第六章　立体几何与空间向量 第七节　空间距离

立体几何与空间向量第七节空间距离1．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为()A.36 B．3C．233 D2．(数学与文化)(2024·滁州模拟)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为()A．23 B．C．62 D．3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为()A．102 B．C．2 D．34．(多选题)在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是()A．2 B．3C．2 D．55．已知两平行平面α，β分别经过点O(0，0，0)和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则这两个平面间的距离是________．6．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE之间的距离为________．7．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离．高考模拟8．如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点(不含端点)，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得截面的面积为y.若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的图象是()9．如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝π3，PD⊥底面ABCD.若点D到平面PAC的距离为2，则PDA．22 B．2C．1 D．210．(多选题)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，平面α过B，C1，E三点，下列说法正确的是()A．CD与平面α平行B．平面A1B1CD与平面α垂直C．平面α截正方体所得截面的面积为9D．正方体的顶点到平面α距离的最大值为311．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为________．12．如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD的中点．试问：在线段AD上是否存在点Q，使点Q到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，答案解析1、B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A所以DA1＝(1，0，－1)，DC1＝(0，1，－1)，AD＝(－1，0设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y，z)，则m·DA取x＝1，则y＝1，z＝1，所以m＝(1，1，1)为平面A1C1D的一个法向量．显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝AD·2、B解析：如图，连接BD，取BD的中点E，连接PE.因为ABCD为长方形，AB＝AD＝2，所以BD＝22.因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以PB＝PA2+AB2＝5，PD＝PA2+AD2＝5.所以PE⊥BD，PE＝PB2－BE2＝3.设点A到平面PBD的距离为h，则三棱锥P­3、B解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则D1(0，0，2)，G(0，2，1)，F(1，1，0)，所以FD1＝(－1，－1，2)，FG＝(－1，1，1)所以点D1到直线GF的距离d＝FD1又FG＝3，所以S△4、CD解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)．设P(0，t，0)(0＜t＜3)，所以AP＝(－3，t，0)，AD1＝(－3，0，3)，AB＝(0，3，0)设平面AD1P的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AP取y＝3，则x＝t，z＝t，所以n＝(t，3，t)为平面AD1P的一个法向量．所以点B到平面AD1P的距离为d＝n·因为0＜t＜3，所以点B到平面AD1P的距离的取值范围是3，5、22解析：因为两平行平面α，β分别经过点O(0，0，0)和点A(2，1，1)，OA＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，所以这两个平面间的距离d＝n6、22121解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，C10,2，2，E0，2，1，所以设BC1与AE的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，则n·AE取z＝1，则x＝2，y＝12，所以n＝2，12，1为又因为AB＝(0，2，0)，所以异面直线BC1与AE之间的距离为d＝AB·7、解：(1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，12，0)，F(1，12，所以AB＝(0，1，0)，AC1＝(－1，1，－1)，FC＝取a＝AB＝(0，1，0)，u＝AC1则点B到直线AC1的距离为a2(2)因为FC＝所以FC∥EC1，而FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，所以FC∥平面AEC1，所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AE取z＝1，则x＝1，y＝2，所以n＝(1，2，1)为平面AEC1的一个法向量．又因为AF＝所以点F到平面AEC1的距离为AF·nn＝66，即直线FC8、C解析：如图1，过点M作MN⊥AB，交AB于点N，则MN⊥平面ABCD，过点N作NQ∥AD，交CD于点Q，过点Q作QH∥PD，交PC于点H，连接MH，则平面MNQH是所作的平面α.图1因为MN⊥平面ABCD，平面MNQH∥平面PAD，所以平面MNQH与平面PAD之间的距离x＝AN，MNQH为直角梯形，所以y＝S梯形MNQH.由题意得2－x2＝MN4，解得由HQ∥PD得CQCD＝QHPD，即2－x2＝QH2图2如图，过点H作HE⊥NQ，则HE＝MN.在Rt△HEQ中，EQ＝HQ2－HE2所以NE＝2－(2－x)＝x，所以MH＝x.所以y＝f(x)＝x+24－2x2＝－所以函数y＝f(x)的图象如图2所示．故选C．9.D解析：设E为BC的中点，连接DE，因为底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝π3，所以DE⊥BC，而AD∥BC，所以DE⊥DA以D为原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PD＝a(a＞0)，则D(0，0，0)，P(0，0，a)，A(4，0，0)，C－2所以PA＝(4，0，－a)，AC＝－6，23，设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PA＝0，n·AC＝0，所以4x－az所以n＝a，3a，设点D到平面PAC的距离为d，所以d＝DA·nn＝410、BC解析：因为平面α过B，C1，E三点，所以AB与平面α相交．因为CD∥AB，所以CD与平面α不可能平行，故A错误．因为在正方体中，CD⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.又因为B1C⊥BC1，B1C∩CD＝C，B1C，CD⊂平面A1B1CD，所以BC1⊥平面A1B1CD.因为BC1⊂平面α，故平面A1B1CD与平面α垂直，故B正确．如图，平面α截正方体所得截面为等腰梯形EFC1B，其中F是A1D1的中点，EF＝2，BC1＝22，计算得梯形EFC1B的高为322，所以梯形以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，D(0，0，0)，所以BE＝(0，－2，1)，BC1＝(－2，0，2)，DB＝(2，2，0)设平面BEC1的法向量为m＝(x，y，z)，则m·BE取y＝1，则x＝2，z＝2，所以m＝(2，1，2)为平面BEC1的一个法向量．所以点D到平面BEC1的距离为DB·m即正方体的顶点D到平面α的距离为2，大于32，故D错误11、33a解析：由题意知D1(0，0，a)，A(a，0，0)．设M(0，m，m)(0≤m≤a)易知s＝－22，0，22为直线AD1的一个单位方向向量，MD1＝(0故点M到直线AD1的距离为d＝MD12＝32m2所以当m＝a3时，d取得最小值，为13a2＝33a12、解：存在．因为PA＝PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，PO⊥平面PAD，所以PO⊥底面ABCD.连接OC，建立如图所示的空间直角坐标系，易得C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，所以CP＝(－