高考数学冲刺必刷押题密01卷

2023届高考数学冲刺必刷押题密01卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解.【详解】由题意可得：所以.故选：D.2．已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为，所以，则故复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.3．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】切化弦，结合得出，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.【详解】因为，所以，即，所以，即，所以，故选：D．4．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作轴截面图，求出圆台的母线长，底面半径长，结合侧面积公式可得其解.【详解】作轴截面图如下：为圆锥的轴截面，点为与侧面相切球的球心，点为切点，由已知，可得，，，，在中，，，，所以，又，所以，所以圆台的母线长为，因为，，所以为等边三角形，所以，所以圆台的侧面积.故选：D.5．已知函数，则的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数判定单调性即可得出选项.【详解】，令，所以在和上单调递增，故选：C6．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，，然后利用展开式的通项公式得到有理项项数，再利用古典概型的概率求解.【详解】解：因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式的总项数为7项，故，展开式的通项，当是偶数时该项为有理项，有4项，所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为．故选：A．7．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二项式系数的性质可得出，结合此性质可求得的值.【详解】的展开式通项为，所以，，所以，，所以，，且，所以，.故选：A.8．已知，，，则（参考数据：）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为，，考虑构造函数，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因为，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔．已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则（

）A．第3层的塔数为3 B．第6层的塔数为9C．第4层与第5层的塔数相等 D．等差数列的公差为2【答案】ACD【分析】设等差数列的公差为，分，和三种情况讨论，结合等差数列的前项和公式即可得解【详解】设等差数列的公差为，若，则这10层的塔数之和为，则最多有座塔，不符合题意；若，则这10层的塔数之和不少于，不符合题意；所以，这10层的塔数之和为，塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，依题意剩下2层的塔数为3与5，所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，因此A，C，D正确，B错误．故选：ACD.10．在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（

）A． B．C．的余弦值为 D．【答案】ABD【分析】求得的长度判断选项A；求得的长度判断选项B；求得的余弦值判断选项C；求得的化简结果判断选项D.【详解】连接PC，并延长交AB于Q，中，，，，则，,，，，选项A:.判断正确；选项B:.判断正确；选项C:.判断错误；选项D:.判断正确.故选：ABD11．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于、两点，其中在第一象限，若，则（

）A． B．C．以为直径的圆与轴相切 D．【答案】BCD【分析】写出焦点的坐标，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，根据点在第一象限即可求出点，的横坐标，进而可以求出的值，即可求出抛物线的方程，再对应各个选项逐个验证即可．【详解】设，，则过的直线斜率为的方程为：，代入抛物线方程消去可得：，解得，因为点在第一象限，所以，，则，所以，错误，，正确，由可得抛物线的方程为：，且，，，所以，正确，的中点横坐标为，以为直径的圆的半径为，所以圆心到轴的距离等于半径，则以为直径的圆与轴相切，正确，故选：．12．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（

）A．当时，B．V存在最大值C．当r在区间内变化时，V逐渐减小D．当r在区间内变化时，V先增大后减小【答案】BD【分析】通过题意得到圆台体积V关于外接球半径r的函数，容易判断A；利用导数探讨该函数的单调性和最值，可以判断B,C,D.【详解】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，点为上底面圆周上任意一点，圆台的高为，球的半径为，如图所示，则，对选项不正确；，设，则，令可得，解得，知，且当；2)，在单调递增，在单调递减，由，，使得，当，即当，即，所以在单调递增，在单调递减，则B，D正确，C错误，故选：BD.【点睛】本题考察圆台的体积与外接球半径的函数关系.关键在于建立函数模型，然后利用导数研究其单调性与及最值，用到了隐零点及二次求导，属于较难题.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分。13．若数列满足且，其中为数列的前n项和．请写出一个满足上述条件的数列通项______．【答案】(答案不唯一)【分析】根据题意，分析可得数列为各项为负的递增的数列，结合数列的函数特性分析可得答案.【详解】根据题意，数列满足，则有，又由数列满足，故数列为各项为负的递增数列，其通项公式可以为：，故答案为：(答案不唯一)14．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，平均每个人需要化验______次.（结果保留四位有效数字）（，，）.【答案】0.4262【分析】设每个人需要的化验次数为X，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，从而确定正确答案.【详解】设每个人需要的化验次数为X，若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则；因此，X的分布列为，，，说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次.故答案为：0.4262.15．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为______．【答案】【分析】根据给定条件，借助几何图形及比例式求出点M，N的坐标，再代入椭圆方程求解作答.【详解】由对称性不妨令点M在第一象限，令直线交y轴于点A，过N作轴于B，令，因为轴，则，而O为的中点，又A为中点，而，于是，由知，，显然，因此，于是，又，则，解得，而，则，所以椭圆C的标准方程为.故答案为：16．设随机变量T满足，，2，3，直线与抛物线的公共点个数为η，若，则______．【答案】6【分析】首先根据期望求交点个数的和，根据直线与抛物线的位置关系，确定的取值，再结合直线与抛物线的位置关系，确定与抛物线相切，即可求解.【详解】设3条直线与抛物线的公共点个数的和为，因为，则，则，因为直线与抛物线的交点个数为0，1，2，所以直线与抛物线的公共点个数的取值为1，2，2，因为，所以当时，与抛物线相切，联立，得，，解得：（令一个根0舍去），故答案为：6【点睛】关键点点睛：本题考查概率与圆锥曲线的综合应用，本题的关键是正确理解题意，根据交点个数，确定直线与抛物线相切，是本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列的公差，且满足，，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足求数列的前2n项的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知条件结合等比数列定义，等差数列通项公式，列方程求，由此可得数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用分组求和法，裂项相消法及等比数列求和公式求出数列的和．【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，即，解得或．因为，所以，所以．（2）由（1）得所以，所以，，所以数列的前2n项的和．18．平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．(1)当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记与的面积分别为和，请求出的最大值．【答案】(1)为定值，定值为1(2)14【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；法二：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；（2）由面积公式可得，令转化为二次函数配方求最值即可．【详解】（1）法一：在中，由余弦定理，得，即①，同理，在中，，即②，①②得，所以当长度变化时，为定值，定值为1；法二：在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以，化简得，即，所以当长度变化时，为定值，定值为1；（2），令，所以，所以，即时，有最大值为14．19．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：行驶里程/万km0.000.641.291.932.573.223.864.515.15轮胎凹槽深度/mm10.028.377.396.485.825.204.554.163.82以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.(1)根据散点图，可认为散点集中在直线附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；2.576.20115.1029.46附：相关系数(2)通过散点图，也可认为散点集中在曲线附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程及该模型的决定系数.已知（1）中的线性回归模型为，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得.附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即.【答案】(1)，相关性较强(2)答案见解析【分析】（1）直接根据相关系数的计算公式求得，从而可判断相关性较强；（2）由图像可直观判断，再求出线性回归模型的决定系数，从而可判断对数回归模型的拟合度更高.【详解】（1）由题意，，∵，∴，∴行驶里程与轮胎凹楳深度成负相关，且相关性较强.（2）由图像可知，车胎凹槽深度与对数回归预报值残差、偏离更小，拟合度更高，线性回归预报值偏美较大.由题（1）得线性回归模型的相关系数，决定系数，由题意，对数回归模型的决定系数，∵，∴对数回归模型的拟合度更高.20．如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得至处，且．(1)证明：平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证结论；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求解二面角.【详解】（1）证明：由题意可知，所以，，因为，，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，，由等腰三角形的性质可知，，由，，可知，，由且，可知，四边形为平行四边形，，平面；设，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，．设平面的法向量为，则

令，得，因为，所以平面的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角．故二面角的余弦值为．21．已知圆O的方程为，P为圆上动点，点F坐标为，连OP，FP．过点P作直线FP的垂线l，线段FP的中垂线交OP于点M，直线FM交l于点A．(1)求点A的轨迹方程；(2)记点A的轨迹为曲线C，过点作斜率不为0的直线n交曲线C于不同两点S，R，直线与直线n交于点H，记．，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)1；理由见解析【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求轨迹方程；（2）首先根据面积公式，理由线段比值表示，再设直线，与椭圆方程联立，利用坐标表示.【详解】（1）记，则为的中点，为中点，所以，，，所以点的轨迹是长轴长为4，焦距为2的椭圆，所以点的轨迹方程为；