七年级数学上册-线段上的动点问题四种考法全梳理

线段上的动点问题的四种考法全梳理目录TOC\o"1-1"\h\u【考法一、线段定值问题】 1【考法二、求点的运动时间】 10【考法三、线段之间数量关系】 16【考法四、求线段】 21【课后练习】 28【考法一、线段定值问题】例1．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)写出数轴上点B表示的数________，点P表示的数________（用含t的代数式表示）；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？(3)若M为的中点，N为的中点：点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．例2．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．变式1．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置．【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”．如图，下列情形中与互为“对称线段”的是（直接填序号）．；；．【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且．（1）若，求的长；（2）若，求的长；【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由．变式2．已知，，和分别为线段，的中点．（1）若重合，在线段上，如图1，求的长度；（2）①如果将图1的线段沿着向右平移个单位，求的长度与的数量关系；②当为多少的时，的长度为9；（3）如果保持长度和位置不变，点保持图1的位置不变，改变的长度，将点沿着直线向右移动个单位，其余条件不变，①②，请问以上两个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？变式3．已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：①是定值；②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．【考法二、求点的运动时间】例．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个．(1)已知：如图2，，点P是的三等分点，直接写出_________；(2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒．①若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值；②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为______．变式1．已知线段，点、点都是线段上的点．(1)如图1，若点为的中点，点为的中点，求线段的长；(2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长；(3)如图3，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动1个单位和每秒移动4个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值．【答案】(1)线段的长为30；(2)的长为25或35；(3)或．【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及线段中点的性质．（1）由即可求出答案；（2）分两种情况讨论，点在点的左侧或点在点的右侧，结合图形，列式可求出答案；（3）可得，，则或，由可得方程，解方程即可得出答案．【详解】（1）解：∵M为的中点，N为的中点，∴，，∴；（2）解：如图，点在点的左侧，∵点是线段的中点，点是线段的中点，∴，，∴；如图，点在点的右侧，∵点是线段的中点，点是线段的中点，∴，，∴；综上，的长为25或35；（3）解：运动t秒后，，∵E为的中点，∴，∴，∵，F为的中点，∴，又，∴，或，由得：或，解得：或．变式2．【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若，点C是线段的“巧点”，则______；【解决问题】（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．

【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或，理由见详解【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解；（2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论①，②，③，即可求解；（3）①当是、的“巧点”，(ⅰ)由“巧点”的定义得，列方程即可求解；(ⅱ)由“巧点”的定义得，②当是、的“巧点”，(ⅰ)由“巧点”的定义得，(ⅱ)由“巧点”的定义得，即可求解．【详解】（1）解：C是线段的中点，，C是线段的“巧点”；故答案：是；（2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，

，；②如图，点C是线段的“巧点”，

，；③如图，点C是线段的“巧点”，

，；故答案：或或；（3）解：t为或或，理由如下：①当是、的“巧点”，(ⅰ)如图，

，，，，，解得：，(ⅱ)如图，

，，，，，解得：；②当是、的“巧点”，(ⅰ)如图，

，，，，，，，解得：；(ⅱ)如图，

，，同理可得：，解得：；此种情况不合题意，舍去；综上所示：当t为或或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”．【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键．【考法三、线段之间数量关系】例．如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒．(1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．【答案】(1)3(2)当时，点的运动时间的值为或20(3)【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰地分类讨论是解本题的关键．（1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案；（2）当点在线段上，，当点在线段的延长线上，，再建立方程求解即可；（3）先证明，，可得，从而可得结论．【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，，∴，∴，∵线段，∴，∴．故答案为：3．（2）当点在线段上，，如图，为的中点，∴，解得，当点在线段的延长线上，，如图，同理：解得，综上所述，当时，点的运动时间的值为或20；（3）当点在线段的反向延长线上时，，理由如下：如图，为的中点，为的中点，变式1．如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．(1)解决问题：①当时，写出数轴上点B，P所表示的数；②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8-12；点P表示的数为8-3t；②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；（2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论．【详解】（1）解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8-12=-4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是8-3×1=5．②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15解得：x=3．∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．（2）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．变式2．如图，是数轴上一条动线段，满足，“点在数轴上对应的数为24”表示为．(1)若线段在线段上，且满足．①______；②点E是线段上一点，满足，______；(2)如图，设（且），P是数轴上一点，若，猜想与的关系，并说明理由；(3)若点C是的中点，点D是的中点，以、、分别为直径的圆的周长为a、b、c，请直接写出的a、b、c关系．【答案】(1)①22；②18(2)，理由见解析(3)当时，；当时，；当时，．【分析】（1）①先求解，结合，从而可得答案；②设，则，而，再利用建立方程即可；（2）分别表示，，从而可得答案；（3）①当时，如图，可得，，，可得，②当时，如图，可得：，，，可得，，，可得；③当时，如图，可得：，，，可得，，，则有．【详解】（1）解：①∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，故答案为：22；②设，则，而，∵，∴，解得：，∴，故答案为：18；（2）解：猜想：，理由如下：如图，∵，，∴∵，∴，∵，∴∵∴∴；（3）解：设，①当时，如图，∵，，∵点C是的中点，点D是的中点，∴，，∴，∴，，，∴，②当时，如图，同理可得：，，，∴，，，∴；③当时，如图，同理可得：，，，∴，，，∴．【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，整式的加减运算的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键．【考法四、求线段】例．（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点．①直线上以，，，为端点的射线共有______条；②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______；（2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；（3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长．【答案】（1）①8；②9；（2）；（3）5【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，数轴上两点的距离计算，射线的条数问题：（1）①根据射线的定义进行求解即可；②分点P在点A左侧，点P在A、B之间，点P在点D右侧三种情况讨论求解即可；（2）如图所示，当点B在点C左边时，由线段中点的定义得到，，根据，推出，则；如图所示，当点B在点C右侧时，由线段中点的定义得到，，根据．推出则；（3）由中点的定义得到，，求出，则，再由，推出，则．【详解】解：（1）①由题意得，图中的射线有射线，共8条射线，故答案为：8；②∵，，，∴，如图所示，当点P在点A左侧时（包括A），如图所示，当点P在A、D之间时，，如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），；综上所述，的最大值为9；故答案为：9；（2），理由如下：如图所示，当点B在点C左边时，∵，分别为，的中点，∴，，∴，，∴；如图所示，当点B在点C右侧时，∵，分别为，的中点，∴，，∴，，∴；综上所述，；（3）∵为中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．变式1．点在线段上，．(1)如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；

①在还未到达点时，的值为；②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值；(2)若是直线上一点，且．则的值为．【答案】（1）①；②;（2）或或或【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；（2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在AC之间时，③当D在BC之间时，④当D在B的右侧时求解即可．【详解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s，∴QB=2PC，∴CQ=2AC-2PC=2AP，∴②设运动秒，分两种情况A:在右侧，，分别是，的中点，，∴B:在左侧，，分别是，的中点，，∴（2）∵BC=2AC．设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，①当D在A点左侧时，|AD-BD|=BD-AD=AB=CD，∴CD=6x，∴；②当D在AC之间时，|AD-BD|=BD-AD=CD，∴2x+CD-x+CD=CD，x=-CD（不成立），③当D在BC之间时，|AD-BD|=AD-BD=CD，∴x+CD-2x+CD=CD，CD=x，∴；|AD-BD|=BD-AD=CD，∴2x-CD-x-CD=CD，∴CD=；④当D在B的右侧时，|AD-BD|=BD-AD=CD，∴2x-CD-x-CD=CD，CD=6x，∴．综上所述，的值为或或或【点睛】题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键．变式2．数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；(3)若点D是的中点．①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；②若，试求线段的长．【答案】(1)，(2)不变化，理由见解析(3)①；②【分析】（1）由题可知，n-1=0，7+m=2，求出m，n；（2）设点E表示的数为x，则，，，，再由中点的定义，得，，由，得出MN的定值；（3）①根据两点间距离公式以及中点公式进行推导即可；②由题意，，依次表示出AD，BD的长，代入求解即可.【详解】（1）解：由题可知，n-1=0，7+m=2，∴，故答案为：，（2）解：MN的长不发生变化，理由如下：由题意，得点C表示的数为3，设点E表示的数为x，则点F表示的数为∴，，，，，，∵点M是的中点，N是的中点∴，即（3）解：①∵A，B表示的数分别为m，n又点C在B的右侧∴AB=n-m∵∴AC=n-m+2∵点D是的中点∴AD=AC=（n-m+2）∴D表示的数为：m+（n-m+2）=②依题意，点C表示的数分别为∴，∴，∵即当时．∵∴不符合题意，舍去当时．综上所述，线段的长为.【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，以及两点间距离公式和中点公式的考查，利用数形结合思想表示出线段长是解决问题的关键.【课后练习】1．如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．

（1）填空：①A、B两点间的距离________，线段AB的中点表示的数为________；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________；点Q表示的数为________；（2）求当t为何值时，；（3）当点P运动到点B的右侧时，线段PA的中点为M，N为线段PB的三等分点且靠近于P点，求的值．【答案】（1）①10；3；②点P表示的数为-2+3t，点Q表示的数为8-2t；（2）1或3；（3）5【分析】（1）①根据点A表示的数为-2，点B表示的数为8，即可得到A、B两点间的距离以及线段AB的中点表示的数；②依据点P，Q的运动速度以及方向，即可得到结论；（2）由t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，于是得到|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，列方程即可得到结论；（3）依据PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，运用线段的和差关系进行计算，即可得到的值．【详解】解：（1）①8-（-2）=10，-2+×10=3，故答案为：10，3；②由题可得，点P表示的数为-2+3t，点Q表示的数为8-2t；故答案为：-2+3t，8-2t；（2）∵t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，∴|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，又=×10=5，∴|5t-10|=5，解得：t=1或3，∴当t=1或3时，；（3）∵PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，∴|MP|=|AP|=×3t=t，|BN|=|BP|=（|AP|-|AB|）=×（3t-10）=2t-，∴=t-（2t-）=5．【点睛】本题考查了实数和数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程求解．2．如图1所示，已知线段，点为线段上一点（不与、重合），，两点分别从、同时出发沿射线向右运动，点的运动速度为/秒，点运动速度为/秒，设运动时间为秒．（1）若，①时，则的长为______；②点、在移动过程中，线段、之间是否存在某种确定的的数量关系，判断并说明理由；（2）如图2所示，点、在射线上移动，若，，直接写出的值．【答案】（1）①；②，理由见解析；（2），，，【分析】（1）①根据题意画出图形，分别求出时，AM，PN的长，进而求出AN，即可求解；②分和两种情况，分别表示出AM，PN，BM，MN的长，即可求解；（2）分和两种情况，每种情况再分点N在点M左边，点N在点M右边，分别表示出AM，PN，AP，PB的长，即可求解．【详解】解：（1）①如图：时，AM=，PN=，∴，∴=；②∵，，∴当时点、同时到达点∴当时，如图：∴∴∵∴；当时，，如图：∴∴∵∴；（2），点N在点M左边时，如图：∵，，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴；，点N在点M右边时，如图：∵，，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴；，点N在点M左边时，如图：∵，，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴；，点N在点M右边时，如图：∵，，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴．∴的值为，，，．【点睛】本题考查两点之间距离，线段和差的计算，一元一次方程，行程问题中的路程=速度×时间．解题时注意分类讨论的运用．3．如图，线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且.(1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长.

(2)在(1)的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值.(3)若线段AB和CD同时开始向左运动，且线段AB的速度大于线段CD的速度，在点A和C之间有一点P(不与点B重合)，且有，此时线段BP为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由.【答案】（1）52；（2）t=6或25；（3）BP=1为定值，理由见解析.【分析】（1）根据，AB=10，求出CD长，再由B为线段AC的中点，求出AC长，即可求出AD；（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，再写出AC和BD长，代入中解出t即可；（3）由，在点A和C之间有一点P，得到，，化简即可证明BP为定值.【详解】解：（1）∵，AB=10，∴，∵B为线段AC的中点，∴，∴；（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，∴，，∵，∴，①当0≤t＜10时，，解得：，0≤6＜10，成立；②当10≤t＜21时，，方程无解；③当21≤t时，，解得：，21≤25，成立；t=6或25；（3）∵，在点A和C之间有一点P，∴，，∴∴BP=1，为定值.【点睛】本题是对线段动点问题的考查，熟练掌握直线动点知识点及解一元一次方程是解决本题的关键，属于压轴题.4．已知数轴上两点所表示的数分别为和，且满足，为原点．（1）试求和的值；（2）点从点出发向右运动，经过3秒后点到点的距离是点到点距离的3倍，求点的运动速度？（3）点以一个单位每秒的速度从点向右运动，同时点从点出发以5个单位每秒的速度向左运动，点从点出发，以20个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，分别为的中点，问的值是否发生变化，请说明理由．【答案】（1）；（2）2个单位/秒或5个单位/秒；（3）的值不发生变化，其值为2，理由见解析．【分析】（1）利用非负数的性质求解；（2）设点运动的速度为v个单位/秒，则3s后点表示的数为3v，AC=3v+3，再分点C在点B的左侧或右侧两种情况，列方程即可求解；（3）设运动的时间为，根据题意用t表示出PQ，OD，MN的长，进而求出答案．【详解】解：（1）∵|a+3|+（b-9）2020=0，∴a+3=0且b-9=0，∴a=-3，b=9；（2）设点运动的速度为v个单位/秒，则3s后点表示的数为3v，又由（1）知，点A表示的数为-3，点B表示的数为9，∴，当点C在点B左侧时，BC=9-3v，则，解得v=2;当点C在点B右侧时，BC=3v-9，则，解得v=5，故点C的运动速度为2个单位/秒或5个单位/秒；（3）的值不发生变化，理由如下：设运动的时间为，则表示的数为，表示的数为，表示的数为，又、分别为、的中点，∴表示的数为，表示的数为，∴．即的值不发生变化，其值为2．【点睛】此题主要考查了数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离的求法，一元一次方程的应用以及代数式的化简等知识，根据题意用代数式表示出数轴上两点间的距离是解题关键．5．如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点．(1)直接写出线段和的长；(2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间