高二数学《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版选择性必修第一册）1. 4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版选择性必修第一册）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

【考点梳理】

考点一：空间中点、直线和平面的向量表示

1.空间中点的位置向量

如图，在空间中，我们取一定点。作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量标来表示.我们把向量舁称为

点尸的位置向量.

2.空间中直线的向量表示式

直线/的方向向量为Q,且过点A.如图，取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线/上的充要条件是存在实

数，，使/

OP=OA+ta,①:

把油=Q代入①式得

0

OP=OA+tAB,②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.

3.空间中平面的向量表示式

平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,使5>=晶+疝?+），病.我们称

为空间平面ABC的向量表示式.

考点二空间中平面的法向量

平面的法向量

如图，若直线,取直线I的方向向量a,我们称a为平面a的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全

确定，可以表示为集合{P|a-AP=O}.

考点三：空间中直线、平面的平行

1.线线平行的向量表示

设m，见分别是直线人/2的方向向量，则

/

/i/7/2<=>wiZa2<=>3/lGR,使得“|=为2.

2.线面平行的向量表示

设“是直线/的方向向量，”是平面a的法向量，Wa,则

/〃=0.

面面平行的向量表示

设"I,"2分别是平面a,4的法向量，则

a〃"20m26R,使得〃1=加2.

考点四：空间中直线、平面的垂直

1.线线垂直的向量表示

设W|,«2分别是直线h,12的方向向量，则

/|_1_，2仁^"1-L"2仁"2=0.

2.线面垂直的向量表示

设“是直线/的方向向量，〃是平面a的法向量，Ida,则/_La㈡“〃“om/ieR,使得“=筋.

知识点三面面垂直的向量表示

设小，”2分别是平面a,4的法向量，则

a_l_夕^W2=0.

【题型归纳】

题型一：平面的法向量的求法

1.若直线/的方向向量为4=(1,0,2),平面a的法向量为7=(-2,1,1),则()

A.IllaB.Z±aC./ua或〃/aD./与a斜交

2.如图，在正方体ABCD-A4GR中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B片的中点，F为的中点，则

下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是

A.(1,-2,4)B.(—4,1,12)

C.(2,-2,1)D.(1,2,一2)

3.如图，在单位正方体ABC。-A4GA中,以。为原点，DA，DC，函为坐标向量建立空间直角坐标系，则平

面A8G的法向量是（）

A.(1,1,1)B.(-1,1,1)C.(1,-1,1)D.(1,1,-1)

题型二：空间中点、直线和平面的向量表示

4.已知平面a内两向量£=（1,1,1）,分=（0,2,-1）,若"为平面心的法向量且工=，疝+几+（4,-4,1）,则加，〃的值分

别为（）

A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2

5.已知在正方体ABC。-%与GR中，P,M为空间任意两点，如果两=国+7丽+6丽'-4而那么点"必

（）

A.在平面8AR内B.在平面BAQ内

C.在平面34,。内D.在平面ABC内

6.已知光线沿向量4=机，+/加(%#0,/nsR,neR)照射，遇到直线/后反射，其中2是直线/的一个方向向

量，不是直线/的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为

A.-md-pnB.tnd-pn

C.-pd+mriD.pd-inn

题型三：空间中直线、平面的平行

7.已知2=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线/卜L的方向向量.若“/卜,则()

cC15

A.x=6,y=\5B.尤=3,y=一

2

c/15

C.x=3,y=15D.x=6,y=—

2

8.设平面。的一个法向量为加=(1,2,-2),平面夕的一个法向量为［=(—2,-4,4,若a/R,则仁()

A.-5B.-4C.-2D.4

9.如图，在正方体AG中，PQ与直线4。和AC都垂直，则直线PQ与的关

系是()

A.异面直线

B.平行直线

C.垂直不相交

D.垂直且相交

题型四：空间中直线、平面的垂直

10.已知平面a的法向量为3=(1,2,-2),平面夕的法向量为(-2,-4,k),若a_L尸，则女等于()

A.4B.-4C.5D.-5

11.已知两不重合直线/i和b的方向向量分别为。=(32+1,0,2A),6=(1,2-1,2),若/」方则2的值为()

A.1或一gB.1或g

C.-1或!D.一1或一号

12.在四棱锥P-ABC。中，底面ABCO是平行四边形，丽=(2,-1,-4),而=(4,2,0),而=(-1,2,7),则孙与底

面ABCD的关系是()

A.相交B.垂直

C.不垂直D.成60。角

【双基达标】

一、单选题

13.若直线/的方向向量为々=(1,-2,3),平面a的法向量为＞=(-2,4,-6),贝U().

A.IHaB.Z±aC.luaD./与a相交

14.已知向量a,5是平面a的两个不相等的非零向量，非零向量e是直线/的一个方向向量，则万a=0且不5=0是

的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

15.若直线/的方向向量为£,平面a的法向量为7,则能使/〃a的是()

A.a=(1,0,0),//=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),〃=(1,0,1)

C.2=(0,2,1),A=(-l,0,l)D.a=//=(0,3,1)

16.直线/的方向向量1,1),平面a的法向量为石=(2,F+X,T),若直线〃/平面a,则实数x的值为()

A.-2B.-72C.也D.±yf2

17.已知正方体ABC。-ABCA，E是棱BC的中点，则在棱CG上存在点尸，使得()

A.AFHD.EB.AFLD.E

C.AF〃平面GRED.A尸_L平面CRE

18.平面a的一个法向量是万=(；,一1,；),平面夕的一个法向量是玩=(-3,6,-2),则平面a与平面夕的关系是()

A.平行B.重合C.平行或重合D.垂直

19.如图所示，在正方体ABC。-ABiGQ中，棱长为a,M,N分别为A|8和4c上的点，AiM=AN=士区,则

3

MN与平面BBiGC的位置关系是()

A.相交B.平行

C.垂直D.在平面BBiGC内

20.下列命题中，正确命题的个数为（)

①若小网分别是平面a,/?的法向量，则取他5〃4；

②若用，质分别是平面a,/?的法向量，则万2=0；

③若万是平面a的法向量，万是直线/的方向向量，若/与平面a平行，则万々=0；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.

A.1B.2C.3D.4

21.如图，在正方体A8CO-ABC。中，点。，M,N分别是线段BO,DD,,的中点，则直线0M与4C,

MN的位置关系是（）

A.与AC,MN均垂直

B.与AC垂直，与MN不垂直

C.与AC不垂直，与MN垂直

D.与AC,MV均不垂直

21

22.如图所示，正方体ABCD-AQGR中，£下分别在ARAC上，且AE=§AQ，AF=34C,则（）

B.EFL\D,EFLAC

C.EF与8。相交D.EF与BQ异面

【高分突破】

-：单选题

23.已知向量&=(2,4,5),b=(3,x,y),分别是直线4、4的方向向量，若/，则

A.x=6,y=15B.x=3,y=15C.x=1,丫=与D.x=6,y=y-

24.已知A,B,C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A.B.C一定共面的是

A.OM=OA+OB+OCB.OM=2OA-OB-OC

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23236

25.已知向量福=(2,4,x),平面a的一个法向量元=。,％3),若A8_La,则

A.x=6,y=2B.x=2,y=6C.3x+4y+2=0D.4x+3y+2=0

26.已知「为直线/的方向向量，)，区分别为平面a,4的法向量(a,/?不重合)那么下列说法中：

①“〃n20cl;//£；②/_Ln20a_L尸；③V//qo/〃a；④户，％o/_La.正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

27.在如图所示的坐标系中,ABC。-A8CQ为正方体，给出下列结论：

①直线。”的一个方向向量为(0QD;

②直线BG的一个方向向量为(0,1,1)；

③平面ABB/的一个法向量为(0,1,0);

④平面昌CO的一个法向量为(1,1,1).

其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

28.设空间四点O、A、B、P满足其中m+n=l,则

A.点P一定在直线AB上

B.点P一定不在直线AB上

C.点P不一定在直线AB上

D.以上都不对

29.在三棱锥尸-ABC中，CP、CA.CB两两垂直，AC=CB^\,PC=2,如图，建立空间直角坐标系，则下列

向量中是平面a犯的法向量的是()

B.(1,72,1)

D.(2-2,1)

30.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=日AF=1,M在EF上，且AM〃平面BDE.

则M点的坐标为()

A.（1,1,1）B.（冬争）C.冷净）D.（K，l）

二、多选题

31.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABC。-ABCQ,其中，以顶点4为端点的三条棱长都相等，且它们

彼此的夹角都是60。，下列说法中正确的是（）

B.AQ（AB-AD）=0

D股与前所成角的余弦值为《

C.向量配与丽■的夹角是60。

32.如图，正方体ABCD-A/CA的棱长为1,E是。R的中点，则（）

A.直线BC〃平面A3。B.BiCJ.BR

C.三棱锥G-BCE的体积为:

D.异面直线与2。所成的角为60。

33.(多选)下列命题是真命题的有().

A.直线/的方向向量为1=(1,-L2),直线加的方向向量为B则/与机垂直

B.直线/的方向向量为〃=(0,1,-1),平面a的法向量为无1),贝!!/_La

C.平面a,夕的法向量分别为1=((),1,3),(1,0,2),则a/法

D.平面a经过三点A(l,0,-l),DO,1,0),C(-1,2,0),向量平=(1,")是平面a的法向量,则"+f=l

34.已知空间中三点力(0,1,0),8(220),C(-l,3,l),则下列说法正确的是()

B.与Afj同向的单位向量是/I,冷,0

A.荏与衣是共线向量

C.而和册夹角的余弦值是叵

D.平面A8C的一个法向量是(1,-2,5)

11

35.已知点P是平行四边形A8C。所在的平面外一点，如果而=(2,-1,-4),而=(4,2,0),丽=(-下列

结论正确的有()

A.APA.ABB.APA.AD

C.而是平面ABC。的一个法向量D.AP//BD

36.已知矩形ABC。，AB=2,BC=\,将沿矩形的对角线AC所在的直线进行翻折，翻折过程中()

A.存在某个位置，使得而•配=0

B.存在某个位置，使得通.诙=0

C.存在某个位置，使得衣.丽=0

LlUUiUUU

D.存在某个位置，使得而.配，ABCD.均不等于零

三、填空题

37.已知平面a经过点。(0,0,0),且2=(1,2,—3)是a的一个法向量，M(x,y,z)是平面a内任意一

点，则x,y,z满足的关系式是.

38.已知a,p为两个不重合的平面，设平面a与向量d=(—1,2,—4)垂直，平面尸与向量5=(—2,4,—8)垂

直，则平面a与B的位置关系是.

39.若；=(x,2y-l,-；)是平面a的一个法向量，且］=(-1,2,1),l=(3,；,-2)均与平面a平行，则向量；=

40.如图，在长方体ABC£>-A|BCQi中，AB=2,A4,=6,仞=20,尸为G5的中点，M为BC的中点，则4W

与PM的位置关系是.

41.在AABC中，A(l,-2,-1),8(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量后与平面ABC垂直，且问=&T,则后的

坐标为•

42.在如图所示的坐标系中，表示棱长为1的正方体，给出下列结论:

①直线。口的一个方向向量为(0,0,1)；②直线8G的一个方向向量为(0,1,1)；③平面48S4的一个法向量为

(0,1,0)；④平面SCO的一个法向量为(1,1,1).

其中正确的是.(填序号)

四、解答题

43.如图，已知P是平面四边形48。所在平面外一点，连接南、P民PD点E、£G、〃分别为氏APBC、APCL)

、APDA的重心.，求证:

(1)E、F、G、H四点共面;

(2)平面EFGH//平面ABCD

TT

44.如图，在等腰梯形A5CD中,AB//CD,ZABC=§,BC=CD=AD=1,EC_L平面ABCD,EF||AC,且EF=AC,P,Q分

别是线段EF,AB的中点.

(1)求证：平面8CEL平面ACE尸;

(2)求证：PQ//平面BCE.

45.如图，在四面体ABOC中，OCJ_O4,OCLOB,NAOB=120。，且Q4=OB=OC=1,设P为AC的中点，Q

在AB上且AB=3AQ,证明：PQ±OA.

46.如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABC。中，P4_L底面A8CD,E、下分别是PC、PD的中点，PA=AB=1,

8c=2.求证：

F

(1)EF〃平面尸A8；

(2)平面上M)_L平面尸£>C.

47.如图所示，平面CDE尸，平面A8C£>,且四边形A8C。为平行四边形，/D4B=45。，四边形为直角梯形,

EF//DC,EDLCD,AB=3EF=3,ED=a,AD=6.

(1)求证：AD1BF-

CM

(2)若线段b上存在一点M,满足AE〃平面3OM,求k的值;

【答案详解】

1.c

Va=(1,0,2),7=(-2,1,1),

a-n=lx(-2)+0xl+2xl=0,即/u<z或/〃a.

故选：C.

2.B

设正方体棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),

AAE=(0,2,1),AF=(-1,0,2)

设向量万=(x,y,z)是平面AEF的一个法向量

n-AE=2y+z=0

则<__,取y=l,得x=-4,z=-2

n-AF=-x+2z=0

：.n=(-4,1,-2)是平面AEF的一个法向量

因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量

故选B.

3.A

在单位正方体ABC。-ASGA中，

以。为原点，DA，DC，西,为坐标向量建立空间直角坐标系，

4(1,0,1),5(1,1,0),C,(0,1,1),

瓯=(0,1,-1),sq=(-i,o,1),

设平面48cl的法向量是/i=(x,y,z),

,{n-BA.=y—z=0『〃八

则7八，取x=l,得”=(1,1,1),

=-x+z=0

.•・平面46G的法向量是a,1,1).

故选：A.

4.A

因为a=(14,1)，=(0,2,-1),

所以c=ma++(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2/i,—n)+(4,-4,1)

=(机+4,ni+2鹿一4,他一〃+1),

因为"为平面a的法向量，

_乙•白=m+4+〃2+2〃一4+机一〃+1=0(3〃2+〃+1=0

‘升以c-h=2(/H+2M-4)-(AH-/7+1)=0，即］m+5〃_9=0，

解得：［"二］］所以用,〃的值分别为-1,2,

［n=2

故选：A.

5.C

因为丽二%+7丽+6丽-4硒=西+丽+6珂-4隔

=%+职+6瓯-44可=%+6(巨丁―丽)—4(西一加=11图—6方—4西，所以M,B,A,。四点共面

6.B

不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中121=1很I，则向量ci=+pri*0,mGR）时，向

7.D

由/i〃/2得，；，="，解得x=6,尸二

3xy2

8.D

1?一2

因为a///?,所以〃//"z,贝!j—=—=—,解之得左=4,

-2-Ak

故选：D

9.B

设正方体的棱长为1,取。点为坐标原点建系后如图所示:

则4(1,0,1),4(1,0,0),4(0,1,0),4(0,0,1),3(1,1,0),

1,0),

设历=3,b,c),

4+C=0,

则

-a+h=0,

取访=（1，1，一1），

・・•丽=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=一即

SQ"R\，

:.PQ〃BD\.

故选：B

10.D

解：由平面a的法向量为平面£的法向量为B，

,aA-B，••4_L/?，

*<••/?=—2—8—2^=0•

k=-5.

故选：D.

11.D

【详解】

由题意知，a-Lb,

.•.32+1+2方=0,

->.A=-1或一；.

12.B

解：因为福•衣=2x(-l)+(-l)x2+(-4)x(-l)=0,所以而，而;

因为A户=4x(-1)+2x2+0x(-1)=。,所以A/j_LA户，

又而。而=A,

所以APJ•平面ABCD

故选：B.

13.B

=(1,-2,3),/!=(—2,4,—6)

，由已知可得〃=-2〃，则”//〃，因此，/_La.

故选：B.

14.B

【详解】

当万,在不苏缱时，由d・万=0且d石=0，可推出/_La；当4,在为共线向量时，由万万=0且@5=0，不能够推出/_La,

所以6a=0且cb=O是/的不充分条件；

若/JLa,则一定有万工=0且万石=0，所以31=0且不5=0是/_La的必要条件.

故选：B.

15.D

【详解】

由题意得，若使/〃。，那么就要使。_L〃，即a/=0.

对于A,4.〃=-2。0,故A错误；

对于B,7/=1+0+5=660,故B错误；

对于C,4/=1/0,故C错误；

对于D,々.〃=0-3+3=0,故D正确.

故选：D.

16.D

因为直线/的方向向量s=(T,l,l),平面a的法向量为〃=(2,/+工,-x),

直线///平面a,

所以H=-2+f+工一1=0,BPx2=2,解得：x=±y/2

故选：D.

17.B

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则41,0,0),0,(0,0,1),E(11,0),设尸(0,1,z)((0<z<l),

——.1—.

则£)[£=(万,1,-1),AF=(-1,1,z),

]_

因为所以衣，庠不可能平行，即4尸,。田不可能平行，

-11

-------11____________

又AF-2E=-]+l—z=。，z=-,因此可以垂直，即AE与可能垂直.

Q(0,1,1),和=(0,1,0),

设平面GQE的一个法向量为3=«y,z),

n-DC=y=0

则《一}]1八，取x=2,则7=(2,0,1),

n•D}E=—X+y—z=0

而与3不可能平行，因此AF与平面不可能垂直,

AF-n=-2+ze[-2,-l|,因此而与[不可能垂直，因此AF与平面G"E不可能平行,

故选:B.

18.C

•.・平面a的一个法向量是万=(g,-l,；),平面厂的一个法向量是比=(-3,6,-2),

tn=-6万，

.•・平面a与平面口的关系是平行或重合.

故选：C.

19.B

以点Ci为坐标原点，分别以C归”C\Dy,GC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

,__.A2aa\/2ala、rm(a八2a、

由于A\M=AN-,则M—J,,a=^--,0,—J

又Ci。，平面BBiGC,所以前'=(0,a,0)为平面BBCiC的一个法向量.

因为丽-W=0,所以Mk_LC|E>；,又MN<Z平面BBIGC,所以MN〃平面BBCIC.

故选：B

20.C

①中平面a,£可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确

故选：C

21.A

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为2，则£>(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),0(1,1,0),

N(0,l,2),M(0,0,1)

____,____uuu

则AC=(—2,2,0),MN=(O,l,l),

3,、，、,、ruinuuuu

AACOM=(-2)x(-l)+2x(-l)+0xl=0,BPAC±OM

uuuuuuuuuuuu

.■.OMW-0x(-l)+lx(-l)+lxl=0,即MN_LOM

所以直线OM与AC,MN均垂直，

故选：A

22.B

如图，以。为坐标原点，分别以D4,DC,所在直线为x轴、丫轴、z轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为3,则E(l,0,l),尸(2,1,0),4(3,0,3),A(3,0,0),C(0,3,0),0(0,0,0),8(3,3,0),0,(0,0,3).

.•.加,AC=(-3,3,0),40=(-3,0,-3),

■：EFAC=Q,EFA^D=O,:.EFYAC,EF'AQ,；.A错误，B正确；

•.•西=(-3,-3,3),EF=(1,1,-1),:.BD^=-3EF,

BDJ/EF,即；.C,D错误.

故选：B.

23.D

【详解】

,/lx//l2,

：.a//b.

••————，

452

x=6,y=y.选D.

24.D

设的=xDX+y诙+z0T,若点M与点A,B,C共面,，则x+y+z=l,只有选项D满足，.故选D.

25.A

24x

因为A8J_a,所以4由不，由；=一=三，得x=6,y=2.

1y3

故选A

【点睛】

本题考查了空间法向量的定义，空间向量共线的坐标表示，属于基础题.

26.B

•.•平面a,夕不重合；

二平面a,4的法向量平行（垂直）等价于平面a,夕平行（垂直）；

二①②正确；

直线/的方向向量平行（垂直）于平面a的法向量等价于直线/垂直（平行）于平面a;

.•・③④都错误.

故选B.

27.C

•••、G〃A4i,丽=(0,0,1),故①正确;

BG〃AA,而;'=((),1,1),故②正确；

直线4£>J_平面而=(0,1,0).故③正确；

点G的坐标为(1,1,1),猬与平面BCD不垂直，故磔昔.

28.A

由"+"=1可得：，〃结合题意可知：

OP=(\-n)OA+nOB=OA+n(OB-OA),

即：OP-OA=n{OB-OX),AP=nAB,

据此可知：APB三点共线，点P一定在直线AB上.

29.A

••-E4=(l,0,-2),而=(—1,1,0),设平面上钻的一个法向量为5=(x,y,1),

,n-PA=0fx-2=0[x=2i

由-八则上「，解得2,2,1.

n-AB=0]-x+y=0[y-^

又=因此，平面RW的一个法向量为(1,1；).

故选：A.

30.C

设AC,BD交于点。，连结OE,因为正方形48。与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=&,A尸=1,点历在EF

上，且4M〃平面所以A〃〃OE,又AO//EM,所以Q4ME是平行四边形，所以M是EF的中点，因为

E(0,0,l),F(V2,x/2,l),所以M(也，立,1),故选C.

22

31.AB

以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°,

可设棱长为1,则丽'•而=丽•而=亚•丽=lxlxcos60°=g

[AA^+AB+AD）2=N+AB2+AD2+2AA^-AB+2AB-AD+2AA,■AD

=l+l+l+3x2x—=6

2

而2国I=2（AB+AD^=2{AB2+AD2+2ABAD^

=2（l+l+2xg）=2x3=6,所以A正确.

南•（而-西=（丽+而+而）•例-而）

^X\AB-X\AD+AB2-ABAD+ADAB-AD=0,所以B正确.

向量耳c=A。，

显然△A4Q为等边三角形，则NA4,O=60。.

所以向量而与福的夹角是120。，向量麻与丽的夹角是120。,则C不正确

又加;=45+涵-通，AC=AB+AD

2

则|BDt|=J（而+随一研=72.\AC\=J（通+码=^3

叫•衣=（而+丽-砌•印+而）=1

所以cos(西■，近)=崇空=丁二=连，所以D不正确.

'/\BD}\-\AC\V2XV36

故选：AB

32.ABD

解：如图建立空间直角坐标系，4(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),£>(0,1,0),4(0,0,1),(1,0,1),C,(1,1,1),2(0,1,1),

B^=(O,l,-l),西=(-1,1,1),丽=(-1,1,0),M=(-1,0,1)

所以鸵•西=—lx0+1xl+(—l)xl=0,即就，西，所以故B正确；

BiC.fiD=-lxO+lxl+(-l)xO=l,|^C|=V2,而=0,

c麻•丽1(兀

设异面直线8C与BO所成的角为。，则。。$夕=南画=5,又所以，=三，故D正确；

设平面小。的法向量为7=(x,y,z),则卜'丝=?,即卜x+)'U，取3=(1,1,1),

''[n-BD=Q|-x+z=0

则正配=0xl+lxl+lx(—1)=0,即3,麻，又直线平面48。，所以直线修。〃平面480,故A正确；

故错误；

VcC|-O|CftO|-Cc|CE£.=3—B1.CI-SAACC|CcE=3—xlx—2xlxl=—$，,c“一，/、，

故选：ABD

33.AD

・・・M=(1,T,2),b=

2・〃=lx2—lxl+2x。，则aj_5,

二直线/与机垂直，故4正确;

5=(0,1,-1),n=(l,-l,-l),Ijll]J-A?=0X1+1X(-1)+(-1)X(-1)=0,

则MJL万，：,lHa或lua,故8错误；

一__U111

4=(0,1,3)，%=(1,0,2),%与n2不共线,

・・・。〃万不成立，故C错误；

・・•点A(l,0,T),8(0,1,0),C(-1,2,0),

・•.丽=(一1』』)，SC=(-1,1,0).

|n-AB=0

・.•向量弁=(1,〃/)是平面。的法向量,

[T?BC=0,

-\+u+t=0

即解得〃+1=1,故。正确.

-l+w=0

故选：AD

34.BD

对于A,而=(2,1,0),而=(-1,2,1),可知福力兄部，而与衣不共线，A错误；

对于B,•.•丽=(2,1,0),二|福卜.••塔=乎，亭，°，即与通同向的单位向量是竽，乎，°，B正确;

———ABBC-5y/55

对于C'•."=(一3,1,1).•••8s<ABW>=i^i=;^rr-丁,

即通和前夹角的余弦值为-与，C错误；

对于D,设平面ABC的法向量〃=(x,y,z),

n-AB-2x+y=0

令x=l,解得：y=-2,z=5,.,./?=(1,-2,5),

n-BC=-3x+y+z=0

即平面ABC的一个法向量为(1,-2,5),D正确.

故选：BD.

35.ABC

因为福-Q=-2-2+4=0,所以AP_LAB,A正确；

因为而-Q=-4+4=0,所以AP_L4),B正确；

由炉_LAT>,可得正是平面48C£>的一个法向量，C正确;

8。在平面A8CQ内，可得"_L8E),D错误.

故选：ABC.

36.AD

在矩形ABC。中，分别过点8、。作BE，AC、DFLAC,垂足分别为点E、F.

由已知条件，AB=2,BC=\.

对于A选项，若存在某个位置，使得AD_LBC,

■.BCLAB,ABr\AD=A,..3C_L平面ABO,QBQu平面AB。，则3C_L8£),

在R〃BC£>中，斜边CD=2>8C=1,存在，故A正确；

对于B选项，若存在某个位置，使得ABLCZ),

■.CDA.AD,ADoAB^A,\8八平面ABC,Q8Du平面ABZ),则C£>_LB£>,

在RABCD中,斜边BC=1<CQ,矛盾，故B错误；

对于C选项，若存在某个位置，使得ACL5。，

■.■ACA.BE,BDCBE=B,.•.AC_L平面BQE,•.•£)Eu平面BCE,：.DE1AC,

■.■DF1AC,在平面AC。内，过点。能作两条直线与AC垂直，矛盾，故C错误；

对于D选项，取平面ABC，平面ACO,

BE±AC,平面ABCCl平面AC£>=AC,BEu平面ABC,BE_L平面AC£),

以点E为坐标原点，EC、所在直线分别为>、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

而=10'警'竽）'而=（竽'-竽'0）'则福丽片°，

__（2R4尺）R、

AC=（0,^,0）,BD=菅，一三，一殁，则衣.丽声0，D选项正确.

故选：AD.

37.x+2y—3z=0

解：由题意得3J_丽，OM=（x,y,z）,

则两7=x+2y-3z=0,

所以x,y,z满足的关系式是x+2y—3z=0.

故答案为：x+2y-3z=0.

38.平行

•.y=（T,2,Y）,ft=（-2,4,-8）,.-.b=2a，

所以刃/5,又•••乙出分别是平面以尸的法向量，

所以。〃£.

故答案为：平行

911

39.（——，一，——）

52264

a•b=o,

解析由题意，知

a-c=0,

9

x=---,

―x+4y—=0,

即）4解得＜52

27

3x+y=0,F

-911

所以a=（---,—-,—）.

52264

911

故答案为：（--r,—

52264

40.PMLAM

【详解】

解：以。点为原点，DA.DC、。。为x轴、了轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z

可得短（0,0,0）,尸（0』,G）,C（0,2,0）,A（2立,0,0）,M（应,2,0）.

「・PM=(72,2,0)-(0J,>/3)=(^,1,-^),碗=(也,2,0)-(2忘。0)=(—应,2,0),

由此可得丽•丽=（应J-6）•（-立,2,0）=-0xV5+lx2+Ox（—6）=0,

即两_L祝，可得

故答案为：AMA.PM

41.(-2,4,1)或(2,-4,-1)

【详解】

据题意，得A耳=(-1，—1»2),4c=(1,0,2).

设元=(x,ytz),丁月与平面ABC垂直，

=_工

n-AB=Q-x-y+2z=0,一2

即x+2z=0可得

n-AC=0=2

~4

,・,同=Jf+j+z?=,

解得y=4或y=-4.

当y=4时，x=-2,z=l；当y=Y时，x=2,z=-l.

・'・万的坐标为(一2,4,1)或(2,—4,—1).

故答案为：(一2,4,1)或(2,—4,-1)

42.①②③

解析OD；=44；=(。,0,1),故①正确；RC；=4Z)}=(0,1,1),故②正确；直线4。_1_平面AB8[A],1,

0),故③正确；向量招的坐标为(1,1,1),与平面SCD不垂直，，④错.

43.

(1)•・,纹尸、G、H分别是所在三角形的重心.

・・・M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接"、N、Q、R所得四边形为平行四边形，

___2_______2__.__.7__.__.2__.

且有而二一两，PF=-PNPG=-PQPH=-PR.

333f3f

,/四边形MNQR为平行四边形,

_______2___2____?___.

则函=可-而=§①而'=§破

=|(而+阿=|网

=-(-PF--PE]+-(-PH--PE]^EF+EH.

3(22)3U2)

，由共面向量定理得反F、G、H四点共面;

__.3一

(2)由(1)知MQ=]EG,.'.MQ//EG,

由M2i平面ABC。，EGu平面ABCD,从而EG//平面ABCD,

又丽=两一再7=巳即一巳而=己炉，J.MNHEF,

222

由MNu平面ABC。，EFa平面ABC。，从而EF//平面ABCQ,

又：・EGCEF=E