2016-2017学年人教版九年级数学上册全册课时精讲(含答案)

学期衔接训练

一、选择题

1.计算"7羽一的结果是(B)

A.一小B.小C.—y＞/3D.y^3

2.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为(D)

A.5B中C邓D.5或币

3.种植能手李大叔种植了•批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽

查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜

根数的中位数和众数分别是(C)

A.13.5,20B.15,5C.13.5,14D.13,14

4.根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为(A)

X-201

y3P0

A.lB.-1C.3D.-3

5.如图，在RtAJBC中，Z5=90°,AB=3,BC=4,点。在BC上，以4c为对角

线的所有％DCE中，DE最小的值是(B)

A.2B.3C.4D.5

二、填空题

6.若整数x满足恸＜3,则使、斤三为整数的x的值是一2或3.(只需填一个)

7.若一组数据2,—1,0,2,—1，〃的众数为2,则这组数据的平均数为1.

8.如图，已知一条直线经过点,2),8(1,0),将这条直线向左平移与x轴、＞轴分

别交于点C,D若DB=DC,则直线CD的函数解析式为y=-2x-2.

三、解答题

9.如图，在平行四边形N8CZ)中，后为8c边上的一点，连接ZE,BD,且

(1)求证：NABE=NEAD；

(2)若,求证：四边形力8。£)是菱形.

解：⑴证N4BE=N4EB=NEAD(2)；AD〃BC,：.NADB=NDBE,NABE=

NAEB,NAEB=2NADB,：.ZABE=2ZADB.NABD=/ABE-/DBE=2NADB-N

4DB=NADB,：.AB=AD,又：四边形/8CD是平行四边形，，四边形488是菱形

10.某巾出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，M元)表示车费，请根据图象

回答下面的问题：

(1)出租车的起步价是多少元？当x>3时，求〉关于x的函数关系式；

(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程.

解：(1)山图象得：出租车的起步价是8元；设当x>3时，y与x的函数关系式为

+b,由函数图象，得

S=3k+b,

«解得

I2=5k+b,

k—2,,

,故y与x的函数关系式为y=2x+2

6=2,

(2)当y=32时，32=2x+2,x=15,则这位乘客乘车的里程是15km

第二十一章

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

碰LJL习一昱量________

1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二_的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式为以2+1+。=0（“卜0）.

3.使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的，也叫做

一元二次方程的根.

课内精练

知识点1：一元二次方程的概念

1.下列方程是一元二次方程的是（。）

A.ax2+bx+c=OB.3x2-2x=3（x2-2）

C.X3-2X-4=0D.（X-1）2-1=0

2.关于x的一元二次方程（a-BM^+x+a?—9=0,其中a的取值范围为（C）

A.a>3B.a23

C.aW3D.a<3

3.已知关于x的方程（n?-4）x2+（m—2）x+3m=0,当m3±2时,它是一元二次

方程；当m=-2时,它是一元一次方程.

知识点2：一元二次方程的一般形式

4.方程3x2=5x—1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数

项分别是（8）

4.3,5,-1B.3,-5,1

C.3,-5,-1D.3,5,1

5.将一元二次方程2y2—1=小丫化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数

和常数项.

解：一般形式为2y2—小y—1=0,其中二次项系数是2，一次项系数是一小，常数项

是一1

知识点3：一元二次方程的解（根）

6.下列关于x的方程中，一定有实数根一1的是（C）

A.X2-X+2=0B.X2+X-2=0

C.X2-X-2=0D.X2+1=0

7（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一个根是1则k=2.

知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系

8.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为

X米，则根据题意可列出关于x的方程为(8)

A.x(5+x)=6B.x(5—x)=6

C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=6

9.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为般形式.

(1)正方体的表面积为54,求正方体的边长x；

解：6x2=54,一般形式为6x2—54=0

(2)x个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共进行了30场比赛，

求参赛的篮球队数X.

解：1x(x—1)=30,-一般形式为#—gx—30=0

缸量M二达顿…一…一

10.下列是方程3X2+5X-2=0的解的是(C)

A.x=­1B.x=1

C.x=-2D.x=2

11.已知实数a,b满足a2—3a+l=0,b2—3b+1=0,则关于一元二次方程x?-3x+l

=0的根的说法中正确的是(。)

A.x=a,x=b都不是该方程的解

B.x=a是该方程的解，x=b不是该方程的解

C.x=b是该方程的解，x=a不是该方程的解

D.x=a,x=b都是该方程的解

12.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a/0)的一个解是x=1,则2015—a-b

的值是(Z)

A.2020B.2010

C.2016D.2014

13.若方程(m—2)x2+而x=l是关于*的一元二次方程，则m的取值范围是m20

目mW2.

14.小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的

一边长x厘米，则另一边长(17—x)厘米,列方程得X2+(17—X)2=132.

15.如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，AB=8,阴影部分的面积是24,另外

两个小矩形全等.设小矩形的长为x,则可列出的方程为x(2x—8)=24.

16.分别根据下列条件，写出一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的一般形式.

(l)a=5,b=—4,c=—1；

(2)二次项系数为3,一次项系数为一7，常数项为2.

解：(1)5X2-4X-1=0

(2)3X2-7X+2=0

17.根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式.

(1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样

共有756条消息；

(2)两个连续奇数的平方和为130,求这两个奇数.

解：(l)x(x-1)=756,X2-X-756=O

(2)设这两个连续奇数分别为n,n+2,则n2+(n+2)2=130,2n2+4n-126=0

18.关于x的方程但一3械）+*—5=0是一元二次方程，求a的值.

仙一1=2,

解：由定义可得解得a=-3

a—3W0,

“自遵耀战

19.已知k是方程x2-101x+l=0的一个不为0的根，不解方程，你能求出1?一1001<

器■的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由.（用方程根的定义解答）

1k2+1

解：Vk2-101k+l=0,.*.k2-100k=k-l,k2+l=101k,原式=k-1+工=—[――1

KK

*1=100

K

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1课时直接开平方法

显字____

1.若x2=a(a)0),则x就叫做a的平方根，记为x=述(a20),由平方根的意

义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

2.直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程.

3.如果方程能化为x?=p(p—0)或(mx+n)2=p(pN0)的形式，那么或mx

❸…嘿内精/______

知识点1：可化为x2=p(p20)型方程的解法

1.方程X?—16=0的根为(C)

A.x=4B.x=16

C.x=±4D.x=±8

2.方程x2+m=0有实数根的条件是(。)

A.m>0B.m20

C.m<0D.mWO

3.方程5y2—3=y?+3的实数根的个数是(C)

4.0个B.1个

C.2个D3个

4.若4x2—8=0成立，则x的值是.

5.解下列方程：

⑴3x2=27；

解：X1=3,X2=—3

(2)2x2+4=12；

解：X|=2,X2=—2

(3)5X2+8=3.

解：没有实数根

知识点2：形如(mx+n)2=p(p20)的解法

6.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x

+6=4,则另一个一元一次方程是(。)

A.x—6=—4B.x—6=4

C.x+6=4D.x+6=—4

7.若关于X的方程(x+1)2=1—k没有实数根，则k的取值范围是(。)

A.k<lB.k<-l

C.k，lD.k>l

8.一元二次方程(x-3/=8的解为x=3±2也

9.解下列方程：

(l)(x-3)2—9=0；

解：Xi=6,x2=0

(2)2(X-2)2-6=0；

解：X]=2+，5,x?=2—y[3

(3)X2-2X+1=2.

解：xj=1+yf2,x2=1~y[2

破L课时达4___

10.(2014•白银)一元二次方程(a+l)x2—ax+a2—l=0的一个根为0,则a=J.

11.若的值为0,则x=2.

12.由x2=y2得x=±y,利用它解方程(3x-4y=(4x-3p,其根为x=±l.

13.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规则，方程(x+

2)*5=0的根为xj.=3,x?=7.

14.下列方程中，不能用直接开平方法求解的是(C)

A.X2-3=0B.(X-1)2-4=0

C.X2+2X=0D.(X-1)2=(2X+1)2

15.(2014•枣庄冈，X2是一元二次方程3(X-1)2=I5的两个解，且x4x2,下列说法正

确的是(Z)

A.X|小于一1,X2大于3

B.X1小于一2,X2大于3

C.X],X2在T和3之间

£>.X],X2都小于3

16.若(x2+y2—3)2=16,则x2+『的值为(4)

A.7B.7或一1

C.-1D.19

17.解下列方程：

(l)3(2x+1)2-27=0；

解：Xi=l,X2=-2

(2)(x—也)(x+也)=10；

解：Xi=2小,X2=—2小

(3)X2-4X+4=(3-2X)2；

解：X1=1,X2=g

(4)4(2X-1)2=9(2X+1)2.

解：x)=-|,x2=­

18.若2(x?+3)的值与3(1—x2)的值互为相反数，求学的值.

x-J-32x3

解：由题意得2(x?+3)+3(l—x?)=0,，x=±3.当x=3时'，y=§；当x=-3时,

映自苑辨战

19.如图，在长和宽分别是a,b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.

(1)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积；

(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.

ft?：(l)ab—4x2(2)依题意有ab—4X2=4X2,将a=6,b=4代入，得x2=3,解得x1=

小,X2=—小(舍去)，即正方形的边长为小

第2课时配方法

胸…预习导裳_____

1.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.

2.配方法的一般步骤：

(1)化二次项系数为1,并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；

(2)配方：方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方

式，写成(mx+nf=p的形式;

⑶若p20,则可直接开平方求出方程的解；若P<0,则方程无解.

❸…课内精缄_____

知识点1：配方

1.下列二次三项式是完全平方式的是(8)

A.X2—8x—16B.x2+8x+16

C.x2一4x—16D.X2+4X+16

2.若x2-6x+m2是一个完全平方式，则m的值是(C)

A.3B.—3

C.±3D.以上都不对

3.用适当的数填空：

X2—4x+4=(x—2『；

93

n?及m+^=(m芍尸.

知识点2：用配方法解x"px+q=O型的方程

4.用配方法解一元二次方程x2—4x=5时，此方程可变形为(D)

A.(X+2)2=1B.(X-2)2=1

C.(X+2)2=9D.(X-2)2=9

5.下列配方有错误的是(。)

A.x2—2x-3=o化为(X-1)2=4

B.X2+6X+8=0化为(X+3)2=1

C.x?—4x-l=0化为(X—2)2=5

D.x2-2x—124=0化为(x—1)2=124

6.(2014•宁夏)一元二次方程X2-2X-1=0的解是(C)

A.Xi=X2=1

B.Xi=l+也,X2=—1—也

C.X]=l+爽,X2=l一也

D.X]=­1,x2=-1-y/2,

7.解下列方程：

(1)X2-4X+2=0；

解：X[=2~f~y/2,X2=2—y[2

(2)X2+6X-5=0.

解：Xi=—3+V14,x2=-3—^14

知识点3：用配方法解ax2+bx+c=0(aW0)型的方程

8.解方程3X2-9X+1=0，两边都除以3得X?—3x+g=0.配方后得以一号宰

9.方程3X2-4X-2=0配方后正确的是(。)

A.(3X-2)2=6B.3(X-2)2=7

C.3(x-6”7D.3(x一务=?

10.解下列方程：

(1)3X2-5X=-2；

2

解：Xi=j,x2=l

(2)2X2+3X=-1.

=

解：Xj=-1,x2~2

达顿_____

11.对于任意实数x,多项式X2-4X+5的值一定是(B)

A.非负数B.正数

C.负数D.无法确定

12.方程3x2+也x=6,左边配方得到的方程是(B)

Z.(X十6)—18从(X十6)—18

6

C.(x+6)-[8D(x+6)-18

13.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x—p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配

方成下列的(8)

A.(x—p)2—5B.(x—p)2=9

C.(x—p+2)2=9D.(x—p+2)2=5

14.已知三角形一边长为12,另两边长是方程x2—18x+65=0的两个实数根，那么其

另两边长分别为5和13,这个三角形的面积为3Q..

15.当x=」一时，式子200—仪一2)2有最大值，最大值为20。；当丫=一1

时，式子,+2丫+5有最小值为4_.

16.用配方法解方程：

21

(1)铲2=2一铲；

3

解：X]=],X2=—2

(2)3,+1=2小y.

解：yi=y2=^

17.把方程X2—3x+p=0配方得到(x+m)2=T,求常数m与p的值.

37

解：m=-2,p=4

18.试证明关于x的方程(a?—8a+20)x2+2ax+l=0,无论a为何值，该方程都是一元

二次方程.

»：Va2-8a+20=(a-4)2+4^0，工无论a取何值，该方程都是一元二次方程

旦用战

19.选取二次三项式ax2+bx+c(a#0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方.例

如：①选取二次项和一次项配方：x2-4x+2=(x-2)2-2;②选取二次项和常数项配方：x2

-4x+2=(x-也了+(2也-4)x，或x2-4x+2=(x+也)?-(4+2啦)x;③选取一次项和常

数项配方：x?—4x+2=(/x-也了一x?.根据上述材料,解决下歹!]问题：

(1)写出X2-8X+4的两种不同形式的配方；

(2)已知x2+y2+xy—3y+3=0,求/的值.

解：(l)x2—8x+4=x2—8x+16—16+4=(x—4)2—12；x2—8x+4=(x—2)2+4x~8x=(x

]313

-2)2—4x(2)x2+y2+xy-3y+3=o,(x2+xy+^y2)+(^y2-3y+3)=0,(x+^y)2+4(y-2)2

=0,又：(x+1y)220,1(y-2)2>0,/.x+1y=0,y-2=0,：.x=—1,y=2,则xy=(-

1)2=1

21.2.2公式法

顿二理(国一导一学一……

1.一元二次方程ax2+bx+c=O(a:#:O),当b?—4ac20时,x=-4江,这

Za

个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.

2.式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，常用△表示，△

>0㈡ax?+bx+c=0(aW0)有有两个不等的实数根；A=0<=>ax2+bx+c=0(aW0)有_

两个相等的实数根；A<0相ax2+bx+c=0(a#0)手有实数根.

内精练=___

知识点1:根的判别式

1.下列关于X的方程有实数根的是(C)

A.x2—x+l=0B.x2+x+1=0

C.(x-l)(x+2)=0D.(x-l)2+l=0

2.(2014•兰州)一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)有两个不相等的实数根，下列选项中

正确的是(8)

A.b2-4ac=0B.b2-4ac>0

C.b2-4ac<0D.b2-4ac>0

3.一元二次方程X2-4X+5=0的根的情况是(D)

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

4.利用判别式判断卜列方程的根的情况：

(1)9X2-6X+1=0；

解：•.•a=9,b=-6,c=l,；.△=(-6)2—4X9X1=0一•.此方程有两个相等的实数

根

(2)8X2+4X=-3；

解:化为一般形式为8X2+4X+3=0,Va=8,b=4,c=3,A△=42-4X8X3=-80

<0，，此方程没有实数根

(3)2(X2-1)+5X=0.

解：化为一般形式为2X2+5X-2=0,Va=2,b=5,c=-2，二A=5?—4X2X(—2)

=41>0，，此方程有两个不相等的实数根

知识点2：用公式法解一元二次方程

5.方程5x=2x?-3中，a=2,b=—5,c=—3,b?-4ac=49.

6.一元二次方程x?—x—6=0中4ac=25，可得Xi=3,x0=-2

7.方程X2—x—1=0的一个根是(8)

1一小

A.1一小B:

.2

C.-1+V5。二^^

8.用公式法解下列方程：

(1)X2-3X-2=0；

有3+63—5

解：X[=----2-,x2=----2-

(2)8x2—8x+1=0

.2+啦2f

解：X|=-4,X2=-4

(3)2x2—2x=5._

.[+yri[—y/n

解：X[=2，x2=2

破L课时达顿_____

9.(2014•广东)关于x的一元二次方程x2—3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m

的取值范围为(8)

99

A.m>aB.

99

C.m=aD.mV-彳

10.若关于x的一元二次方程kx2-2x-l=0有实数根，则实数k的取值范围是(C)

A.k>-lB.k<l且k/0

C.k》一Li.kW0Dk>-l月一kWO

11.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b-l=O有两个相等的实数根，则b的值是

2.

12.关于x的方程5+1仅2—4*-1=0有实数根，则a满足的条件是a2一5.

13.用公式法解下列方程：

(l)x(2x—4)=5—8x；

-2+5—2—yn

解：X]=----2->x2-----2-

(2)(3y-l)(y+2)=lly-4.

段3+小3f

解：y<=~y~，y2=~y-

x+1<3x—3,

14.当x满足条件h1时，求出方程x2-2x-4=0的根.

2(X—4)(X—4)

解：解不等式组得2Vx<4,解方程得X|=l+小,X2=l一小,.,.X—1+-75

15.(2014•梅州)已知关于x的方程x?+ax+a—2=0.

(1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

13

解：(l)a=],另一个根为x=-]

(2)VA-a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0，，无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实

数根

16.关于x的一元二次方程(a—6)x2—8x+9=0有实数根.

(1)求a的最大整数值；

(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根.

解：(1)；关于x的一元二次方程(a—6)x2—8x+9=0有实根，..W一6Ho,A=(-8)2

—4X(a—6)X920，解得aW当且aW61a的最大整数值为7(2)当a=7时，原一元二次

方程变为x2-8x+9=0.Va=1,b=-8,c=9,A=(-8)2-4X1X9=28,Ax=

------,即X|=4+6,X2=4-币

隹册战

17.(2014•株洲)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分

别为4ABC三边的长.

(1)如果x=-1是方程的根，试判断4ABC的形状，并说明理由：

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断4ABC的形状，并说明理由；

(3)如果4ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

解：⑴aABC是等腰三角形.理由：：x=-l是方程的根，，(a+c)X(-l)2—2b+(a

-c)=0,.*.a+c-2b+a-c=0,/.a-b=0,Aa=b".△ABC是等腰三角形(2)：方程

有两个相等的实数根，.•.(2b)2-4(a+c)(a—c)=0,.-.4b2-4a2+4c2=0,Aa^^+c2,/.△

ABC是直角三角形(3)当a=b=c时，可整理为2ax2+2ax=0,.,.x2+x—0,解得X|=0,

X2=-l

21.2.3因式分解法

顿=^二国一基早二……

1.当一元二次方程的一边为0,另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将••

元二次方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,

从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.

2.解一元二次方程，首先看能否用直接开平方法；再看能否用因式分解法；

否则就用公式法；若二次项系数为1,一次项系数为偶数可先用配方法.

立建内精练—__

知识点1：用因式分解法解一元二次方程

1.方程(x+2)(x—3)=0的解是(C)

A..x-=2B.x—■3

C.X]=­2,X2=3D.Xi=2,X2=-3

2.一元二次方程x(x-5)=5-x的根是(D)

A.-1B.5

C.1和5D.一1和5

3.(2014•永州)方程X2-2X=0的解为x4=0,x2=2.

4.方程x?—2x+l=0的根是X[=X2=1.

5.用因式分解法解下列方程：

(l)x2—4=0；

解：X]=2,x?=—2

(2)X2-2V3X=0；

解：X]=0,X2=2，§

(3)(3—x)2—9=0；

解：X|=0,X2=6

(4)X2-4X+4=(3-2X)2.

解：X1=1,x2=|

知识点2：用适当的方法解一元二次方程

6.解方程(x+l)2—5(x+l)+6=0时，我们可以将x+1看成一个整体，设x+l=y,

则原方程可化为y2—5y+6=0,解得y\—2,y2=3.当y=2时，即x+1=2,解得x=l；当

y=3时,即x+l=3,解得x=2,所以原方程的解为xi=l,x?=2.利用这种方法求方程(2x

-l)2-4(2x-l)+3=0的解为(C)

A.x]—1,X2~3B.X]=­1,X2—-3

-

C.xi=1,X2=2D.X]=0,x2=1

7.用适当的方法解方程：

(1)2(X-1)2=12.5；

解：用直接开平方法解,X]=3.5,X2=-1.5

(2)X2+2X-168=0；

解：用配方法解，xi=12,x2=-14

(3的2=2X；

解：用因式分解法解，XI=0,X2=也

(4)4X2-3X-2=0.

解：用公式法解，x尸"产,X2=q^

OO

8.方程x(x—l)=-x+l的解为(。)

A.x=lB.x=-1

C.X]=0,x2=1D.Xj-■1,x2=-1

9.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是(4)

A.(2x+2)(3x+4)=0化为2x+2=0或3x+4=0

B.(x-3)(x+l)=l化为x—3=l或x+l=l

C.(x-2)(x-3)=2X3化为x—2=2或x-3=3

D.x(x-2)=0化为x-2=0

10.一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的边长是方程(x—2)(x—4)=0的根，则

这个三角形的周长是(C)

A.118.11或13

C.13D.以上都不对

11.(2014•陕西)若x=-2是关于x的一元二次方程X2—|ax+a2=0的一个根，则a的

值是(8)

4.1或4B.-1或一4

C.-1或4D.1或一4

12.已知x=l是关于x的方程(l-k)x2+k2x-l=0的根.则常数k的值为0或1.

13.已知(x?+2x—3)°—x2——3x+3,贝x—2

14.用因式分解法解下列方程：

(l)x2—3x=x—4；

X1=X2=2

(2)(X-3)2=3(X-3).

解：X|=3,X2=6

15.用适当的方法解下列方程：

(1)4(X-1)2=2；

.啦+2-g+2

解：X]=q^-,x2=-2---

(2)X2-6X+4=0；

解：xi=3+小，X2=3一小

(3)X2-4=3X-6；

解：X|=l,x?—2

(4)(X+5)2+X2=25.

解：X]=—5,X2=0

16.一跳水运动员从10”?高台上跳下，他离水面的高度h(单位：M与所用时间t(单位:

s)的关系是h=-5(t—2)(t+l),那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？

解：依题意，得一5(t—2)(t+l)=0,解得h=-1(不合题意，舍去)，t2=2,故运动员从

起跳到入水所用的时间为2s

宜3,辨战

17.先阅读下列材料，然后解决后面的问题：

材料•：因为二次三项式x2+(a+b)x+ab=:(x+a)(x+b),所以方程x2+(a+b)x+ab=0

可以这样解:(x+a)(x+b)=0，/x+a=0或x+b=0,/.x^—a,x2=-b.

问题：

(1)用因式分解法解方程x2-kx-16=0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为—

—15,—6,0,6,15；

回靛

名加中课堂

(2)已知实数x满足(x?—x)2—4(x2—x)—12=0,则代数式x+1的值为_7

专题训练（一）一元二次方程的解法及配方法的应用

一、一元二次方程的解法

1.用直接开平方法解方程：

⑴(4x-1)2=225；

7

解：Xi=4,x2=—2

(2)；(X-2)2=8；

解：X|=2+2灰，X2=2-2#

(3)9X2-6X+1=9；

解：X1=y,x2=­j

(4)3(2X+1)2-2=0.

解：X尸乎平，X2=_,_平

2.用配方法解方程：

(l)2t2-3t=-l；

解：L=/,t2=l

(2)2X2+5X-1=0；

—5+而-5—市

角％X]一—,x2-4

(3)(2x-l)(3x-l)=3-6x；

M12

解：Xi=2»X2=-3

(4)(2X-1)2=X(3X+2)-7.

解：X[=4,X2=2

3.用公式法解方程：

(1)X2=6X+1;

解：XI=3+A/-10,X2=3—VT5

(2)0.2X2-0.1=0.4X；

解：x尸苧

（3h/2x-2=2x2.

解：原方程无实数根

4.用因式分解法解方程:

(1)(X-1)2-2(X-1)=0；

解：X1=3,X2=l

(2)5x(x—3)=(x—3)(x+1)；

解：x,=3,X2=9

(3)(x+2)2-10(x+2)+25=0.

解：xi=x2=3

5.用适当的方法解方程：

(1)2(X-3)2=X2-9；

解：X|=3,X2=9

(2)(2X+1)(4X-2)=(2X-l)2+2；

A,-1+而一加

角岸：X|=---丁一,x2=---丁一

(3)(x+l)(x—l)+2(x+3)=8.

解：X1=1,X2=—3

二、配方法的应用

（一）最大（小）值

6.利用配方法证明：无论X取何实数值，代数式一X2—X—1的值总是负数，并求出它

的最大值.

i31i1

解:—x2—x—1=—(x+2)2—4，:一仪+寸式。,—(x+2)2—4<0，故结论成立.当

X=—2时，一X2一X—1有最大值一a

7.对关于x的二次三项式X2+4X+9进行配方得x2+4x+9=(x+m)2+n.

⑴求m,n的值；

(2)求x为何值时，X2+4X+9有最小值，并求出最小值为多少？

解:(1)Vx2+4x+9=(x+m)2+n:=x2+2mx+m2+n,.*.2m=4,m2+n=9,；.m=2,

n=5

(2)Vm=2,n=5,.*.x2+4x+9=(x+2)2+5,.,.当x=-2时,有最小值是5

(二)非负数的和为0

8.已知a2+b?+4a-2b+5=0,求3a2+5b2—5的值.

解：a2+b2+4a—2b+5=0,(a2+4a+4)+(b2—2b+1)=0,即(a+2)?+(b—1)2=0,

，a=-2,b=l..\3a2+5b2-4=3X(-2)2+5Xl2-5^12

9.若a,b,c是AABC的三边长且满足a~—6a+b?-8b+#—5+25=0，请根据已知

条件判断其形状.

解：等式变形为a2-6a+9+b2-8b+16+drE=0,即(a—3y+(b—4『+］右=0,

由非负性得(a—3)2=0,(b-4)2=0,加=3=0,；.a=3,b=4,c=5.V32+42=52,即a2

+b2=c?,.•.△ABC为直角三角形

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

顿二理(国-导一学=-一

2

1.若一元二次方程x+px+q=0的两个根分别为Xi,x2,则xi+x产一p,XjX2

=g

2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的两个根分别为X1,x2,则x1+x2=—与，

C

X1X==_.

2a

3.一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系应用条件：(1)--般形式，即ax?+

bx+c=O:(2)二次方程，即aWO；(3)有根，即b2—4acM.

内精练――

知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值

1.已知XI,X2是一元二次方程x2+2x-l=0的两根，则X|+X2的值是(C)

A.0B.2C.-2D.4

2(2014•昆明)已知xi*2是一元二次方程x2—4x+l=0的两个实数根则等于(C)

A.-4B.-1C.1D.4

3.已知方程x?—6x+2=0的两个解分别为X,,x2,则X]+x2—X]X2的值为(。)

A.-8B.-4C.8D.4

4.已知X|,X2是方程x?—3x—4=0的两个实数根，则(xi—2)(x?-2)=-6.

5.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：

(1)X2+3X+1=0：

解：X|+X2=-3,X।X2-1

(2)2X2-4X-1=0；

解：XI+X2=2,X|X2=一；

(3)2X2+3=5X2+X.

解：Xi+X2=­；,X[X2=-1

6.已知X1,X2是一元二次方程x2—3x—1=0的两根，不解方程求下列各式的值：

(1—2：(24+9

222

解：(1)X1+X2=(X1+X2)—2X1,x2=ll

知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值

7,已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的两根互为相反数，则(B)

A.b>0B.b=0C.b<0D.c=0

8.已知一元二次方程X2-6X+C=0有一个根为2,则另一根和c分别为(C)

4・1,2氏2,4C.4,8。・8,16

9.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为X|=-2,X2=4,则b

+c的值是(Z)

A.-10B.10C.-6D.—1

10.(2014•烟台)关于X的方程x2-ax+2a=o的两根的平方和是5,则a的值是(D)

4.-1或5B.1C.5D.-1

11.若关于X的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为X-X2，且满足X|=3X2,

试求出方程的两个实数根及k的值.

X1+X2=4①,

解：由根与系数的关系得，又•••xi=3X2③，联立①③，解方程组得

.X|X2=k—3②,

x1=3,

<.*.k=XiX2+3=3X1+3=6

,X2—1,

@-___

12,已知一元二次方程X2—2X+2=0,则下列说法正确的是（。）

A.两根之和为2B.两根之积为2

C.两根的平方和为0D.没有实数根

13.已知a,B满足a+p=6,且ap=8，则以a,B为两根的一元二次方程是（B）

A.X2+6X+8=0B.X2—6X+8=0

C.X2-6X-8=0D.X2+6X-8=0

14.设X1,X2是方程x2+3x-3=o的两个实数根，则郎的值为（B）

A.5B,-5C.1D.-1

22

15.方程x—（m+6）x+m=0有两个相等的实数根，且满足x14-x2=x1x2,则m的值

是（。）

A.—2或3B.3

C,~2D.-3或2

16.（2014•呼和浩特）已知m,n是方程x?+2x—5=0的两个实数根,则m2-mn+3m

+n—8

17.在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为-8,一1；乙看错了常

数项，得出的两个根为8,1