2023-2024学年上海市宝山区罗店中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市宝山区罗店中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知圆C1：x2+y2−23A.外离 B.外切 C.相交 D.内切3.设A1，A2，⋯，A2023是空间中给定的2023个不同的点，则使得MA1+A.0个 B.1个 C.2023个 D.4046个4.已知数列{an}为无穷数列.若存在正整数l，使得对任意的正整数n，均有an+l≤an，则称数列{an}为“l阶弱减数列”.有以下两个命题：①数列{bn}为无穷数列且bn=cosn−n2(n为正整数)，则数列{bn}是“l阶弱减数列”的充要条件是A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.直线经过点A(−1,−1)和B(2,3)，则此直线的斜率为______．6.双曲线x23−7.若用数学归纳法证明2n>n2成立，正整数8.若a和b都是平面α的法向量，则a和b的关系是______．9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+10.已知球的表面积为4π，则该球的体积为______．11.已知数列{an}是等比数列，且an>0，a312.若直线5x−12y+c=0截圆x2+y2−2x+4y−20=0所得弦长为8，则13.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为26，则侧面与底面所成的二面角等于______14.已知F是椭圆x22+y2=1的右焦点，P是椭圆上一动点，15.已知数列{an}为无穷等比数列，若i=1+∞a16.体积为212a3的正四面体内有一个球O，球O与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，M，N是球O的表面上的两动点，点P在该正四面体的表面上运动，当|MN三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面为菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD=60°，E为棱BC的中点．

(1)求证：ED⊥平面PAD；

(2)若PD=AD=2，求点D到平面PBC的距离．18.(本小题10分)

已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n2+n，其中n∈N，且n≥1．

(1)求{a19.(本小题10分)

椭圆E中心在原点，焦点在y轴上，F1、F2分别为上、下焦点，椭圆的离心率为12，P为椭圆上一点且kPF1+kPF2=0．

(1)若△PF1F2的面积为3，求椭圆E的标准方程；

(2)20.(本小题10分)

从一张半径为3的圆形铁皮中截剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分)，成一个深度为ℎ米的圆锥筒(如图2).若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为2π3．

(1)求圆锥筒的容积；

(2)在(1)中的圆锥内有一个底面圆半径为x的内接圆柱(如图3)，求内接圆柱侧面的最大值以及取最大值时x的值．21.(本小题14分)

已知0<p<4，曲线Γ1、Γ2的方程分别为y2=2px(0≤x≤8,y≥0)和x2=2py(0≤y≤8,x≥0)，Γ1与Γ2在第一象限内相交于点K(xK,yK).

(1)若|OK|=42，求p的值；

(2)若p=2，定点T的坐标为(4,0)，动点M在直线y=x上，动点N(xN,yN)(0≤xN≤4)在曲线Γ2上，求|MN|+|MT|的最小值；

(3)已知点A(x1,

参考答案1.B

2.D

3.B

4.C

5.43

6.(2,0)

7.5

8.共线

9.45

10.4311.5

12.10或−68

13.60

14.515.[2,+∞)

16.1317.(1)证明：连接BD，如图，

∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，

∴△BCD为等边三角形，

∵E为BC的中点，∴DE⊥BC，

∵AD/​/BC，∴DE⊥AD，

∵PD⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，

∴PD⊥DE，

∵PD∩AD=D，∴ED⊥平面PAD；

(2)以D为坐标原点，DA、DE、DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则P(0,0,2),A(2,0,0),B(1,3,0)，C(−1,3,0)，

∴PB=(1,3,−2),PC=(−1,3,−2)，

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅PB=0n⋅PC=018.解：(1)当n∈N，且n≥1时，有Sn=n2+n，

∴当n∈N，且n≥2时，有Sn−1=(n−1)2+n−1，

两式相减，得an=2n，

当n=1时，S1=12+1⇒a1=2，适合19.解：(1)由椭圆的对称性以及kPF1+kPF2=0

可知，P为椭圆的左顶点或右顶点，

不妨设P(b,0)，

∴bc=3ca=12a2=b2+c2解得a=2b=3c=1，

∴y24+x23=1．

(2)椭圆的离心率为12，a2=b2+c2，

则a2=4c2，b2=3c2，y24c2+x23c2=1，

设点A(xA,yA)，

20.解：(1)根据题意，设圆锥筒的半径为r，容积为V，

∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为2π3rad，

∴2πr=3×2π3=2π，解得r=1，

∴ℎ=32−12=22，

∴V=13Sℎ=13×π×12×22=221.解：(1)联立y2=2pxx2=2py，由点K(xK,yK)在第一象限，

得xK=2pyK=2p，由|OK|=42，得22p=42，所以p=2；

(2)曲线Γ1和Γ2关于直线y=x对称，取N关于y=x的对称点N′，

则N′在曲线y2=4x(0≤x≤4,y≥0)上，

∴(|MN|+|MT|)min=(|MN′|+|MT|)min，又因为|MN′|+|MT|≥|T