2024学年长沙市高二数学上学期期中考试卷附答案解析

学年长沙市高二数学上学期期中考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（）A． B． C．5 D．53．长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或4．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（

）A．B．C． D．5．在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．6．已知椭圆的右焦点，是椭圆上任意一点，点，则的周长最大值为（

）A． B． C．14 D．7．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（

）A． B．6 C． D．8．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（

）A．B．C．D．二、多选题（本大题共3小题）9．（多选题）已知点A(－3,－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于（

）A．B．C．D．10．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（

）A． B．C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为411．已知椭圆，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，将上所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点，在上且直线的斜率为，则（

）A．顺次连接的四个焦点构成一个正方形 B．的面积为的4倍C．的方程为 D．线段的中点始终在直线上三、填空题（本大题共3小题）12．过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为．13．直线与抛物线相交于两点，则．14．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为．四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系中，已知点、，动点P满足．(1)求动点P的轨迹方程；(2)若过点的直线l与点P的轨迹（包括点A和点B）有且只有一个交点，求直线l的方程．16．如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且．(1)求证：；(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值．17．已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点．(1)若直线过点，且其倾斜角，求的取值范围；(2)是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．18．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且.(1)求证：直线平面；(2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.19．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；(3)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．

参考答案1．【答案】C【分析】求出直线的斜率即可求解.【详解】因为，所以，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C.2．【答案】C【详解】解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），则||＝＝5．故选：C．3．【答案】C【详解】当椭圆的焦点在轴上时，长半轴长为，则短半轴长为，所以椭圆的方程为；当椭圆的焦点在轴上时，短半轴长为，则长半轴长为，所以椭圆的方程为；所以椭圆方程为或.故选：C.4．【答案】B【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或，故的取值范围为.故选：B.5．【答案】D【详解】

由题意知，所以，，，，，，,所以故选：D.6．【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为，，，利用，即可得出．【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，，则，，的周长，当且仅当三点，，共线时取等号．的周长最大值等于14．故选：．7．【答案】C【详解】直线的方程为，设点关于的对称点为，则，得，即点关于轴的对称点为，

由题意可知，如图，点都在光线上，并且利用对称性可知，，，所以光线经过的路程.故选：C8．【答案】A【详解】设，则，整理得，所以动点的轨迹方程是.故选：A.9．【答案】BC【详解】因为和到直线的距离相等，由点和点到直线的距离公式，可得，化简得，所以，解得或，故选：BC.10．【答案】BC【详解】由，设，，由，得，则，，而，解得，因此，，对于A，，A错误；对于B，显然，则，B正确；对于C，令，在中，由，得，则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确；对于D，由，结合对称性，图中位置可互换，则直线的斜率为，D错误.故选：BC11．【答案】ABD【详解】椭圆的焦点为，2,0，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，则椭圆的焦点为，0,2，所以顺次连接的四个焦点构成一个正方形，故A正确；将上所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆，所以与为相似曲线，相似比为，所以的面积为的面积的倍，故B正确；且的方程为，即，故C错误；设Px1,y1又，，所以，即，所以，即，所以，所以线段的中点始终在直线上，故D正确；

故选：ABD12．【答案】x＋4y－4＝0【解析】设l1与l的交点为A(a,8－2a)，求得关于的对称点坐标，利用对称点在直线上求得，即得点坐标，从而得直线方程．【详解】设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.故答案为：x＋4y－4＝0.13．【答案】0【详解】解：设，，则，由，解得或，所以，，所以．故答案为：0．14．【答案】【分析】由双曲线的右焦点到渐近线的距离为，得到直角的内切圆的半径为，设的内切圆与切于点，结合和，列出方程求得，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线的渐近线方程为，即，又由双曲线的右焦点到渐近线的距离为，所以，则直角的内切圆的半径为，如图所示，设的内切圆与切于点，则，因为，可得，所以，可得，所以双曲线的离心率为.故答案为：.15．【答案】(1)(2)或【详解】（1）法一：设Px,y，因为，所以由，得，所以动点P轨迹方程为.法二：由题，所以P点的轨迹是以AB中点O为圆心,半径为1的圆去掉A、B得到的，所以P点的轨迹方程为（2）因为直线l与点P的轨迹（并上点A和点B）有且只有一个交点（如图），①若斜率不存在，此时直线l方程为：，与圆切于点B，②当直线l与圆相切斜率存在时，设，即，根据圆心到切线距离等于半径可得，得，所以此时直线l方程为.

综上，直线l方程为或.16．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）构建空间直角坐标系，令且，应用向量法求证垂直即可；（2）由三棱锥体积最大，只需△面积最大求出参数，再标出相关点的坐标，求平面与平面的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值.【详解】（1）如下图，构建空间直角坐标系，令且，所以，，，，则，，故，所以，即.（2）由（1）可得三棱锥体积取最大，即面积最大，所以当时，故、为、上的中点，所以，，，故，，若为平面的法向量，则，令，故，又面的法向量为，所以，设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角，则，所以，所以，所以平面与平面的夹角正切值为.17．【答案】(1)(2)存在，或【详解】（1）由题可知，且直线的斜率不为0，设Ax设直线的方程为，因为，则，因此点到直线的距离为，联立则，显然，所以，则，所以，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，所以的取值范围为．（2）设直线方程为，即，联立得，故即,又，易知，因为，则，因为，所以，即，解得或，故存在斜率为1的直线，使得，此时直线的方程为或．18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）设，连接，为底面圆的内接正三角形，，为中点，，又.，且.平面平面，，平面平面，平面.（2）为中点，又，为中点，，，，则，以为坐标原点，方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，设.设平面的法向量n=x,y,z则令，解得，设直线与平面所成夹角为，，令，则，，当，即时，，，此时，点到平面的距离.19．【答案】(1)；(2)或；(3).【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解；（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解；（3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.【详解】（1）由题意，因为，为直角三角形，所以.又，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）知，,显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立消去得，，所以，即.且，因为，所以，所以，即，所以，整理得，即，化简得，即满足条件，所以直线的方程为或，即直线