231双曲线及其标准方程-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

●双曲线双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程1.

双曲线是怎样定义的?它是满足什么条件的点的轨迹?2.

双曲线的标准方程是怎样的?方程中有哪些常数?它们存在怎样的关系?3.

双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有什么相似和异同?学习要点

问题1.

请写出椭圆的定义.若把定义中的“到两定点的距离之和”改为“到两定点的距离之差”,请试画一下,曲线会是怎样?椭圆定义:

到两个定点的距离之等于定长(于两定点的距离)的点的轨迹叫做,两个定点叫的焦点,两焦点间的距离叫的焦距.和差大小椭圆双曲线椭圆双曲线椭圆双曲线双曲线定义:F2F1F1F2MM|MF1|+|MF2|=2a(常数)|MF1|-|MF2|=2a(常数)2a的绝对值F1F22a我们也可用两根细绳套上铅笔画双曲线.类似椭圆的画法,定点F1,F2

叫双曲线的焦点.两焦点间的距离|F1F2|叫双曲线的焦距.类比椭圆标准方程的推导,设焦距|F1F2|=2c,两距离差则焦点为设双曲线上任一点M(x,y),由双曲线的定义有代入点的坐标得以F1F2所在直线为x

轴,F1F2的中点为原点建立坐标系.F1(-c,0),F2(c,0),||MF1|-|MF2||=2a,xyoF1F2·M的绝对值为2a,两边除以b2得化简整理后得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),a2-c2=b2,c2-a2=b2,令

其中常数a

是双曲线上的点到两焦点距离差的绝对值的一半,b2=c2-a2,c是半焦距,若焦点在x

轴上,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0).双曲线的标准方程:

若焦点在y

轴上,焦点坐标为(0,-c),(0,c),则双曲线的标准方程为:

问题2.

如果给出一个双曲线的方程,如何判断它的焦点在x

轴上还是在y

轴上?哪个变量的系数为正,焦点就在哪个轴上.椭圆双曲线定义方程焦点位置

问题3.双曲线与椭圆的定义有哪些不同之处?双曲线与椭圆的方程又有哪些区别?判断焦点在x

轴上还是y

轴上,椭圆与双曲线有什么不同?距离之差的绝对值2a>2c,2a<2c.系数都为正b2=a2-c2

b2=c2-a2看系数大小看系数正负距离之和系数一正一负

例1.

已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P

到F1、F2

距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.解:由定点坐标知c=

且焦点在又2a=6,

a=3,则a2=9;而b2=c2-a2=25-9=16.

x

轴上,∴双曲线的标准方程为5,

例2.

已知A、B

两地相距800m,在A

地听到炮弹爆炸声比在B

地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析:A

地听到爆炸声比在B

地晚2s.时间差转换为距离差:A

地距爆炸点比B

地远2个340m.倒回来说:爆炸点与A、B

两地的距离之差是一个定值680m.所以爆炸点的轨迹是:距A

地较远的一支双曲线.

例2.

已知A、B

两地相距800m,在A

地听到炮弹爆炸声比在B

地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.xyo·ABP··解:以A,B

两地所在直线为x

轴,线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系.则2c=|AB|=800,

c=400,2a=3402,

a=340,而b2=c2-a2=4002-3402=44400,

a2=115600,∴炮弹爆炸点的轨迹方程为(x>0).

例(补充).

已知双曲线的焦点在y

轴上,并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为求双曲的的标准方程.解:∵双曲线的焦点在y

轴上,∴可设双曲线的方程为(待定系数法)又∵曲线经过P1、P2

两点,于是得方程组为了运算简便，可设(换元法)∴双曲线的方程为解得a2=16,b2=9,练习:(课本55页)第1题.习题2.3A组第1题.练习:(课本55页)1.

求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x

轴上,a=4,b=3;(2)焦点在x

轴上,经过点

(3)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).解:∵焦点在x

轴上,a=4,b=3,∴双曲线的标准方程为(1)练习:(课本55页)1.

求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x

轴上,a=4,b=3;(2)焦点在x

轴上,经过点

(3)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).解:(2)∵双曲线的焦点在x

轴上,∴可设其方程为将曲线经过的两点坐标代入方程得用换元法解得得方程为练习:(课本55页)1.

求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x

轴上,a=4,b=3;(2)焦点在x

轴上,经过点

(3)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).解:(3)由题设知c=6,焦点在y

轴上,2a

=从而得b2=

c2-a2=36-20=16,∴双曲线的标准方程为习题2.3

1.

双曲线4x2-y2+64=0上一点P

到它的一个焦点的距离等于1,那么点P

到另一个焦点的距离等于

.解:把双曲线的方程化成标准方程由方程得a=8,

2a=16,∵点P

到一个焦点的距离等于1,设点P

到另一个焦点的距离以m,则|m

-1|=16,解得m

=17,或m

=-15(舍去).17A组【课时小结】1.

双曲线的定义

到两个定点的距离之差的绝对值等于定长(小于两定点的距离)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫双曲线的焦距.F1F2M·rrEA1A2|MF1|-|MF2|=|EF1|=|A1A2|.【课时小结】2.

双曲线的标准方程||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,b2=c2-a2.··xyOF1F2M··xyOF1F2M【课时小结】3.

双曲线与椭圆的比较焦点位置方程定义双曲线椭圆距离之差的绝对值2a>2c,2a<2c.系数都为正b2=a2-c2

b2=c2-a2看系数大小看系数正负距离之和系数一正一负练习:(课本55页)第2、3题.习题2.3A组第2题.B组第2题.2.

求证:双曲线x2-15y2=15与椭圆的焦点相同.证明:由椭圆方程得a2

=25,b2

=9,且焦点在x

轴上,即得椭圆的焦点坐标也为(-4,0),(4,0);将双曲线方程化成标准方程为=4,且焦点在x

轴上,得双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0);∴已知双曲线与椭圆的焦点相同.在双曲线中,a2

=15,b2

=1,练习:(课本55页)3.

已知方程表示双曲线,求m的取值范围.解:当焦点在x

轴上时,2+m>0m+1>0解得m>-1,当焦点在y

轴上时,2+m<0m+1<0解得m<-2,∴m

的取值范围是(-∞,-2)∪(-1,+∞).2.

求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x

轴上,a=

经过点A(-5,2);(2)

经过两点A(-7,

),解:∴可设双曲线的方程为曲线过点A(-5,2),则有解得b2=16,∴双曲线的方程为(1)∵焦点在x轴上,习题2.3A组解:(2)若焦点在x

轴上,设方程为将已知两点的坐标代入方程得解得m=25,n=75,∴双曲线的方程为2.

求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x

轴上,a=

经过点A(-5,2);(2)

经过两点A(-7,

),习题2.3A组解:(2)若焦点在y

轴上,设方程为将已知两点的坐标代入方程得解得m=-75,n=-25,∴方程仍为2.

求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x

轴上,a=

经过点A(-5,2);(2)

经过两点A(-7,

),习题2.3A组(焦点不可能在y

轴上)BA··2.

相距1400m的A、B

两哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差3s,已知声速是340m/s,问炮弹爆炸点在