河南省驻马店市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

秘密★启用前普通高中2024－2025学年（上）高一年级期中考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图象中，可以表示函数的为（）A. B.C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.下列各组函数中，表示同一函数的为（）A.， B.，C.， D.，4.已知，，则（）A.27 B.9 C.3 D.5.已知集合，则（）A. B. C. D.6.“，”的一个充分条件可以是（）A. B. C. D.7.已知函数是奇函数，则（）A. B. C. D.28.已知实数x，y满足，则和的最大值分别为（）A.2， B.2，1 C.4， D.4，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知集合，，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.10.已知正数x，y满足，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.11.已知函数满足对，都有，则下列说法正确的有（）A. B.为偶函数C. D.在上可能为增函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为_____，否定后的命题是_____命题（填“真”或“假”）.13.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.14.已知函数，且对恒成立，，，则的取值范围为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知幂函数，.（1）求的解析式；（2）若，求实数的取值范围.16.（15分）近年来，国家发展改革委、国务院、工信部、生态环境部等有关部门纷纷出台污水处理领域指导、支持及规范类政策，该相关政策的落实不仅促进了环境保护，同时也带动了一批企业的发展.已知某企业每年生产某种智能污水处理设备的最大产能为100台，其年度总利润（单位：万元）与产能（单位：台）的函数关系为（1）当产能不超过40台时，求每年生产多少台时，平均每台设备的年利润最大？（2）当产能为多少台时，该企业所获年度总利润最大？最大利润是多少？17.（15分）按照要求解答下列问题.（1）已知函数在区间上不单调，求实数的取值范围；（2）求函数，的最小值.18.（17分）已知函数.（1）求的值；（2）判断的单调性，并用定义法进行证明；（3）证明：.19.（17分）已知函数的定义域为，给定，设，，若存在使得，则称为函数的一个“点”.（1）若为上的单调函数，证明：不存在“点”；（2）若，讨论的“点”个数，并在存在“点”的前提下，求出所有的“点”；（3）若，证明：“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”.

普通高中2024－2025学年（上）高一年级期中考试数学参考答案1.B【解析】由函数的定义可知定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值与之对应，选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，选项B符合题意.故选B.2.C【解析】由题意得解得且，故函数的定义域为.故选C.3.C【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，两个函数的定义域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，所以是同一函数；对于D，，，两个函数的对应关系不同，故不是同一函数.故选C.4.A【解析】因为，故.故选A.5.D【解析】因为，所以.故选D.6.B【解析】若函数在上恒成立，则只需解得，即的取值范围是，故“，”的一个充分条件可以是“”.故选B.7.C【解析】因为是奇函数，所以，所以，又，所以.此时可知，满足，所以是奇函数，所以.故选C.8.D【解析】因为，因为，所以，解得.又因为，所以，所以，即，即，解得，所以，所以，故的最大值为4，的最大值为.故选D.9.BD【解析】由题意可得，，故，则，，故A错误，B正确；，故，故C错误；，故，故D正确.故选BD.10.AD【解析】对于A，因为正数x，y满足，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；对于，当且仅当时取等号，故D正确.故选AD.11.ABC【解析】令，得，解得，代入，得，所以A正确，D错误；用替换中的，得，用替换中的，得，所以，根据偶函数的定义可知B正确；在中，取得，取得，所以，故C正确.故选ABC.12.存在正数的立方根不是正数（不一定和答案保证一字不差，表达意思对即给3分）；假（2分）【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“存在一些正数的立方根不是正数”，易知其是假命题.13.【解析】为保证分段函数在整个定义域内单调递增，需同时满足解得，所以的取值范围是.14.【解析】由题意可得在上单调递增，当时，；当时，，所以，由对恒成立，得，，故，故的取值范围为.15.解：（1）由幂函数的定义可得，（3分）解得，（4分）则，（5分）故.（6分）（2）易知在上单调递增，（8分）又，所以，（10分）即，解得，故的取值范围为（2，3）.（13分）16.解：（1）因为当时，.则平均每台设备的年利润为，（3分），当且仅当时取等号，（4分）由于，，且，（6分）故当生产14台时，平均每台设备的年利润最大.（7分）（2）当时，，易知当时，取最大值，（万元）；（9分）当时，（万元），（12分）当且仅当时等号成立.（13分）因为，（14分）故当产能为35台时，所获年度总利润最大，最大利润为2050万元.（15分）17.解：（1）由题意可得，（3分）解得，故的取值范围是.（6分）（2）由题意可得，（8分）当时，函数和单调递增，故函数在上单调递减，故；（10分）当时，函数在上单调递增，故；（12分）当时，，可知.（14分）综上可知的最小值为3.（15分）18.解：（1）.（3分）（2）在上单调递减.证明如下：取，，且，则，（6分）因为故，（7分）即，，则，即，（10分）故，即，（11分）所以在上单调递减.（12分）（3）证明：由（2）可得，（13分）又因为，（15分）故，（16分）故.（17分）19.解：（1）证明：若在上单调递增，则时，对，有，则，不存在“点”；（2分）若在上单调递减，则时，对，有，则不存在“点”.（4分）综上所述，不存在“点”.（5分）（2）当时，在上单调递增，则不存在“点”；（6分）当时，则使在时有解的的个数即为的“点”的个数，（7分）整理得，由得，故，即存在唯一“点”.（9分）综上所述，当时，不存在“点”；当时，存在唯一“点”，.（10分）（3）