1014概率的基本性质精讲

10.1.4概率的基本性质(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:判断事件的互斥关系题型2:利用互斥事件的概率公式求概率题型3:互斥事件与对立事件的辨析题型4:写出某事件的对立事件题型5:利用对立事件的概率公式求概率三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）性质1：对任意的事件，都有；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.知识点2：互斥事件的概率加法公式（性质3）性质3：如果事件与事件互斥，那么；注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.知识点3：对立事件的概率（性质4）性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；知识点4：概率的一般加法公式（性质6）性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有二、重点题型分类研究题型1:判断事件的互斥关系典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（

）A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”【答案】A【详解】5件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果：“两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品”根据互斥事件可知：A正确；“至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确；“至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C不正确；“恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确；故选：A．例题2．（2022春·四川广元·高二期末）从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（

）A．取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球B．取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球C．取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球D．取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球【答案】D【详解】A答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件B答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件C答案中的两个事件不能同时发生，但必有一个发生，既是互斥事件又是对立事件D答案中的两个事件不能同时发生，也可以都不发生，故是互斥而不对立事件故选：D同类题型演练1．（2022·高一课时练习）一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（）A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【详解】由题意可知，事件与为互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.故选：A.2．（2022秋·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考阶段练习）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（

）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球【答案】BD【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.题型2:利用互斥事件的概率公式求概率典型例题例题1．（2022春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐101中学校考期末）已知，，如果，那么（

）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】A【详解】∵，∴，互斥，∴.故选：A.例题2．（2022·全国·高三专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因随机事件，互斥，则，依题意及概率的性质得，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C例题3．（2022·全国·高一假期作业）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求取球2次即终止的概率；（2）求甲取到白球的概率.【答案】（1）；（2）【详解】（1）设事件A为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：因此，.（2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数：所以.同类题型演练1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】依题意，，，显然事件A，B互斥，，事件B，C互斥，则，于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.故选：ABC2．（2023·全国·高三专题练习）甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，则乙不输的概率为___________.【答案】##0.75##75%【详解】解：乙不输的事件包含两人下和棋或乙获胜故乙不输的概率为故答案为：3．（2022秋·山东济宁·高二校考阶段练习）有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C发生的概率.【答案】，，【详解】设，则，.由题意知，解得.所以，，.题型3:互斥事件与对立事件的辨析典型例题例题1．（2023·高三课时练习）从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（

）A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C．“都是白球”与“至少有一个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”【答案】A【详解】对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确；对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确；对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选A.例题2．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（

）A．“至少有1本数学书”和“都是语文书”B．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”C．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书”D．“至多有1本数学书”和“都是语文书”【答案】C【详解】对于A：“至少有1本数学书”和“都是语文书”是对立事件，故不满足题意对于B：“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”可以同时发生，故不满足题意对于C：“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书”互斥但不对立，满足题意对于D：“至多有1本数学书”和“都是语文书”可以同时发生，故不满足题意故选：C例题3．（2022·高一课时练习）一个射击手进行一次射击，设事件表示“命中的环数大于7环”；事件表示“命中的环数为10环”；事件表示“命中的环数小于6环”；事件表示“命中的环数为6，7，8，9，10环”.判断下列各对事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由.（1）事件与；（2）事件与；（3）事件与.【答案】（1）不是互斥事件，也不是对立事件，理由见解析（2）是互斥事件，但不是对立事件，理由见解析（3）是互斥事件，也是对立事件.，理由见解析【详解】（1）不是互斥事件,也不是对立事件.理由：事件A“命中的环数大于7环”包含事件B“命中的环数为10环”,当一次射击命中10环时,二者能够同时发生.（2）是互斥事件,但不是对立事件.理由：事件A“命中的环数大于7环”与事件C“命中的环数小于6环”不可能同时发生,但（I为全集）.（3）是互斥事件,也是对立事件.理由：事件C“命中的环数小于6环”与事件D“命中的环数为6,7,8,9,10环”不可能同时发生,且（I为全集）.同类题型演练1．（2022秋·湖北十堰·高二校考阶段练习）2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（

）A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A2．（2022·高一课时练习）抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是1,2”为事件A,“向上的点数是1,2,3”为事件B,“向上的点数是1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是4,5,6”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有A．A与D是互斥事件但不是对立事件 B．B与D是互斥事件也是对立事件C．C与D是互斥事件 D．B与C不是对立事件也不是互斥事件【答案】ABD【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是1,2”为事件A,“向上的点数是1,2,3”为事件B,“向上的点数是1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是4,5,6”为事件D.事件A与D不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故选项A正确；事件B与D不可能同时发生，且必有一个发生，故B与D是互斥事件，也是对立事件，故选项B正确；事件C与D可能同时发生，故不是互斥事件，故选项C错误；事件B与C能同时发生，不是互斥事件也不是对立事件，故选项D正确.故选：ABD.3．（2023·高一课时练习）对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹.设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是__________；互为对立事件的是__________.【答案】

A与B、A与C，B与C、B与D

B与D.【详解】解：由于事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件；同理可得，A与C，B与C、B与D也是互斥事件.综上可得，A与B、A与C，B与C、B与D都是互斥事件.在上述互斥事件中，再根据B、D满B∪D为必然事件，故B与D是对立事件，故答案为A与B、A与C，B与C、B与D；B与D.题型4:写出某事件的对立事件典型例题例题1．（2022·高一单元测试）抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（

）A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上【答案】C【详解】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选：C.例题2．（多选）（2022·全国·高一专题练习）中任取两数，下列事件是对立事件的是（）.A．至少有一个偶数和两个数都是奇数B．至少有一个是奇数和两个数都是奇数C．至少有一个奇数和两个数都是偶数D．至少有一个奇数和至少有一个偶数【答案】AC【详解】从中任取两数,其中可能的情况有：“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况.对A选项：至少有一个偶数即包括“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个数都是奇数是对立事件，故A选项正确；对B选项：至少有一个是奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，所以至少有一个是奇数和两个数都是奇数不是对立事件，故B选项不正确；对C选项：至少有一个奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，与“两个偶数”是对立事件，故C选项正确；对D选项：至少有一个奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，至少有一个偶数包括“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”，所以至少有一个奇数和至少有一个偶数不是对立事件，故D选项不正确；故选：AC例题3．（2023·高一课时练习）若某人在打靶时连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的对立事件是______________．【答案】两次都未中靶【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都未中靶”.故答案为：2次都未中靶.同类题型演练1．（2022·高一单元测试）一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都中靶”的对立事件是A．至多有一次中靶 B．至少有一次中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中【答案】A【详解】根据对立事件的定义可得，事件“两次都中靶”的对立事件是：至多有一次中靶，故选A.2．（2023·全国·高三专题练习）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是（

）A．至少有1个红球 B．至少有1个黑球C．至多有1个黑球 D．至多2个红球【答案】C【详解】由题，由对立事件的定义，“至少有2个黑球”与“至多有1个黑球”对立，故选：C3．（2022春·河南许昌·高一统考期末）某学校计划从3名男生和4名女生中任选4名参加七一征文比赛，记事件M为“至少3名女生参加”，则下列事件与事件M对立的是（

）A．恰有1名女生参加 B．至多有2名男生参加C．至少有2名男生参加 D．恰有2名女生参加【答案】C【详解】至少3名女生的对立面是至多两名女生．总共选4名，也即为至少2名男生，故选：C．题型5:利用对立事件的概率公式求概率典型例题例题1．（2023春·四川宜宾·高二校考开学考试）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，记事件两人下成和棋，事件乙获胜，事件甲获胜，则事件和事件为互斥事件，且事件与事件互为对立事件，所以，甲获胜的概率为.故选：C.例题2．（2023·高一课时练习）已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则______.【答案】##【详解】因为事件A、B互斥，，所以，又它们都不发生的概率为，所以，解得，所以.故答案为：.例题3．（2023·全国·高三专题练习）从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率：(1)这个数既能被2整除也能被3整除；(2)这个数能被2整除或能被3整除；(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除．【答案】(1)(2)(3)（1）1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，∴；（2）1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，所以，，；（3）由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件，则．同类题型演练1．（2022·全国·高三专题练习）事件A的优势比定义为，如果，则事件A的优势比是_____________．【答案】2【详解】解：因为，所以，所以事件A的优势比是，故答案为：22．（2022春·四