第1讲函数的性质

第1讲函数的性质(一)题一：已知函数f(x)=|x|－cosx，对于[－π，π]上的任意x1，x2，给出如下条件：①x1>|x2|；②|x1|>x2；③x12>x22；④x13>x23，其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件的序号是________．(写出所有满足条件的序号)题二：已知函数f(x)=，对于区间(−，0)∪(0，)上的任意实数x1，x2，有如下条件：①x1>x2；②x12>x22；③|x1|>x2；④x1+x2<0；⑤x1>|x2|，其中能使f(x1)<f(x2)恒成立的条件的序号有________．(写出所有满足条件的序号)题三：已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2－x)，若函数y=|x2－2x－3|与

y=f(x)

图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则________．题四：已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)+f(x+)=0，若函数y=tan(x－)与y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则________题五：已知函数，下面是关于此函数的有关命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)既有最大值又有最小值；③函数f(x)的定义域为R，且其图象有对称轴；④对于任意的x∈(－1，0)，f(x)单调递减．其中正确的有________．题六：已知函数(x∈R)．下列命题：①函数f(x)既有最大值又有最小值；②函数f(x)的图象是轴对称图形；③函数f(x)在区间[－π，π]上共有7个零点；④函数f(x)在区间(0，1)上单调递增．其中真命题是________．(填写出所有真命题的序号)题七：已知函数，则不等式f(x)+f(x2－2)>4的解集是________．题八：设函数f(x)=－x2+2x－2()，则不等式f(x+1)>f(2x－2)的解集为________．第1讲函数的性质(一)题一：①③．详解：函数f(x)为偶函数，当x∈[－π，0]时，f(x)=－x－cosx，∴f′(x)=－1+sinx≤0恒成立，∴函数f(x)在[－π，0]上为减函数，由偶函数性质知函数在[0，π]上为增函数，对于①x1>|x2|，f(x1)>f(x2)恒成立；对于②|x1|>x2，若x1=，x2=－，则f(x1)<f(x2)；对于③x12>x22，则|x1|>|x2|，∴f(x1)>f(x2)恒成立；对于④x13>x23，则x1>x2，若x1=，x2=－，则f(x1)<f(x2)．故答案为①③．题二：②⑤．详解：f′(x)=，令g(x)=xcosx－sinx，则g′(x)=cosx－xsinx－cosx=－xsinx，当x∈(0，)时，g′(x)<0，g(x)递减，∴g(x)<g(0)=0，f′(x)<0，∴f(x)在(0，)上单调递减，又∵f(－x)=f(x)，∴f(x)为偶函数，在(－，0)上递增．①x1>x2，取x1=－，x2=－1，则f(x1)<f(x2)不成立；②x12>x22，得|x1|>|x2|，∴f(|x1|)<f(|x2|)，即f(x1)<f(x2)成立；③|x1|>x2，取x1=－，x2=－1，则f(x1)<f(x2)不成立；④x1+x2<0，取x1=－，x2=－1，则f(x1)<f(x2)不成立；⑤x1>|x2|，即|x1|>|x2|，由（2）知f(x1)<f(x2)成立．故答案为②⑤．题三：m．详解：∵函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2－x)，故函数f(x)的图象关于直线x=1对称，函数y=|x2－2x－3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2－2x－3|与

y=f(x)

图象的交点也关于直线x=1对称，故．题四：．详解：函数f(x)(x∈R)满足f(－x)+f(x+)=0，可知函数f(x)的对称中心(，0)，函数y=tan(x－)的对称中心也是(，0)，所以，函数y=tan(x－)与y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，交点中，纵坐标的和为0，横坐标的和x1+x2+…+xn=n•，所以．题五：②③．详解：由函数可知，对于①，函数f(x)显然不是周期函数，故①错误；对于②，因为sinπx有最值，函数f(x)的分母恒大于0，故f(x)有最大值又有最小值，故②正确；对于③，分母恒大于0，函数f(x)的定义域为R，sinπx是周期函数，其图象有对称轴，故③正确；对于④，因为，，故④不正确，故答案为②③．题六：①②③．详解：考虑①：函数，当且仅当x=时取等号，故函数有最大值，当x趋近于+∞和－∞时，的值趋于+∞，的取值范围为[－1,1]，所以存在最小值，故①正确；考虑②：因为f(1－x)=f(x)，所以x=为f(x)的对称轴，故②正确；考虑③：因为f(x)=0，即sinπx=0，故x=k，k为整数，∴区间[－π，π]上有－3，－2，－1，0，1，2，3共7个零点，故③正确；考虑④：f(0)=f（1）=0，所以f(x)不可能单调递增；故④错误．综上①②③正确，故答案为①②③．题七：(－∞，－2)∪(1，+∞)．详解：令，则，所以f(x)+f(x2－2)>4等价于，即，又∵，∴∴g(－x)=－g(x)，即函数g(x)是奇函数，当x≥0时，g(x)为增函数，即函数g(x)在(－∞，+∞)上为增函数，则不等式等价于，即x2－2>－x，即x2+x－2>0，得x>1或x<－2，

即不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，+∞)．题八：(－∞，1)∪(3，+∞)．详解：函数f(x)=－x2+2x－2()=1－(x－1)2－2()，则不等式f(x+1)>f(2x－2)，即为1－x2－2()>1－(2x－3)2－2()，设g(t)=1－t2－2()，g(－t)=1－t2－2()=g(t)，可得g(t)为偶函数，且t>0