y=-2sinQUOTE.【解析】(1)y=sinQUOTE=QUOTE为常数,所以y′=0.(2)y=QUOTE=x-2,所以y′=-2x-3=-QUOTE.(3)y=3-x=QUOTE,所以y′=QUOTElnQUOTE=-3-xln3.(4)y=-2sinQUOTE=-2sinQUOTE·QUOTE=2sinQUOTEcosQUOTE=sinx,y′=cosx.10.求经过点(2,0)且与曲线y=QUOTE相切的直线方程.【解题指南】先验证点是否在曲线上,然后依据导数公式进行求导.【解析】可以验证点(2,0)不在曲线上,故设切点为P(x0,y0).由y′=-QUOTE,得所求直线方程为y-y0=-QUOTE(x-x0).由点(2,0)在直线上,得QUOTEy0=2-x0,再由P(x0,y0)在曲线上,得x0y0=1,联立可解得x0=1,y0=1.所求直线方程为x+y-2=0.(20分钟·40分)1.(5分)若函数y=x5(-1≤x≤2)图象上任一点处的切线斜率为k,则k的最小值为 ()A.0B.5C.-1D.32【解析】选A.因为y=x5,所以y′=5x4,因为y′=5x4在[-1,2]上的最小值为0,故切线斜率的最小值为0.2.(5分)(多选题)若f(x)=sinx,f′(α)=QUOTE,则下列α的值中满意条件的是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】选AD.因为f(x)=sinx,所以f′(x)=cosx.又因为f′(α)=cosα=QUOTE,所以α=2kπ±QUOTE(k∈Z).当k=0时,α=±QUOTE.当k=1时,α=QUOTEπ或α=QUOTEπ,故AD满意条件.3.(5分)正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角αl的取值范围是____________.

【解析】因为(sinx)′=cosx,所以kl=cosx,所以-1≤kl≤1,所以αl∈QUOTE∪QUOTE.答案:QUOTE∪QUOTE4.(5分)已知函数y=kx是曲线y=lnx的一条切线,则k=____________.

【解析】设切点为(x0,y0),因为y′=QUOTE,所以k=QUOTE,所以y=QUOTE·x,又点(x0,y0)在曲线y=lnx上,所以y0=lnx0,所以lnx0=QUOTE,所以x0=e,所以k=QUOTE.答案:QUOTE5.(10分)证明曲线xy=1上随意一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于常数.【证明】由xy=1得y=QUOTE(x≠0),y′=-QUOTE,设切点QUOTE,则当x=x0时,k=-QUOTE,切线方程为y-QUOTE=-QUOTE(x-x0),即y=-QUOTE+QUOTE,当x=0时,y=QUOTE,当y=0时,x=2x0,S△=QUOTE·|2x0|=2为常数,故曲线xy=1上随意一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于常数.【拓展延长】求切线方程的常见方法(1)数形结合.(2)将直线方程代入曲线方程利用判别式.(3)利用导数的几何意义.6.(10分)已知函数f(x)=QUOTE其图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1,求它在点(-3,f(-3))处的切线方程.【解析】当x<-1时,-x-2>-1,故f(-x-2)=a(-x-2)2+b(-x-2)+c=ax2+(4a-b)x+4a-2b+c,由图象