2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课时素养评价含解析新人教A版必修4

PAGE二倍角的正弦、余弦、正切公式(20分钟35分)1.(2024·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角,则 ()A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0 D.sin2α<0【解析】选D.方法一:因为α为第四象限角,所以sinα<0,cosα>0,所以sin2α=2sinαcosα<0,而cos2α=cos2α-sin2α的符号不确定.方法二:因为α为第四象限角,所以2kπ-QUOTE<α<2kπ,k∈Z,所以4kπ-π<2α<4kπ,k∈Z,所以2α为第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上,所以sin2α<0,cos2α的符号不确定.2.(2024·金昌高一检测)sin4QUOTE-cos4QUOTE等于 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.原式==sin2QUOTE-cos2QUOTE=-cosQUOTE=-QUOTE.3.若QUOTE=QUOTE,则cosQUOTE的值为 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以cosα-sinα=QUOTE,平方得1-2cosαsinα=QUOTE,所以sin2α=QUOTE,所以cosQUOTE=sin2α=QUOTE.4.若sinx·tanx<0,则QUOTE等于 ()A.QUOTEsinx B.-QUOTEsinxC.QUOTEcosx D.-QUOTEcosx【解析】选D.因为sinx·tanx<0,所以x为其次或第三象限的角,所以cosx<0,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE|cosx|=-QUOTEcosx.5.(2024·平顶山高一检测)已知α∈QUOTE,sinα=QUOTE,则tan2α=.

【解析】因为α∈QUOTE,sinα=QUOTE,所以cosα=-QUOTE.所以tanα=-QUOTE.所以tan2α=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE6.化简:tan70°cos10°(QUOTEtan20°-1).【解析】原式=QUOTE·cos10°·QUOTE=QUOTE·cos10°·QUOTE=QUOTE·cos10°·QUOTE=-QUOTE·QUOTE=-1.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知a=QUOTE(sin17°+cos17°),b=2cos213°-1,c=QUOTE,则()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c【解析】选A.a=QUOTE(sin17°+cos17°)=sin17°·cos45°+cos17°·sin45°=sin62°,b=2cos213°-1=cos26°=sin64°,c=QUOTE=sin60°,所以c<a<b.2.若△ABC的内角A满意sin2A=QUOTE,则sinA+cosA= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为sin2A=QUOTE,所以2sinAcosA=QUOTE,所以(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=QUOTE,因为0<A<π,所以sinA>0,因为2sinAcosA=QUOTE>0,所以cosA>0,所以sinA+cosA>0,所以sinA+cosA=QUOTE.3.已知cosx=QUOTE,且x∈QUOTE,则QUOTEcosQUOTE+sin2x的值为 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.因为cosx=QUOTE,x∈QUOTE,所以sinx=-QUOTE=-QUOTE,所以sin2x=2sinxcosx=-QUOTE,所以QUOTEcosQUOTE+sin2x=QUOTE+QUOTE=QUOTE-QUOTEsin2x=QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.(2024·大连高一检测)设sinQUOTE=QUOTE,则sin2θ= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.方法一:sinQUOTE=QUOTE,即QUOTE(sinθ+cosθ)=QUOTE,两边平方得QUOTE(1+sin2θ)=QUOTE,所以sin2θ=-QUOTE.方法二:sin2θ=-cosQUOTE=2sin2QUOTE-1=QUOTE-1=-QUOTE.5.(2024·哈尔滨高一检测)化简QUOTE+QUOTE的结果是 ()A.sinQUOTE B.cosQUOTEC.2sinQUOTE-cosQUOTE D.2cosQUOTE-sinQUOTE【解析】选B.原式=QUOTE+QUOTE=cosQUOTE-sinQUOTE+sinQUOTE=cosQUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.QUOTE(2π<α<3π)的化简结果为.

【解析】因为2π<α<3π,所以π<QUOTE<QUOTE,QUOTE<QUOTE<QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2sinQUOTE.答案:2sinQUOTE7.(2024·泰安高一检测)函数f(x)=sinQUOTE-2QUOTE·sin2x的最小正周期是.

【解析】f(x)=sinQUOTE-2QUOTEsin2x=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x-2QUOTE×QUOTE=QUOTEsin2x+QUOTEcos2x-QUOTE=sinQUOTE-QUOTE,故该函数的最小正周期为QUOTE=π.答案:π8.若QUOTE=2020,则QUOTE+tan2α=.

【解析】QUOTE+tan2α=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2020.答案:2020三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知α为其次象限角,且sinα=QUOTE,求QUOTE的值.【解析】原式=QUOTE=QUOTE.因为α为其次象限角,且sinα=QUOTE,所以sinα+cosα≠0,cosα=-QUOTE,所以原式=QUOTE=-QUOTE.10.已知sinQUOTE-2cosQUOTE=0.(1)求tanx的值.(2)求QUOTE的值.【解析】(1)由sinQUOTE-2cosQUOTE=0,知cosQUOTE≠0,所以tanQUOTE=2,所以tanx=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.(2)由(1),知tanx=-QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.1.(2024·嘉祥高一检测)已知α∈QUOTE,且sin2α-sinαcosα-2cos2α=0,则tanQUOTE=.

【解析】因为sin2α-sinαcosα-2cos2α=0,cosα≠0,所以tan2α-tanα-2=0.所以tanα=2或tanα=-1.因为α∈QUOTE,所以tanα=2.所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE2.在△ABC中,设向量m=(sinA,cosB),n=(sinB,cosA)且m∥n,m≠n.(1)求证:A+B=QUOTE.(2)求sinA+sinB的取值范围.(3)若(sinAsinB)x=sinA+sinB,试确定实数x的取值范围.【解析】(1)因为向量m=(sinA,cosB),n=(sinB,cosA)且m∥n,所以sinAcosA-sinBcosB=0,即sin2A=sin2B,解得2A=2B或2A+2B=π,化简可得A=B或A+B=QUOTE,但A=B时有m=n,与已知冲突,故舍去,故有A+B=QUOTE.(2)由(1)可知A+B=QUOTE,故sinA+sinB=sinA+sinQUOTE=sinA+cosA=QUOTEsinQUOTE,因为0<A<QUOTE,所以QUOTE<A+QUOTE<QUOTE,所以1<QUOTEsin