2024-2025学年高考数学一轮复习专题2.3函数的奇偶性与周期性知识点讲解文科版含解析

函数的奇偶性与周期性【核心素养分析】1.结合详细函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和探讨函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会推断、应用简洁函数的周期性.3.培育学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。【重点学问梳理】学问点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称学问点二函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【特殊提示】1.(1)假如一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么肯定有f(0)＝0.(2)假如函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的随意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.【典型题分析】高频考点一函数奇偶性的判定例1．【2024·全国Ⅱ卷文数】设函数f(x)=x3－，则f(x)A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增，故选A。【方法技巧】推断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必需先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)图象法：f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数；f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．【变式探究】【2024·浙江卷】函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]上的图象可能是（）【答案】A【解析】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，，据此可知选项B错误，故选A。高频考点二函数奇偶性的应用例2．【2024·江苏卷】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则的值是．【答案】－4【解析】，因为为奇函数，所以。【方法技巧】与函数奇偶性有关的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，依据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式．由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值．【变式探究】(2024·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.【答案】－3【解析】法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，则f(ln2)＝e－aln2＝8，∴－aln2＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln2)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)))＝－(－eeq\s\up5(alneq\f(1,2)))＝8，∴alneq\f(1,2)＝ln8＝3ln2，∴a＝－3。高频考点三求函数解析式例3.(2024·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1【答案】D【解析】当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1，故选D。【变式探究】若函数f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k＝________.【答案】±1【解析】若函数f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即eq\f(k－2－x,1＋k·2－x)＝－eq\f(k－2x,1＋k·2x)，化简得(k2－1)(22x＋1)＝0，即k2－1＝0，解得k＝±1。高频考点四函数的周期性及其应用例4.(2024·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满意f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50 B.0 C.2 D.50【答案】C【解析】方法一：∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.方法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sineq\f(πx,2)，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.【方法技巧】(1)求解与函数的周期性有关的问题，应依据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)周期函数的图象具有周期性，假如发觉一个函数的图象具有两个对称性(留意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数肯定具有周期性．【变式探究】（2024·安徽安庆一中模拟）设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2－2，－2≤x≤0，,x，0＜x＜1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,4)))))＝________.【答案】eq\f(1,4)【解析】由题意可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(3,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))eq\s\up20(2)－2＝eq\f(1,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\f(1,4).高频考点五函数性质的综合应用例5.（2024·辽宁省育才学校模拟）已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）用定义证明函数在上的单调性；（3）若对随意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1)∵函数的定义域为R，且是奇函数，∴，解得此时，满意，即是奇函数．∴．(2)任取，且，则，，于是即，故函数在上是增函数．（3）由及是奇函数，知又由在上是增函数，得，即对随意的恒成立∵当时，取最小值，∴。【方法技巧】（1）利用奇偶性以及对称性去推断函数的周期时：首先依据奇偶性以及对称性写出对应的函数抽象表达形式，然后联立两个及两个以上的等式得到形如的结构即可求解出周期；（2）充分必要条件的证明：证明的时候分两步走：