2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.3.1数乘向量课时素养评价含解析北师大版必修4

PAGE课时素养评价十七数乘向量(20分钟35分)1.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于 ()A.2a B.-2a C.QUOTEa D.-QUOTEa【解析】选B.由题意知,3x-2x+2a=0,故x=-22.已知向量a,b,设=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,那么下列各组中三点肯定共线的是 ()A.A,B,C B.A,C,DC.A,B,D D.B,C,D【解析】选C.由向量的加法法则知=+=-5a+6b+7a-2b=2(a+2b)=2,又两线段均过点B,故A,B,D三点肯定共线3.在△ABC中,假如AD,BE分别为BC,AC上的中线,且=a,=b,那么为 ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa-QUOTEbC.QUOTEa-QUOTEb D.-QUOTEa+QUOTEb【解析】选A.由题意,得=+=b+QUOTE=b+QUOTE(+)=b+QUOTEa+QUOTE,即=b+QUOTEa+QUOTE.解得=QUOTEa+QUOTEb.4.QUOTE(2a-3b)-3(a+b)=.

【解析】QUOTE-3QUOTE=QUOTEa-b-3a-3b=-QUOTEa-4b.答案:-QUOTEa-4b5.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,肯定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.③λa=0(λ为实数),则λ必为零.④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中正确的命题序号为.

【解析】因为两个向量终点相同,起点若不在一条直线上,则也不共线,命题错误;由于两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小,因此命题是正确的;若λa=0(λ为实数),则a也可以为零向量,因此命题也是错误的;若λ,μ为0,尽管有λa=μb,则a与b也不肯定共线,即命题也是错误的,应选答案②.答案:②6.已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠1,λ≠0).(1)求证:A,B,M三点共线.(2)若点B在线段AM上,求实数λ的范围.【解析】(1)因为=λ+(1-λ),所以=λ+-λ,-=λ-λ,即=λ,又λ∈R,λ≠1,λ≠0且,有公共点A,所以A,B,M三点共线.(2)由(1)知=λ,若点B在线段AM上,则,同向且||>||(如图所示).所以λ>1.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2024·汕头高一检测)已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,设=a,=b,则QUOTE= ()A. B. C. D.【解析】选B.a-b=-=-=,所以QUOTE=QUOTE=.2.(2024·亳州高一检测)已知△ABC中,向量=λ(+)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的 ()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【解析】选D.设D为BC中点,则+=2,所以=2λ,即P点在中线AD上,可知P点轨迹必过△ABC的重心.3.已知△ABC三个顶点A,B,C及平面内一点P,若++=,则 ()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边所在的直线上D.P在线段AC上【解析】选D.由已知,得+=-=,所以=2,故P点在线段AC上.4.已知△ABC和点M满意++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m= ()A.2 B.3 C.4 【解析】选B.由++=0可知,M为△ABC的重心,故=QUOTE×QUOTE(+)=QUOTE(+),所以+=3,即m=3.5.在△OAB中,P为线段AB上的一点,4=3+,且=λ,则 ()A.λ=2 B.λ=3 C.λ=4 【解析】选C.因为4=3+,所以3-3=-,所以3=,3==+=-,所以=4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在△ABC中,=QUOTE,=QUOTE,若=λ+μ,则λ+μ的值为.

【解析】由题意得:=+=+QUOTE=+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE,又=λ+μ,可知:λ+μ=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.已知P是△ABC内一点,=2(+),记△PBC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则QUOTE=.

【解析】如图,设BC中点为M,则=2(+)=4,所以P到BC的距离为点A到BC距离的QUOTE,故QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.(2024·江门高一检测)闻名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同始终线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,则此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.设点O,H分别是△ABC的外心,垂心,且M为BC中点,若+=m+n,则m+n=.

【解析】(特值法)如图所示的Rt△ABC,其中角B为直角,则垂心H与B重合.因为O为△ABC的外心,所以OA=OC,即O为斜边AC的中点,又因为M为BC中点,所以=2,因为M为BC中点,所以+=2=2(+)=2(2+)=4+2=2-4.又因为+=m+n,所以m=2,n=-4,故m+n=-2.答案:-2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点A,B,C在同始终线上,并且=a+b,=(m-2)a+2b,=(n+1)a+3b(其中a,b是两个随意非零向量),试求m,n之间的关系.【解析】=-=(m-3)a+b,=-=na+2b.由A,B,C三点在同始终线上可设=k,则QUOTE所以(m-3)=QUOTEn,即2m-n-6=0为所求.10.点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.【解析】如图:取AB的中点P,连接EP,FP,在△ABC中,因为EP是△ABC的中位线,所以=QUOTE=QUOTEa,在△ABD中,因为FP是△ABD的中位线,所以=QUOTE=-QUOTEb,在△EFP中,=+=-QUOTEa-QUOTEb=-QUOTE(a+b).1.(2024·郑州高一检测)设点O在△ABC的内部,且2+3+4=0,若△ABC的面积是27,则△AOC的面积为 ()A.9 B.8 C.QUOTE D.7【解析】选A.延长OC到D,使得OD=2OC,因为2+3+4=0,所以+QUOTE+2=0,以OA,OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,因为=2,所以+QUOTE+=0,所以=-QUOTE,因为OC∶AE=1∶2,所以OH∶HE=1∶2,所以3=-QUOTE,所以=-QUOTE,所以=QUOTE,所以△AOC的面积是△ABC面积的QUOTE,所以△AOC的面积为9.2.如图所示,点O是梯形ABCD对角线的交点,||=4,||=6,||=2.设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.(1)用a0和b0表示,和.(2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动,且||=2,求||的最大值和最小值.【解析】(1)由题意知=6a0,=2b0,所以=-=6a0-2b0;因为∥,所以=4