第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第一节　两个计数原理、排列与组合 2025年高考数学一轮复习基础知识随堂练

计数原理、概率、随机变量及其分布第一节两个计数原理、排列与组合1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有()A．48种 B．36种C．24种 D．12种2．(数学与文化)如图，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意选出4个构成四边形，其中梯形的个数为()A．8 B．16C．24 D．323．(2024·聊城模拟)新高考数学中的不定项选择题有4个不同选项，其错误选项可能有0个、1个或2个，这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求．若某道数学不定项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的4个不同选项的排列方式共有()A．24种 B．36种C．48种 D．60种4．(多选题)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b，则下列说法正确的有()A．baB．ba表示不同的比1小的数的个数是C．(a，b)表示x轴上方不同的点的个数是6D．(a，b)表示y轴右侧不同的点的个数是65．下列各式中正确的个数为()①Cnm＝Anmm！；②Anm＝A．1 B．2C．3 D．46．(2024·本溪模拟)e作为数学常数，它的一个定义是e＝limx→+∞1+17．某社区将招募的5名志愿者分成两组，分别担任白天和夜间的网格员，要求每组至少两人，则不同的分配方法种数为________.8．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．9．甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．(1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案．高考训练10．(新情境)魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯理工大学建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．已知经典三阶魔方(如图)自由转动之后的色块组合约有4.3×1019种，现将下图已还原的魔方按5步打乱，且每一步互相独立，则打乱方式有()A．A185种C．185种 D．195种11．(2024·日照模拟)某人从一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步；也可能跨2级台阶，称为二阶步；最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有()A．10种 B．9种C．8种 D．12种12．(多选题)现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则()A．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5400种B．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种C．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种D．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1440种13．甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同坐法的种数为________.14．(数学与文化)七巧板是我国古代劳动人民智慧的结晶．如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形．若用4种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种．15．(1)将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子．把球全部放入盒内，共有多少种放法？(2)将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有1个盒子的编号与放入小球的编号相同，有多少种不同的放法？(3)将11个相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．若要求每个盒子至少放1个小球，有多少种不同的放法？16．已知从1，3，5，7，9中任取两个数，从0，2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复数字的四位数．(1)可以组成多少个不含有数字0的四位数？(2)可以组成多少个四位偶数？(3)可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？(所有结果均用数值表示)答案解析1、B解析：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选1种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选1种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选1种有6种选法．根据分步乘法计数原理，共有2×3×6＝36(种)不同的选取方法．故选B．2、C解析：梯形的上、下底平行且不相等，如图．若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有16个；若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有8个．所以梯形的个数为16＋8＝24.故选C．3、B解析：当错误选项恰有1个时，4个选项进行排列有A44＝24(种)排列方式；当错误选项恰有2个时，先排2个正确选项，再将2个错误选项插入到3个空位中，有A24、BC解析：对于A，若a，b均为正，共有2×2＝4(个)，若a，b均为负，共有1×2＝2(个)，但63＝－4－2，所以共有5个，所以A错误；对于B，若ba为正，显然均比1大，所以只需ba为负即可，共有2×2＋1×2＝6(个)，所以B正确；对于C，要使(a，b)表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有3×2＝6(个)，所以C正确；对于D，要使(a，5、D解析：对于①，因为Cnm＝对于②，Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，An－1m－1＝(n－1)(n所以Anm＝对于③，CnmCnm+1对于④，Cn+1m+1＝n+1！m6、36解析：第一步：对除去2以外的3个数字进行全排列，有A33＝6(种)方法；第二步：将两个2选两个空插进去有C47、20解析：由两人担任白天网格员有C52种分配方法，由三人担任白天网格员有C53种分配方法，所以共有C58、解：(1)先选后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C32C53＋C31(2)除去该女生后，先选后排，则符合条件的选法数为C7(3)先选后排，但先安排该男生，则符合条件的选法数为C7(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C63种情况，再安排该男生有C31种情况，选出的3人全排列有9、解：(1)根据题意，分两步进行分析：①将五名学生分成三组，人数分别为2，2，1，有C5②将分好的三组全排列，安排给三位教师，有A3所以共有15×6＝90(种)分配方案．(2)根据题意，分两步进行分析：①从五名学生任选一名学生分配给甲教师指导，有5种情况；②剩下四名学生分成两组，安排给其余两位教师指导，有C4所以共有5×14＝70(种)分配方案．10、C解析：若以红色的一面为正面，分成三行三列，每一行可以左右旋转，每一列可以上下旋转，此时有3×2＋3×2＝12(种)旋转方式；接着侧面(以绿色一面为例)，每一列都可以上下旋转，此时有3×2＝6(种)旋转方式，故每一次旋转魔方，共有12＋6＝18(种)旋转方式．所以按5步打乱，且每一步互相独立，则共有185种打乱方式．故选C．11、A解析：按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步，因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步．为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，该过程可表示为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列．下面分三种情形讨论：(1)若第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，此时，共有4个黑、白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种不同的排列．(2)若第1球不是白球，①若第1球为红球，则余下5球只有1种可能的排列；②若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有2种不同的排列，此种情形共有3种不同排列．(3)第6球不是白球，同(2)，共有3种不同的排列．综上，按题意要求从一层到二层共有4＋3＋3＝10(种)可能的不同走法．故选A．12、BCD解析：对于A，将7名学生排成前后两排，前排3人后排4人的排法，有C7对于B，甲不站排头也不站排尾，有5个位置可选择，将剩下的6人全排列，有A66种排法，则有5×对于C，将4名女生看成一个整体，有A44种排法，将这个整体与3名男生全排列，有A44对于D，先排4名女生，有A44种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A513、192解析：由题知，丙坐在正中间(4号位)，甲、乙两人只能坐12或23或56或67号位，有4种情况，且甲、乙的顺序有A22种情况，剩下的4个位置其余4人坐，有A414、72解析：将七巧板的七个板块标号，如图．由题意，一共4种颜色，板块A需单独一色，剩下6个板块中每2个板块涂同一种颜色．又板块B，C，D两两有公共边不能同色，故板块A，B，C，D必定涂不同颜色．①当板块E与板块C同色时，则板块F，G与板块B，D或板块D，B分别同色，共2种情况；②当板块E与板块B同色时，则板块F只能与D同色，板块G只能与C同色，共1种情况．又板块A，B，C，D颜色可全排列，故不同的涂色方案共有(2+1)×A415、解：(1)满足条件的放法可分为4步，第一步放1号球，第二步放2号球，第三步放3号球，第四步放4号球，每步都有3种放法．由分步乘法计数原理，可得满足条件的放法有3×3×3×3＝81(种)．(2)满足条件的放法可分为三步，第一步，从五个球中任选一个球x将其放在与其编号相同的盒子中，有5种放法；第二步，从余下的四个球中任选一个球y，放入编号为z(z≠y)的盒子中，有3种放法；第三步，将编号为z的小球放入余下的某一盒子中，有3种放法；第四步，将余下的两个小球按要求放入余下的盒子中，有1种放法．由分步乘法计数原理，可得共有5×3×3×1＝45(种)放法．(3)将11个相同的小球排成一排，在排列的两端各放置1块隔板，在