2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE6.2平面对量的运算6.2.1向量的加法运算素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解并驾驭向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律.(直观想象)2．会用向量的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和.(直观想象)3．能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算.(数学运算)定义一个量，必定要去探讨其运算特征，发挥运算的力气.对于向量的运算可以类比数的运算，但又要把握向量与数量的不同，借助物理中的位移和力的分解理解向量的运算是学习的关键.必备学问·探新知学问点平面对量的加法运算1．向量加法的定义及运算法则定义求__两个向量和__的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量a，b作法在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝__a＋b__结论向量eq\o(OB,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))图形平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b作法作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.以OA，OB为邻边作□OACB，连接OC，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b结论对角线eq\o(OC,\s\up6(→))就是a与b的和图形规定零向量与任一向量a的和都有a＋0＝__0＋a__＝__a__2．三角不等式：|a＋b|≤__|a|＋|b|__，当且仅当a，b方向相同时等号成立.3．向量加法的运算律运算律结合律a＋b＝__b＋a__交换律(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__关键实力·攻重难题型探究题型一向量的加法及几何意义典例1(1)如图，已知a、b，求作a＋b.(2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c.[分析]用三角形法则或平行四边形法则画图.[解析](1)甲eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b乙eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b(2)作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接着作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b；然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求.作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以OA、OB为邻边作□OADB，连接OD，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.再以OD、OC为邻边作□ODEC，连接OE，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即为所求.[归纳提升]三角形法则与平行四边形法则的区分与联系区分：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”.(2)三角形法则适用于全部的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：平行四边形法则与三角形法则在本质上是一样的.这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决详细问题时视状况而定.【对点练习】❶如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和.[解析]如下图中(1)、(2)所示，首先作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.题型二向量加法运算律的应用典例2化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)).[分析]首先依据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和.[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0．[归纳提升]向量运算中化简的两种方法：(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最终一个向量终点的向量.有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.(2)几何法：通过作图，依据三角形法则或平行四边形法则化简.【对点练习】❷如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝__eq\o(AC,\s\up6(→))__；(2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝__eq\o(AB,\s\up6(→))__；(3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝__eq\o(AC,\s\up6(→))__.[解析]由已知可得四边形DFCB是平行四边形.(1)易知eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).由三角形法则得：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)易知eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).题型三向量加法的实际应用典例3在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.[分析]解答本题首先正确画出方位图，再依据图形借助于向量求解.[解析]如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km.则飞机飞行的路程指的是|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|；两次飞行的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).依题意，有|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝800＋800＝1600(km).又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(BC,\s\up6(→))|2)＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km).其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800eq\[归纳提升]应用向量解决平面几何问题的基本步骤【对点练习】❸如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽视不计).[解析]如图，设eq\o(CE,\s\up6(→))、eq\o(CF,\s\up6(→))分别表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up6(→))表示，则eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→)).易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，∴|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3).|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5．∴A处所受的力的大小为5eq\r(3)N，B处所受的力的大小为5N.易错警示对不等式|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立条件理解不清致误典例4若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，则(D)A．a，b同向共线B．a，b反向共线C．a，b同向共线且|b|>|a|D．a，b反向共线且|b|>|a|[错解]B[辨析]错解只考虑了向量的方向，但没有留意到其模的大小关系.[正解]由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|，故