数学学案：函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。1.1函数1．函数的定义传统定义在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量近代定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作y＝f(x),x∈A，其中x叫做自变量,自变量的取值范围（数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A｝叫做这个函数的值域．函数y＝f(x)也经常写作函数f或函数f（x)(1)如果自变量取a，则把由对应法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a)或y｜x＝a；（2)由函数的定义，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：①定义域和对应法则是否给出;②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y。（3)函数的三要素：由函数的定义可知，一个函数的构成要素为:定义域、对应法则、值域，这三个要素又称为函数的三要素．初中所学的函数的三要素如下表：函数定义域对应法则值域正比例函数Rf（x)＝kx（k≠0)R反比例函数{x|x≠0｝f（x）＝eq\f(k，x）(k≠0）｛y｜y≠0}一次函数Rf（x）＝kx＋b（k≠0)R二次函数Rf（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）当a＞0时，当a＜0时,（4)由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,这样确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则．因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可．（5)对符号f（x)的理解①f(x）表示关于x的函数,又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，不能分开写．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f（x)＝x2－x＋5,当x＝2时,看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2,最后加上5;②对于f（x）中x的理解，虽然f（x)＝3x与f（x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x,而另一个为x＋1），因此函数解析式也是不一样的；③函数f（x)并不一定是解析式,它可以是其他任意的一个对应法则，如图象、表格、文字、描述等;④f（x)与f（a）的关系:f（x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a）表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个值，是常量，如f（x)＝x＋1，当x＝3时，f（3）＝3＋1＝4.【例1－1】下列式子能确定y是x的函数的是（)①x2＋y2＝2；②;③.A．①②B．②③C．②D．①③解析：对某一范围内的任意一个x，按照某种对应法则，都有唯一确定的y值和它对应,则称y是x的函数．①由x2＋y2＝2,得，因此由它不能确定y是x的函数．②由知，当x在｛x|x≠1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的y值与之对应,故由它可以确定y是x的函数．③由得x不存在，故由它不能确定y是x的函数．答案：C【例1－2】判断下列对应f是否为集合A到集合B的函数？(1）A＝{1，2,3}，B＝{7，8，9｝，f(1)＝f（2)＝7,f(3)＝8；(2)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f（n)＝－1；n为偶数时，f（n)＝1；（3）A＝B＝{1，2,3}，f(x）＝2x－1.分析：判断一个对应f是否为集合A到集合B的函数，首先要判断它是否满足A中的任意一个元素在B中都有唯一确定的值与之对应．若满足，且A，B又是两个非空数集,则该对应是函数；若不满足，则它一定不是函数．解:(1）集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的元素与之对应，同时集合A和B都是数集，故对应f是集合A到集合B的函数．同理，(2)中的对应f也是集合A到集合B的函数．（3）由于f(3)＝2×3－1＝5B，即集合A中的元素3在集合B中没有元素与之对应，所以对应f不是集合A到集合B的函数．点技巧判断一个对应法则是否是函数关系的方法从以下三个方面判断：（1）A,B必须都是非空数集;（2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应;（3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．2．函数的定义域和值域定义域(1)函数的定义域是函数y＝f（x）的自变量x的取值范围．(2)对于函数的定义域，要从以下两方面考虑：①定义域不同，而对应法则相同的函数,应看作两个不同的函数，如y＝x2（x∈R）与y＝x2(x＞0）;②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的取值集合，在实际问题中，还必须使x所代表的具体量符合实际意义．(3）求函数定义域的原则:①求函数的定义域之前,尽量不要对函数的解析式变形，以免引起定义域的变化；②求函数的定义域就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围．a．当f（x)是整式时，其定义域为R；b．当f（x)是分式时，其定义域是使分母不为0的实数的集合；c．当f（x)是偶次根式时，其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合;d．由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的制约．【例2－1】求函数y＝（x－1)0＋的定义域．解:要使函数有意义，则要解得x＞－1，且x≠1。所以这个函数的定义域为｛x｜x＞－1，且x≠1}．值域求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是指集合C＝｛y|y＝f(x）,x∈A}；二是函数的定义域、对应法则是确定函数的依据．【例2－2】求下列函数的值域:（1)（x≥4）；（2）y＝2x＋1，x∈｛1，2,3，4，5}．解：（1)∵x≥4，∴.∴，即y≥1。∴函数y＝－1（x≥4)的值域为{y｜y≥1｝．（2)∵y＝2x＋1，且x∈｛1，2,3,4，5}，∴当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9;当x＝5时,y＝11。∴函数的值域是｛3,5,7，9,11}．辨误区求函数值域易疏忽的问题（1）求值域时一定要注意定义域，如函数y＝x2－4x＋6的值域与函数y＝x2－4x＋6（x∈[1,5））的值域是不同的；(2）在利用换元法求函数的值域时,一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y＝x＋eq\r（2x－1）的值域时，令t＝eq\r（2x－1）,将函数转化为关于自变量为t的二次函数后，自变量t的取值范围是t≥0。3．函数相等当且仅当两个函数的三要素相同时，这两个函数是相等的．由于函数的值域是由函数的定义域和对应法则决定的，因此两个函数的定义域和对应法则相同,那么这两个函数的值域就相同．即确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应法则．因此判断两个函数是否为同一个函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否相同即可．判断两个函数是否相等的步骤是:(1）求定义域；（2）判断定义域是否相同，若定义域不同,则这两个函数不相等，若定义域相同，再继续下一步；(3)化简函数的解析式,若解析式相同即对应法则相同，则这两个函数相等，否则这两个函数不相等．注意：上面的步骤（2)和（3)的顺序不能颠倒，否则就会出现错误．比如，函数y＝eq\f（x3,x）的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞),函数y＝x2的定义域是R，由于这两个函数的定义域不相同，则这两个函数不相等．但是若化简函数y＝eq\f(x3,x)的解析式为y＝x2，则会错得函数y＝eq\f(x3,x)与函数y＝x2相等．【例3－1】下列函数与函数g(x)＝2x－1(x＞2）相等的是（)A．f（m)＝2m－1(m＞2)B．f（x)＝2x－1(x∈R）C．f（x)＝2x＋1（x＞2）D．f(x)＝x－2（x＜－1)解析:对于A，y＝f（m）与y＝g（x）的定义域与对应法则均相同，所以两个函数相等;对于B，两个函数的定义域不同，所以两个函数不相等；对于C，两个函数的对应法则不同,所以两个函数不相等；对于D，两个函数的定义域与对应法则都不相同，所以两个函数不相等．答案：A【例3－2】判断下列各组中的函数f（x）与g（x）是否相等，并说明理由:(1）f(x）＝x2，g（x)＝（x＋1）2；（2）f(x)＝(x－1)0,g（x）＝1；(3）f(x)＝x，g（x)＝；(4）f(x）＝｜x|,g（x)＝.分析：解：(1）定义域相同都是R,但是它们的解析式不同，也就是对应法则不同,故两个函数不相等．（2）f(x)的定义域是｛x｜x≠1}，g（x)的定义域为R，它们的定义域不同，故两个函数不相等．(3）定义域相同都是R.但是f(x)＝x，g(x)＝|x｜，即它们的解析式不同，也就是对应法则不同，故两个函数不相等．（4)定义域相同都是R，解析式化简后都是y＝｜x|,即对应法则相同,那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故两个函数相等．释疑点满足什么条件的两个函数相等（1)只要两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，那么这两个函数就相等；(2）当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应法则,例如:函数f(x）＝x和函数f(x）＝－x的定义域相同，均为R;值域也相同,均为R，但这两个函数不相等．4．区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a，b是两个实数，而且a＜b。我们规定：（1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间,记作［a，b]；（2）满足a＜x＜b的全体实数x的集合,叫做开区间，记作（a，b);（3）满足a≤x＜b或a＜x≤b的全体实数x的集合，都叫做半开半闭区间,分别记作[a，b），（a，b］．这里的实数a与b叫做区间的端点．实数集R可以用区间（－∞，＋∞)表示，符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大"．我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的全体实数x的集合分别表示为[a,＋∞），(a,＋∞)，(－∞，b]，（－∞，b）．区间的几何表示如下表所示：定义名称符号数轴表示{x｜a≤x≤b}闭区间[a,b］{x|a＜x＜b｝开区间(a，b)｛x｜a≤x＜b}半开半闭区间[a,b)｛x｜a＜x≤b｝半开半闭区间（a，b］{x｜x≥a}半开半闭区间[a,＋∞）{x｜x＞a}开区间(a,＋∞){x｜x≤a｝半开半闭区间(－∞，a］{x|x＜a}开区间（－∞,a)谈重点对区间的理解(1)a与b叫做区间的端点,在数轴上表示区间时，若端点属于这个区间,则端点用实心点表示；若端点不属于这个区间，则端点用空心点表示．（2）区间是数轴上某一条线段或射线或直线上的所有点所对应的实数构成的集合,这是一种符号语言，即用端点对应的实数、＋∞、－∞、方括号及圆括号等符号来表示数集．(3）区间符号内的两个字母(或数)之间要用“，”隔开．（4）“＋∞”和“－∞”是符号,不是数，它们表示数的变化趋势．(5）区间的形式必须是前面的数小，后面的数大，如(3,2)就不是区间，（2,2）也不是区间,即区间［a，b］隐含着a＜b这一条件．(6)在平面直角坐标系中，(2,3）可表示点，也可表示区间，在应用时要注意区分，不要混淆．【例4－1】将下列集合用区间表示出来：（1）｛x|x≥－1｝；（2)｛x|x＜0｝；（3）{x｜－1＜x≤5｝;（4)｛x|0＜x＜1或2≤x≤4｝．解:（1）{x｜x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2）｛x｜x＜0}＝（－∞，0）．(3){x|－1＜x≤5}＝（－1,5]．（4）｛x｜0＜x＜1或2≤x≤4｝＝(0,1）∪[2,4］．【例4－2】已知区间［－2a,3a＋5]，求a的取值范围．解：由题意可知3a＋5＞－2a，解之，得a＞－1。所以a的取值范围是(－1，＋∞)．5．映射(1)映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象,记作f(x)．于是y＝f(x),x称作y的原象．映射f也可记为f:A→B，x→f（x）．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广）,由所有象f（x）构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素,在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．析规律对映射定义的理解应掌握五点1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；2．映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的;3．映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心;4．映射允许集合B中存在元素在集合A中没有元素与之对应；5．映射允许集合A中不同的元素在集合B中对应相同的元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多"．（2）映射与函数的关系函数是特殊的映射，即当两个集合A,B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．【例5－1】下列对应是A到B上的映射的是（)A．A＝N＋，B＝N＋f：x→|x－3｜B．A＝N＋，B＝｛－1，1，－2}f：x→(－1）xC．A＝Z，B＝Qf：x→D．A＝N＋,B＝Rf:x→x的平方根解析：A×A中的元素3在B中没有与之对应的元素B√对任意正整数，（－1）x均为1或－1，在B中都有唯一的1或－1与之对应C×A中的元素0在f作用下无意义D×正整数在实数集R中有两个平方根与之对应答案：B【例5－2】设f:A→B是A到B的一个映射，其中A＝B＝{（x，y)|x,y∈R}，f：(x，y）→(x－y，x＋y）．求：（1)A中元素（－1,2）在B中的象；（2）B中元素(－1,2)的原象．解:（1)A中元素（－1，2）在B中的象为（－1－2,－1＋2)，即（－3，1)．（2）设(x,y)为B中元素（－1，2)的原象，则解得所以B中元素（－1，2)的原象为。6．具体函数的定义域的求法已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，常有以下几种情况：函数y＝f（x）y＝f（x）的定义域f（x)是整式定义域为R.f（x）是分式定义域为使分母不为0的实数集合．f(x)是偶次根式定义域为使根号内的式子大于或等于0的实数集合．f(x)＝x0定义域为｛x|x≠0｝．f(x）由几部分数学式子构成定义域是使各部分数学式子都有意义的实数集合，即使每个部分都有意义的实数集合的交集．f(x)是由实际问题列出定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数集合。注意：1．求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．2．函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．【例6】求下列函数的定义域：（1）;(2）；(3)；(4)。解:（1)由，得所以x≥1。故函数的定义域为[1，＋∞）．（2）由得x≠0，且x≠－1。故函数的定义域为{x｜x≠0，且x≠－1｝．（3）由得所以故函数的定义域为｛x|x＜0,且x≠－1}．(4)由得.所以x≤0,且.故函数的定义域为。7．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种:①已知f(x)的定义域，求f(g(x））的定义域；②已知f（g（x）)的定义域，求f（x）的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．（1)已知f(x）的定义域,求f（g（x）)的定义域．一般地，若f（x)的定义域为[a，b］，则f[g（x)]的定义域是指满足不等式a≤g（x)≤b的x的取值范围．其实质是由g（x）的取值范围，求x的取值范围．(2)已知f［g（x)]的定义域，求f（x）的定义域．函数f［g（x)］的定义域为[a，b],指的是自变量x∈［a，b]．一般地，若f［g（x)]的定义域为[a，b］，则f（x）的定义域就是g(x）在区间［a,b］上的取值范围（即g(x）的值域)．其实质是由x的取值范围，求g（x)的取值范围．【例7－1】若函数f(x)的定义域为[－2,1］，求g(x）＝f(x)＋f(－x）的定义域．分析：由f（x)的定义域为［－2，1］,知对应法则f作用的范围是[－2，1]，而f（x）＋f(－x)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x，－x都在[－2，1]这个区间内，从而f(x)＋f(－x）有意义．解：∵由题意,得∴－1≤x≤1.∴g(x)＝f(x）＋f(－x)的定义域为［－1,1]．【例7－2】(1）已知f（x）的定义域为［0，1］,求函数f(x2＋1）的定义域；（2)已知f(2x－1）的定义域为［0，1］，求f（x）的定义域．分析：准确理解定义域的概念，弄清f（x)与f（g（x))中x的区别是解题关键．解:（1）∵f(x2＋1）中的x2＋1的范围与f（x）中的x的取值范围相同，∴0≤x2＋1≤1。∴x＝0，即f(x2＋1）的定义域为{0}．（2）∵由题意知f（2x－1)中,x∈[0,1]，∴－1≤2x－1≤1.又∵f(2x－1)中2x－1的取值范围与f（x)中的x的取值范围相同,∴f(x）的定义域为[－1，1]．8．求函数的值域求函数的值域是一个比较复杂的问题,虽然在给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就应该完全确定了，但求值域要注意方法．常用的方法有:(1)分离常数法（2)反解法从y＝f(x）的解析式中求出x,得x＝g(y），通过求g(y)的定义域而得到原函数f（x）的值域．形如y＝eq\f（cx＋d,ax＋b）（a≠0)的函数求值域可用此法．(3）换元法通过换元简化函数解析式，从而顺利地求出函数的值域．(4)判别式法利用一元二次方程根的判别式求函数值域的方法．若一个函数式y＝f(x）能化为关于x的一元二次方程，则可利用Δ＝b2－4ac≥0求得函数的值域．点技巧应用换元法和判别式法时应注意的问题1．对于一些含根式的函数的值域问题，可以通过换元法转化成易于求解的整式函数（如二次函数）来解决．特别值得注意的是，利用换元法求函数值域时,一定要注意辅助元的取值范围,否则可能会产生错误．2．形如y＝eq\f(ax2＋bx＋c,dx2＋ex＋f）(ad≠0）的函数求值域都可用判别式法，将原式转化得到关于x的整式方程，当二次项系数含有字母时，必须分成二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论,只有当二次项系数不为零时，才能用判别式，但当原函数的定义域不为R时，慎用判别式．【例8－1】求函数的值域．解：＝＝。∵2x＋5≠0,∴。∴函数的值域为。【例8－2】求函数的值域．解法一：.∵x2≥0，∴x2＋1≥1。∴0＜≤2。∴－1≤y＜1。∴函数的值域为[－1,1）．解法二：由,得.∵x2≥0，∴，即。∴解得－1≤y＜1.∴函数的值域为［－1，1）．【例8－3】求函数的值域．分析：本题中含有根号,需要设法去掉根号，方法就是换元，将用t代替，则t≥0，x＝1－t2.解：∵令＝t(t≥0），则x＝1－t2.∴y＝2(1－t2)＋4t＝－2（t－1）2＋4≤4.∴所求函数的值域是（－∞，4]．【例8－4】求函数的值域．分析：把函数转化为关于x