北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期期中考试数学2024.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合，集合,则（A）（B）（C）（D）（2）若函数在处取得最小值，则（A）（B）（C）（D）（3）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（A）（B）（C）（D）（4）如图，在中，，则（A）（B）（C）（D）（5）已知单位向量满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（A）（B）（C）（D）（6）《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（A）1天（B）2天（C）3天（D）4天（7）已知均为第二象限的角，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（A） （B）（C） （D）（9）在三棱锥中，棱,,两两垂直，点在底面内，已知点到,,所在直线的距离分别为,,，则线段的长为（A） （B）（C）3 （D）（10）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合S的元素个数，为集合的子集个数，若集合,,满足：①；②，则的最大值是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）计算____.（12）在中，已知，则____；____.（13）已知数列的前项和为(为常数),写出一个有序数对____,使得数列是递增数列.（14）某种灭活疫苗的有效保存时间(单位:)与储藏的温度(单位:)满足函数关系(为常数，其中).已知该疫苗在时的有效保存时间是，在时的有效保存时间是,则该疫苗在时的有效保存时间是___.（15）对于无穷数列,若存在常数,对任意的,都有不等式成立，则称数列具有性质.给出下列四个结论：①存在公差不为0的等差数列具有性质；②以1为首项,为公比的等比数列具有性质；③若由数列的前项和构成的数列具有性质,则数列也具有性质；④若数列和均具有性质,则数列也具有性质.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求及的面积．（17）（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值；（Ⅲ）记平面与平面的交线为.试判断直线与的位置关系，并说明理由.（18）（本小题13分）已知函数().（Ⅰ）若，求的最小值；（Ⅱ）若存在极小值，求的取值范围.（19）（本小题14分）设函数．（Ⅰ）若求的值；（Ⅱ）已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：当时，取到最小值；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（20）（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论在区间上的零点个数；（Ⅲ）若，其中，求证：.（21）（本小题15分）若有穷正整数数列满足如下两个性质，则称数列为数列：①；②对任意的，都存在正整数，使得．（Ⅰ）判断数列和数列是否为数列，说明理由；（Ⅱ）已知数列是数列．（ⅰ）证明：对任意的，与不能同时成立；（ⅱ）若为奇数，求的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）C （5）C（6）B （7）C （8）B （9）A (10)B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12） （13）（答案不唯一）（14） （15）②③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由，得.所以.由得.又因为，所以．所以．可得． 5分（Ⅱ）因为，所以．又由（Ⅰ）可知，，所以．整理得，即．所以．所以．所以面积为. 13分（17）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为平面，所以．又因为，，所以．又因为，所以平面． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，则．则.设平面的一个法向量为．由得所以令，则．又因为平面，所以是平面的一个法向量．设平面与平面的夹角为，则． 12分（Ⅲ）直线．理由如下：因为，平面，平面，所以平面．又因为平面，平面平面，所以．…………………….15分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为，当时，，时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增.所以当时，取得最小值.…………5分（Ⅱ）.（1）当时，，在区间上单调递减，所以无极值.（2）当时，令，得.当变化时，与的变化情况如下表：↘极小值↗由上表知，当时，取得极小值.综上，的取值范围为.………..13分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由得.则. 4分（Ⅱ），，选择条件①：因为在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，又当时，取到最小值，所以，故．因为，所以．所以，．又因为，所以，得．又因为，所以．选择条件③：因为在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，又在区间上单调递减，所以，故．因为，所以．所以，．又因为，所以，得．又因为，所以． 14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由，得且，所以.所以曲线在处的切线方程为：.即. 4分（Ⅱ）①当时，，，所以.所以在区间上无零点.②当时，，，所以.所以在区间上单调递增.又，，所以在区间上仅有一个零点.综上,在区间上的零点个数为1. 9分（Ⅲ）设，即，所以.设，.因为时，，，所以.所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增.故，所以在区间上单调递增.故，所以.因为，所以，又，所以. 15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）数列不是数列，理由如下：对于数列，因为，，且对任意的正整数，有，所以数列不满足性质②．所以数列不是数列．数列是数列，理由如下：对于数列,因为，所以数列满足性质①．又因为，,,,,,，所以数列满足性质②．所以数列是数列．………