高一数学《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A 版 2019必修第二册)6. 4. 1-6. 4. 2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)

6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例

【考点梳理】

考点一向量方法解决平面几何问题的步骤

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.

(3)把运算结果“翻逢”成几何关系.

考点二向量方法解决物理问题的步骤

用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.

(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.

(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.

(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.

技巧：(1)用向量法求长度的策略

①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2=a2求解.

②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a=(x,y),则|a|=dx2+y2.

(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想

①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法

则、运算律或性质求解.

②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.

【题型归纳】

题型一：用向量证明线段垂直问题

1.(2021•浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一阶段练习)在△A2C中，^\AB+AC\=\AB-AC\,则△ABC

的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

ABAC

2.（2021・四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量而与衣满足鬲+帚,■~BC=0,且通2=ABCB>

则为（）

A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

题型二：用向量解决夹角问题

3.（2021•广东•佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一阶段练习）在AQAB中，04=08=2,

AB=2B动点尸位于直线。4上，当Ev而取得最小值时，NP8A的正弦值为（）

A3币R2A/7「向D.叵

77143

jr

4.（2019•四川•绵阳中学高一阶段练习）直角三角形。48中，NAOB=-,OA=3,OB=2,M为08的中点,

2

AN=-2ON，且P为AM与BN的交点，则cos/MPN=()

1

A1Rc6D.受

3322

题型三：用向量解决线段的长度问题

、—.——.2

5.（2021・江西・九江一中「同一期中）在AABC中，A3=AC=2,点〃满足两+2两=0,若3cAM二5，则

的值为（）

3

A.1B.—C.2D.3

2

6.（2021•重庆南开中学高一期中）如图所示在四边形A8CZ）中，△AB。是边长为4的等边三角形，AC=2万,

CA=tCB+(2-t)CD,(r>1),则O£»=()

A

5/-7—

A.-B.2v2C.3D.>/13

题型四：向量与几何最值问题

7.（2021•江西•九江一中高一期中）在直角梯形中，AB//CD,ABLAD,AB=4,AD=2ZCAB=^,

点尸是线段A8上的一点，M为直线BC上的动点，若前=2屈，AF=AAB，且通.丽=T7,则赤.丽的最

大值为（）

16323

A.-B.——C.—1D.——

41616

8.（2021•河北邢台・高一阶段练习）在平面四边形438中，AB±BC,ADLCD,ZBAr>=120°,AB=i,AD=2,

若点尸为边3c上的动点，则Q.丽的最大值为（）

A.1B.--C.--D.-2

224

题型五：向量在物理中的应用

9.（2021•山东潍坊.高一期中）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重

力为G,两个拉力分别为耳，F2,且因=|周，耳与尸2夹角为仇当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（）

A.|G|=|用+|图B.当时，园=日冏

C.当。角越大时，用力越省D.当忻|=|G|时，6»=方

10.（2021・全国•高一课时练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河

对岸航行.已知船的速度i的大小为同=8km/h,水流速度g的大小为E|=2km/h,船的速度与水流速度的合速度

为0,那么当航程最短时，下列说法正确的是（）

——1

A.船头方向与水流方向垂直B.COS<Vj,v2>=——

C.|v|=2>/r7km/hD.该船到达对岸所需时间为3分钟

题型六：平面向量应用的综合问题

11.（2021•全国•高一课时练习）如图，已知正方形4BCD中,E,尸分别是的中点,交于点P.求证:

(1)BE±CF;

(2)AP=AB.

,3

⑵（2。2「江苏•旷课时练习）如图'在AABC中，AB=6MC=4,cosZBAC=-<5而=而，点M在8的延长

•jTfn1/A8AC、

线上,点尸是边8C上的一点，且存在非零实数2,使MP=M4+2（西+同）.

（I）求而与元的数量积;

（II）求衣与①的数量积.

B

2

13.（2018.全国.高一单元测试）如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=yBM.

⑴求证:M是CD的中点;

⑵若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点，求百I厂的最小值.

【双基达标】

一、单选题

14.（2021•全国•高一课前预习）在AABC中，AB.CB<0,则AABC的形状是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定

15.（2021•全国•高一课时练习）物体受到一个水平向右的力月及与它成60。角的另一个力工的作用.已知”的大小为

2N,它们的合力F与水平方向成30。角，则心的大小为（）

A.3NB.豆NC.2ND.1N

16.（2021・全国•高一课时练习）平面上有三点A,B,C,设正=通+团，n=AB-BC>若犯〃的长度恰好相等,

则有（）

A.4,B,C三点必在同一条直线上

B.AA8C必为等腰三角形，且乙8为顶角

C.AA8C必为直角三角形，且NB=90。

D.AA8C必为等腰直角三角形

17.（2021.吉林.延边二中高一期中）在中，斜边BC长为2,O是平面A8C外一点，点P满足

OP=OA+^（AB+AC）,贝修丽|等于（）

A.2B.1C.D.4

18.（2021.江西•九江一中高一阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每

年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、

接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形A3CDEF的边长为2,

圆。的圆心为正六边形的中心，半径为1,若点尸在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则俞.无的取值

范围是（）

B

图二

33

A.[2,4]B.[2,3]C.-,4D.-,3

19.（2021.全国・高一-课时练习）用力声推动一物体水平运动而，设R与水平面的夹角为凡则对物体所做的功为

（）

A.\F\-sB.FcosOC.F-Lsin0D.|F|.|.y|cos6>

乃

20.（2021•浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）扇形Q4B的半径为1,圆心角为2仔，P是AB上的动点，则衣•丽

的最小值为（）

A.B.0C.—-D.J

21.（2021•湖南省邵东市第三中学高一期中）在AABC中，AB.AC<0,则AABC一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

22.（2021•全国•高一期中）已知矩形ABC。的一边A8的长为4,点M,N分别在边BC,OC上，当M,N分别是

边BC,0c的中点时，有（丽7+丽）•丽=0.若丽7+RV=x而+y亚，x+y=3,则线段MN的最短长度为（）

A.GB.2C.273D.272

【高分突破】

一：单选题

23.（2021•福建・福州三中高一期中）已知。是所在平面内的一点，若||丽-网=|丽+反-2羽，则“8c

一定为（）

A.以8c为底边的等腰三角形

B.A8为底边的等腰三角形

C.以BC为斜边的直角三角形

D.以4?为斜边的直角三角形

24.（2021.全国.高一课时练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如

图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60。，每只胳膊的拉力大小均为500N,则该学生的体重（单位：kg）

约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s2,^-1.732）

A.81B.87C.89D.91

25.（2021•浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）已知点N、O、P满足丽+而+祝=6，|。乂|=|丽卜B4，

UL1ULK.IULa.WULUUL&1LR.M1

PAPB=PBPC=PCPA,则点N、O、P依次是AABC的（）

A.重心、夕卜心、垂心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心

26.（2021.江苏通州.高一期中）如图所示，在中，。为BC中点，过。点的直线分别交AB,AC于不同的两点

E,F,设丽恁，AC=pAF,则4+〃的值为（）

A

B

C

O

E

A.1B.1C.2D.不确定

27.（2021.山西太原.高一期中）已知|口=2|5|=2百,无5=-3,若|乙-&-加|=1,则忆I的取值范围是（）

A.（2,4）B.[2,4]C.+D.[26-1,26+1]

28.（2021.山西运城.高一期末）已知向量£,人工满足同=4,忖=2近，£与B的夹角为?，（"-£）•（1杨=0,

则口的最大值为（）

A.2X/2B.氏+6C.710D.V10-V2

29.（2021•全国•高一课前预习）一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速

度匕的大小为M|=10m/s,水流速度匕的大小为何|=2m/s.设船行驶方向与水流方向的夹角为。，若船的航程最

短，则（）

八4一八乃八4八24r24c34

A.0=—B.0=—C.—<0<—D.—<0<—

322334

30.（2021•河南驻马店•高一期末（文））在菱形ABCO中，|福卜丽•而=2,宿=丽，2丽=丽+丽，尸是

菱形458内部及边界上一点，则丽••丽的最大值是（）

31.（2021.江苏泰州.高一期末）已知AABC外接圆的圆心为。，半径为1.设点。到边BC,CA,A8的距离分别为

4，d2,d3^OAOB+6BOC+OCOA=-\'则"：+"；+"；=（）

33

A.-B.1C.-D.3

42

二、多选题

32.（2021.山东邹城.高一期中）已知“ABC外接圆的圆心为0,半径为2,S.OA+AB+AC=6,OA^AB,则有

（）

A.OC^OA-OBB.OAAB=OAAC

C.点。是AABC的垂心D.3在为方向上的投影向量的长度为百

33.（2021・重庆•西南大学附中高一阶段练习）己知£、B是平面上夹角为？的两个单位向量，2在该平面上，且

8-"）.,-"）=0,则下列结论中正确的有（）

A.卜+q=1B.’_0=1

C.同<6D.办彼与2的夹角是钝角

34.（2021•浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）设|4/|=10,若平面上点P满足对任意的2eR,恒有

恨户-力而性8,则下列一定正确的是（）

A.|PA|>4B.|PA+PB|>10C.PAPB^-9D.ZAPS>900

35.（2021•江苏常州•高一期末）如图，在等腰直角三角形4BC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,E,F分别为AB,

AC上的动点，设通=4旃，AF=^AC,其中Z〃€（0,l）,则下列说法正确的是（)

A.若阿卜网，则2+〃=1

B.若几=〃，则炉与及不共线

C.若2+4=1,记三角形AEF的面积为S,则S的最大值为g

D.若宏+〃2=[,且N分别是E尸,8c边的中点，贝UIMNI的最小值为

TT

36.（2021・广东广州•局一期末）AABC中，A=-,AB=AC=2,则下列结论中正确的是（）

—2—2—

A.若G为AABC的重心，则+:/C

33

B.若P为BC边上的一个动点，则Q•（而+元）为定值4

____3

C.若M、N为BC边上的两个动点，且MN=&则初■•丽的最小值为；

D.已知Q是AA3c内部（含边界）一点，若AQ=1,且通=2而+〃/，则兀+〃的最大值是1

三、填空题

37.（2021・全国•高一课时练习）已知向量入b.2满足24=0，。=1，二卜旧，则卜-匕|的最大值是

38.（2021.全国.高一课时练习）已知。为AABC的外心，S.OA=^OB+OC,贝lJcosNBOC=.

39.（2021•全国•高一课时练习）如图，墙上三角架的一端C处悬挂一个重为10N的物体，则边3c上点B处的受力

情况是.

I0N

40.（2021.全国•高一课时练习）已知了=（5,4）,豆=（1,2）作用于同一质点，使其由原点移动到点A（6,4）,则合力:

对质点所做的功为.

41.（2021・四川・成都外国语学校高一阶段练习（文））设。为AABC内一点，且满足关系式

OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA）则:S^OB-S.COA=_-

四、解答题

42.（2021・全国•高一课时练习）如图，重为4N的匀质球，半径为R=6cm,放在墙与均匀的木板A3之间，A端固

定在墙上，8端用水平绳索8c拉住，板长/=10cm,木板A3与墙夹角为a,如果不计木板重，当a为60一时，求

绳的拉力大小.

B

43.（2021・全国•高一课时练习）如图，正方形ABC。的边长为a,E是AB的中点，尸是BC的中点，求证：DEVAF.

DC

44.（2021.全国•高一课时练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度d=lkm.一艘游船从南岸码头A出发航

行到北岸.已知游船在静水中的航行速度E的大小为同=10km/h,水流的速度W的大小为E|=4km/h.设E和E的

夹角为6（0°<0<180°）,北岸的点H在A的正北方向.

4

（1）当夕=120?时，试判断游船航行到达北岸的位置是在A的左侧还是右侧，并说明理由.

（2）当cos。多大时，游船能到达A，处？需要航行多长时间？（不必近似计算）

（3）当。=120?时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？

45.（2021.广东・仲元中学高一期末）如图所示，AD是AABC的一条中线，点。满足标=2而，过点。的直线分

别与射线AB,射线AC交于M,N两点.

(1)求证：AO^-AB+-AC；

33

(2)TSAM=mAB>AN=nAC，m>0,〃>0,求—的值;

mn

（3）如果AABC是边长为的等边三角形，求OA/2+ON2的取值范围.

【答案详解】

1.B

【分析】

由已知平方可得通.而=0,得出A8LAC可判断.

【详解】

•：\AB+AC\=\AB-AC\,:\AB+AC^=\AB-AC^,

则|同2+2AB-AC+|AC|2=|AB|2-2AB-AC+|AC|2,

.-.ABAC=0.：AB^AC,则△ABC为直角三角形.

故选：B.

2.C

【分析】

由通2=瓦•丽推出福•衣=0,由+帚)8《=0推出|而|=|衣|,则可得答案.

【详解】

由丽、丽・丽，得丽•（福-丽）=0,得福•（通+前）=0,得而•而=0,

所以A8LAC,

(ABAC

因为.—I—，・-BC=Q,所以

[\AB\\AC\

22

ABAC|AB||AC|AB-AC八

所以----——,—+-_——・=(J,

IAB||AB|\AC\\AC\

所以-|而|+|而|=0,即|荏|=|/|,

所以AABC为等腰直角三角形.

故选：C

3.C

【分析】

建立平面直角坐标系，写出坐标表示三.而，利用二次函数求出最小值时尸的坐标，最后利用向量的夹角公式求解

即可.

【详解】

建立如图所示平面直角坐标系:

则4(-6,0),8(6,0),。(0,1),

设P(x,y),

因为动点尸位于直线上，

直线。4的方程为：y=^-x+\,

3

所以&V筋=(-G_x,_y)・(6_x,_y)=x2_3+y2

2°,6八2426、29

=X-3+(—X+1)=-XH------X—2=-(XH------)—,

333344

当"-乎时，A・防取得最小值-%此时P(-乎,$，

R=(-",当,忌=(-2后0),

44

15

BP-BA万_5_5币

所以cosZ.PBA=

—>—>2小婀=而二可

BP•BA

4

又因为NP8Ae(0,m,

所以sinNPBA=^—,

14

故选：C.

4.C

【解析】

【分析】

设丽=石，诙=石且丽:与丽的夹角为。，由此可表示出两和两；结合已知可求出亚和丽，由此可求出

AMBN，接下来根据向量数量积的运算公式即可解答.

【详解】

设9=3，OB=h，则。•B=0,|a=3,|万|=2,0M=gb,ON=；a

设源与丽的夹角为。,

VAM=OM-OA=-h-a,BN=ON-OB=-a-h

23f

AM-BN=(^b-a)\^a-b)=-^a-^b~=-5,

・・.|网=M，网=氐

6Vio2

V0e[O,万],：.0=—.

4

■:NMPN即为向量次与丽的夹角，

3万

・・・4MPN=:，

4

故cos/MPN=-也.

2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的计算，掌握向量数量积的运算公式是关键，属于常考题.

5.C

【分析】

取8c中点。，由已知可确定的=2沅，利用向量的运算和长度关系将配•击转化为力时,

由此构造方程求

得前=2.

【详解】

取3c中点。，连接AO,

A

■.■BM+2CM=0,即两=2就，二例为BC边上靠近C的三等分点，

-.■BCAM=BC(Ad+OM^=BCAd+BCOM,

AB=AC,:.AOYBC,:,BCAO=0,

y.OM=-BC,:.BC-AM=BCOM=^BC^=^,.-.|BC|=2.

故选：C.

6.C

【分析】

根据CA=tCB+(2T)前可得CO=OA,再利用余弦定理可求0。的长度.

【详解】

取AC的中点为M,

&^CA=tCB+(2-t)CI),故值一2丽=/丽即2而_2瓦=.而，

故2丽=f而，所以8三点共线，故M与。重合，所以A0=m，

故13=16+0>-2x4xODcos2,解得0。=1或。。=3,

因为r>l且2丽一丽,故国>网故阿卜3,

故选：C.

B

O(M)D

C

7.D

【分析】

如图建立直角坐标系，设&，〃,〃)，则由已知条件可求出点E的坐标，再由标=2而，求出力的值，则可得点F的

坐标，BM=xBC，则可表示两=(-2%+4,2后-2石)，MF=(2x-3,-2y/3x),从而可得

MFDM=-16x2+26x-12，进而利用二次函数的性质可求得答案

【详解】

如图，以A为原点，ABA。所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，

因为直角梯形A3C。中，AB//CD,ABLAD,AB=4,A3=2石，ZCAB=|,

所以DC=2,贝IJ

A(0,0),£)(0,2百)，尸(4,0),8(4,0),C(2,2"),

所以丽=(-4,26),BC=(-2,2A/3),

设E(，",〃)，则函=(m-2,〃-2jJ),

因为8c=2CE，所以(―2,2A/J)=2("?-2,〃—2百)，解得m=1,"=36，

所以E(1,3JJ),则通=(1,36)，DF=(2,-273),

因为通•方?!=—17,所以2-18=-17,得2=1,贝IJ尸(1,0),

设的=入配，则两=丽-丽=》宙-丽=(-2x+4,2岳-26),

MF=BF-BM=BF-xBC=(2x-3,-2y/3x),

所以赤•两=(-2x+4)(2x-3)+(2岛-2V3)(-2>/3x)=-16x2+26x-12,

当x=S13时.，砺._丽__取得最大值一2定3，

1010

故选：D

AV

8.C

【分析】

作图，以B为原点，54、8c所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系；

由题意可得点A、D的坐标，设P（O,/）（OWrW寺），利用向量数量积的坐标表示得出

AP-PD=-t2+y/3t-2,结合二次函数的性质求出最大值即可.

【详解】

如图，以B为原点，BA,3c所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系.

作DF1BC,垂足分别为E,F,

在A4PE中，因为A£>=2,所以AE=1,DE=6

在ACDF中，因为0F=BE=2,ZC=60°,所以。/=3叵，BC=—,

33

则A（1,O）,D（2,73）.设P（Oj）,0WfW手，

则而=（-1/）,力=（2,67）,

所以福•丽=-*+后-2,

当》=立时，丽・丽取得最大值，且（丽•丽）皿=_"

24

故选：C

9.B

【分析】

根据题意可得不=耳+耳，则同={2月2+2,.COS。，再根据各个选项分析即可得出答案.

【详解】

解：根据题意可得：G=F\+F；,

则怛卜肉+耳卜唇司=J可+月?+2耳其=也可+2。.cos。，

当6=0时，恂=2山|=寓|+闾,故A错误；

当。=5时，恂=也甲+24.cos0=0网,及山|=4口，故B正确；

,=,21+2尸.cos。，因为y=cos。在(0,万)上递减，

又因行李包所受的重力为G不变，所以当。角越大时，用力越大，故C错误；

当周=|G|时，艮恫=也不+2耳2.cos6=|同,解得cos，=_；,

又因6e(O/),所以6=q，故D错误.

故选：B.

10.B

【分析】

分析可知。=彳+正，当船的航程最短时，v±^,利用平面向量数量积可判断ABC选项的正误，利用路程除以速

度可得航行时间，可判断D选项的正误.

【详解】

由题意可知，5=彳+公，当船的航程最短时，v±v^,而船头的方向与E同向，

——"V.•v1

由丫“2=(匕+马)“2=匕2+Y=0,可得彳苗二一寸=ycos<匕,%>=可7^=-7,A选项错误，B选项正确;

4

22

M=|w+%]={(%+v2j=^v)+2vj-v24-v2=^4-2x4+64=2>/15(km/h)，C选项错误;

该船到达对岸所需时间为60xg土=生叵(分钟)，D选项错误.

2V155

故选：B.

11.(1)见试题解析；(2)见试题解析

【分析】

(1)如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点，不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(l,2),F(0,l),再求出而和而

的坐标，再计算得施?飞F0即证

,再求而2=、)+(|)=4=通2,即证明AP=AB.

BE，CF.(2)设P(x,y),再根据已知求出

【详解】

如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(l,2),F(0,1).

(1)BE=OE-6B=(1,2)-(2,0)=(-1,2),

CF-OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),

：BEfCl=(-1)x(-2)+2x(-1)=0,

二屁_1_再，即BE±CF.

⑵设P(x,y)，则而=(x,y-l),而=(-2,-1).

；由||而，，-*=-26-1),即x=2y-2.

同理由而||BE,得y=-2x+4,代入x=2y-2,

解得x=y,.,.y=1,即

,・•南啕+葭卜沟，

•'-IAPl=lABl)即AP=AB.

【点睛】

(1)本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，考查向量垂直和平行的坐标表示，考查模的计算，意在考查学生

对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)向量£=(%,*)石=(9,%)，则

4_L5=xtx2+y.y,=0,aII5=xxy2-x}y1=0.

12.(I)-18；(II)-

【详解】

试题分析：

3

(I)在AABC中由余弦定理得5c=4,从而得到三角形为等腰三角形，可得cosB=：,由数量积的定义可得

4

福•配=-18.(H)根据所给的向量式可得点P在/胡。的角平分线上，故可得CP==去AC=?4=彳?，所以_行_=2?函，

PBAB635

__1________23______1

因为5而=诙，所以得到AO=wAB.设设福=之*=另，则得到丽==万+=5,CD=CA+AD=-b+-a,根

6556

据数量积的定义及运算率可得所求.

试题解析：

3

(I)在AABC中A3=6,AC=4,cosZBAC=—,

4

3

由余弦定理得BC2=62+42-2X6X4X-=16,

4

所以5c=4,

所以AABC是等腰三角形，且AC=8C,

以7

3,

4

所以福•阮=6x4x

所以点尸在NBAC的角平分线上,

又因为点尸是边BC上的一点，

所以由角平分线性质定理C得P二A=C左=£4=1?,

PBAB63

—2-

所以CP=gC8.

因为5而=而，

所以而=,通.

设AB=a,AC=b,

则同=6,网=4,a*b=6x4x—=18.

由=1丽，得而_方=,但_5),

__23-

所以丽=丁+十，

y.CD=CA+AD=-b+-a,

6

所以福・丽=修+科以一小即『3-3-,

-a-b--b^

105

3363

=-x36-—xl8--xl6=-

15105y

点晴：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系:

(1)在/ABC中,^\OA\=\OB\^OC\^OA=OB=OC2y则点。是AABC的外心;

(2)在中，^GA+GB+GC=0f则点G是AABC的重心;

(3)在AABC中，^OP-OA=^AB+-BC),Ae[0,+oo),则直线AP一定过“ABC的重心;

(4)在AABC中，若丽・丽=丽.碇=阮.丽，则点，是“WC的垂心；

(5)在A48C中，若°P=°A+/l(尚p苗p(/l>0),则直线AP通过AABC的内心.

13.(1)见解析；(2)0

【分析】

___2____9__.2__.

(1)设函=m^，国=n£X,再根据向量的线性运算化简丽=]的=§阮+101函,再求出

1

-=1-n,m=一,

:得，2______1___

函=配+函=(l-n)互+n而，解方程组，:所以而<=mCD=；CD,即M是CD的中点.(2)先利用

2

—m=n,〃=一.

133

+；,再利用二次函数求出函数的最小值.

向量的数量积和向量的线性运算求得屈(?

【详解】

⑴设81=mCD,CN=nCA,

由题意知函=一的=一(肥+国)

33

2___2__9__

=—(BC+mCD)=_BC+—mCD,

XBN=BC+CN=BC+nCA=BC+n(CB+CD)

=(l-n)BC+nCD,

2.(1

—=l-n,m=一,

3解得2

21

—m=n,n=—.

133

___—1—

CM=mCD=-CD,即M是CD的中点.

(2)VAB=2,BC=1,M是CD的中点，

，MB=7LNABM=45。，

•'•AH?-=(^+BH)HB=-(AB+BH)BH=-AB?-T丽?

=-1ABIIBH|cos(l80°-ZABH)-|BHI2

=lABllBH|cos45°-|BHl2

=>/2|BH|-|BHl2=-+g,

又0〈l丽区亚，，当I丽1=亚，即H与M重合时，曲?一取得最小值,且最小值为0.

【点睛】

(1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推

理能力.⑵对于平面内的不共线的向量则平面的任意一个向量£总可以表示成乙=九力+〃可，其中或,是基底.

14.B

【分析】

由福•丽=|福行|cosB<0,可得cos8c0,分析即得解

【详解】

由题意，ABCB^AB\\CB\cos<AB,CB>=]AB\\CB\cosB<0

cosB<0,又Beg,万)

.♦.8为钝角

则AABC的形状是钝角三角形

故选：B

15.C

【分析】

如图所示，|加|=|晶|，即得解.

【详解】

BC

由题得ZAOB=60,ZAOC=30,

所以ZBOC=ZBCO=30。,所以。8=8C,

所以丽=|辰?|，

所以外和K大小相等，都为2N.

故选：C

16.C

【分析】

根据m,n的长度相等，由|恁|=|而|得到ABCD是矩形判断.

【详解】

如图:

因为加工的长度相等，

所以I通+反H=l而-元I，

即1/1=1而I，

所以ABC。是矩形，

故△ABC是直角三角形，且NB=90。.

故选：C

17.B

【分析】

—.1—.—.

利用向量的减法可得AP=5（4B+AC）,从而可得为WAMC斜边8c的中线，即可求解.

【详解】

解：•••OP=OA+-（AB+AC）＞,

2

一・,・1，・.-----.1..

/.OP-OA=-（AB+AC）,AP=-（AB+AC）

229

为R，AABC斜边BC的中线，丽|=1.

故选：B.

18.B

【分析】

先利用平面向量的线性运算法则，将前，厮用局）.必来表示，然后将所求式子表达成用来表示，进而求出范围.

【详解】

如图，取AF的中点。，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|=6,

—>—>

PO+ON=|PO『+PQ.ON+PO-OM+OMON

=|POI2+PO(ON+OMj-l=|-1.

根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时1尸。1有最小值为百，此时I局=当点尸位于正六边形

的顶点时|P0|有最大值为2,此时|访12T=3，

所以，24前•无

故选：B.

19.D

【分析】

直接用向量的数量积即可求得.

【详解】

力声对物体所做的功为W=R•可斗阵3/

故选：D.

20.C

【分析】

由题设有丽=丽-丽，BP=OP-()B,OAOB=~,op=\,即可得丽•丽=；-丽•(方+丽)，分析使衣.而

的最小时而,丽+丽的位置关系，进而求丽•丽的最小值.

【详解】

由题设，AP=OP-OA>BP=OP-OB，

APBP=(OP-O