第08讲平面向量基本定理及坐标表示（原卷版）-2022年高一数学寒假课（人教A版2019）

第08讲平面向量基本定理及坐标表示【学习目标】掌握平面向量基本定理。学会用平面向量的坐标表示，体会其几何意义。【基础知识】平面向量基本定理定义：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．平面向量的正交分解及坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作eq\o(OP,\s\up6(→))＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标．记作a＝(x，y)．(2)设eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O为坐标原点)平面向量坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).注意：向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(3)cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.注意：（1）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则|a|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)(平面内两点间的距离公式)．（2）直线l的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的向量m称为直线l的方向向量．【考点剖析】考点一：平面向量基本定理例1．已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：

由题意知P，B，C三点共线，则存在实数使，所以，即，又因为，所以，即且因此，所以当时，xy取得最大值；当或时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为故选考点二：平面向量正交分解及坐标表示例2．与向量平行的单位向量是A. B.

C.或 D.或【答案】C【解析】解：

与向量平行的单位向量为

故选：考点三：平面向量加减运算的坐标表示例3．

在下列向量组中，可以把向量表示出来的是A. B.

C. D.【答案】BD【解析】解：根据，

选项A：，则，，无解，故选项A不能；

选项B：，则，，解得，，，故选项B能；

选项C：，则，，无解，故选项C不能；

选项D：，则，，解得，，，故选项D能．

故选

考点四：平面向量数乘运算的坐标表示例4．已知向量，，，若，则实数A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】解：向量，，

，

，，

，

解得

故选：

考点五：平面向量数量积的坐标表示例5．已知向量，，，若，则的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：向量，，，

，

所以，

则，

则当时，的最小值为，

故选【真题演练】如图所示，平面内有三个向量，，，与夹角为，与夹角为，且，，若，则

A.1 B. C. D.6已知点，，向量，则向量A. B. C. D.如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，则可以表示为A. B. C. D.已知向量，，则下列结论正确的是A. B.与可以作为一组基底

C. D.与方向相反已知平行四边形的三个顶点，，，则第四个顶点的坐标可能是A. B. C. D.若向量，，则与共线的向量可以是A. B. C. D.已知向量，，且，则A. B. C.6 D.8已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是A. B. C. D.【过关检测】如图，在的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM交于点P，若，，则的值为A. B. C. D.6如图，在平行四边形ABCD中，分别为线段的中点，，则

A. B.

C. D.已知，，若，则点D的坐标为A. B. C. D.已知，则下列说法不正确的是A.A点的坐标是

B.B点的坐标是

C.当B是原点时，A点的坐标是

D.当A是原点时，B点的坐标是已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段的一个三等分点时，点P的坐标为A. B. C. D.已知，

求的坐标；

当k为何实数时，k与平行，平行时它们是同向还是反向？已知平面向量，，且，则_