人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 5 1 第2课时 直线与圆的方程的应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第2课时直线与圆的方程的应用学习目标1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．知识点一解决实际问题的一般程序仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的〖答案〗．知识点二用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．第二步：通过代数运算，解决代数问题．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．1．一涵洞的横截面是半径为5m的半圆，则该半圆的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D．随建立直角坐标系的变化而变化〖答案〗D2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为()A．4B．3C．2D．1〖答案〗C〖解析〗圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝eq\f(|－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C.3．已知点A(3,0)及圆x2＋y2＝4，则圆上一点P到点A距离的最大值和最小值分别是________．〖答案〗5,1〖解析〗圆的半径为2，圆心到点A的距离为3，结合图形可知，圆上一点P到点A距离的最大值是3＋2＝5，最小值是3－2＝1.4．如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12m，拱高CD＝4m，则拱桥的直径为________m.〖答案〗13〖解析〗设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝eq\f(13,2)，所以拱桥的直径为13m.一、直线与圆的方程的应用例1一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为eq\f(x,7)＋eq\f(y,4)＝1，即4x＋7y－28＝0，圆心(0,0)到l：4x＋7y－28＝0的距离d＝eq\f(28,\r(42＋72))＝eq\f(28,\r(65))，因为eq\f(28,\r(65))>3，所以直线与圆相离．故轮船不会受到台风的影响．反思感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．跟踪训练1(1)设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．〖答案〗eq\f(7\r(2),2)－2〖解析〗从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即eq\f(|2＋3＋2|,\r(12＋－12))－2＝eq\f(7\r(2),2)－2.(2)如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________米．〖答案〗2eq\r(51)〖解析〗如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝eq\r(51)，所以当水面下降1米后，水面宽为2x0＝2eq\r(51)(米)．二、坐标法的应用例2用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直．已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.求证：AC⊥BD.证明如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y)，∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.反思感悟(1)坐标法建立直角坐标系应坚持的原则①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴．②充分利用图形的对称性．③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称．④关键点的坐标易于求得．(2)通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果．所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养．跟踪训练2如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足．利用坐标法证明E是CD的中点．证明如图所示，以O为坐标原点，以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设⊙O的半径为r，|OE|＝m，则⊙O的方程为x2＋y2＝r2，设C(m，b1)，D(m，b2)．则有m2＋beq\o\al(2,1)＝r2，m2＋beq\o\al(2,2)＝r2，即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根，解方程得b＝±eq\r(r2－m2)，不妨设b1＝－eq\r(r2－m2)，b2＝eq\r(r2－m2)，则CD的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(\r(r2－m2)－\r(r2－m2),2)))，即(m，0)．故E是CD的中点．1．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．1D．3〖答案〗A〖解析〗由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即eq\f(|1－1＋4|,\r(12＋－12))－eq\r(2)＝eq\r(2).2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是()A．8B．－4C．6D．无法确定〖答案〗C〖解析〗因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，从而－eq\f(m,2)＋3＝0，即m＝6.3．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为()A．2.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2.0米〖答案〗B〖解析〗以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(负值舍去)．4．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为__________________．〖答案〗x2＋y2－2y－9＝0〖解析〗当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(10).则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.5．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．〖答