2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.18.5.2直线与直线平行直线与平面平行练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE第八章8.58.5.18.5.2A级——基础过关练1．如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能【答案】B【解析】因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC．2．假如两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面 B．平行C．异面 D．平行或异面【答案】D【解析】空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满意两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能【答案】B【解析】因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，明显GH与SA，SC均不平行．故选B．4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有()A．0条 B．1条C．0条或1条 D．多数条【答案】C【解析】过直线a与n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．【答案】平行【解析】因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.6．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①在空间，若两条直线不相交，则它们肯定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，假如a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.【答案】②④【解析】①错，可以异面；②正确，基本领实4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线.(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1【解析】(1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．8．如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连接AC．因为在△ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是△ACD的中位线．所以MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC．由正方体的性质得AC∥A1C1，AC＝A1C1.所以MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1.所以四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB．因为OFeq\f(1,2)B1C1，BEeq\f(1,2)B1C1，所以OFBE.所以四边形OFEB是平行四边形．所以EF∥BO.因为EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1.B级——实力提升练10．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．不确定【答案】A【解析】因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD．因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD．11．过三棱柱ABC-A1B1C1的随意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A．3条 B．4条C．5条 D．6条【答案】D【解析】记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．12．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是()A．E，F，G，H肯定是各边的中点B．G，H肯定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC【答案】D【解析】由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC．13．(多选)如图所示，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法正确的是()A．M，N，P，Q四点共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四边形MNPQ为矩形【答案】ABC【解析】由条件易得MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，所以MQ∥NP.对于A，由MQ∥NP，得M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，依据等角定理，得∠QME＝∠DBC，故B正确；对于C，由等角定理知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，则△BCD∽△MEQ，故C正确；对于D，没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形，故D不正确．14．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．【答案】6【解析】因为E，H分别是空间四边形ABCD中的边AB，DA的中点，所以EH∥BD，且EH＝eq\f(1,2)BD．同理FG∥BD，且FG＝eq\f(1,2)BD．所以EH＝FG＝eq\f(1,2)BD＝1.同理EF＝GH＝eq\f(1,2)AC＝2，所以四边形EFGH的周长为6.15．如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为28cm2，求平行线EH，FG间的距离．解：在△BCD中，因为eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，所以GF∥BD，eq\f(FG,BD)＝eq\f(2,3).因为BD＝6cm，所以FG＝4cm.在△ABD中，因为点E，H分别是AB，AD的中点，所以EH＝eq\f(1,2)BD＝3(cm)．设EH，FG间的距离为dcm，则eq\f(1,2)×(4＋3)·d＝28，所以d＝8.所以EH和FG间的距离为8cm.16．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.证明：因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°.由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF.由于FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC，在▱ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝eq\f(1,2)BC．因此FG∥AM且FG＝AM.所以四边形AFGM为平行四边形．因此GM∥FA．又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，所以GM∥平面ABFE.C级——探究创新练17．如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．(1)证明：∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE∥PC．∵DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，∴DE∥平面BCP.(2)解：∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.∴四边形DEFG为平行四边形．∵PC⊥A