2024-2025学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间两点间的距离公式课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(十九)空间两点间的距离公式(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则()A．|AB|＞|CD| B．|AB|＜|CD|C．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD|D[∵|AB|＝eq\r(1－32＋2－32＋3－m2)＝eq\r(5＋3－m2)≥eq\r(5)，|CD|＝eq\r(0－22＋－1＋12＋0＋12)＝eq\r(5)，∴|AB|≥|CD|．]2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为()A．eq\r(2)aB．eq\f(\r(2),2)aC．aD．eq\f(1,2)a[答案]B3．已知三角形的三个顶点A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则△ABC的中线AD的长为()A．eq\r(11)B．2eq\r(11)C．11eq\r(2)D．3eq\r(11)B[由中点坐标公式得，D(4，1，－2)，所以AD＝eq\r((4－2)2＋[1－(－1)]2＋(－2－4)2)＝2eq\r(11)．]4．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)两点，当|AB|取最小值时，x的值为()A．19B．－eq\f(8,7)C．eq\f(8,7)D．eq\f(19,14)C[∵|AB|＝eq\r(x－12＋5－x－x－22＋2x－1－2＋x2)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))\s\up12(2)＋\f(5,7))．∴当x＝eq\f(8,7)时，|AB|取得最小值．]5．设点P在x轴上，它到P1(0，eq\r(2)，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为()A．(1，0，0) B．(－1，0，0)C．(1，0，0)或(0，－1，0) D．(1，0，0)或(－1，0，0)D[∵点P在x轴上，∴设点P(x，0，0)，由题意|PP1|＝2|PP2|，∴eq\r(x－02＋0－\r(2)2＋0－32)＝2eq\r(x－02＋0－12＋0＋12)，解得x＝±1．]二、填空题6．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和B(2，－1，6)的距离是_______．eq\r(86)[|AB|＝eq\r(－3－22＋4＋12＋0－62)＝eq\r(86)．]7．已知A(1，1，1)，B(3，3，3)，点P在y轴上且|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．(0，6，0)[设P(0，y，0)，∵|PA|＝|PB|，∴eq\r(1＋1－y2＋1)＝eq\r(32＋3－y2＋32)，解得y＝6．∴P点坐标为(0，6，0)．]8．已知A(3，5，－7)和点B(－2，4，3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影长度为________．eq\r(101)[∵A(3，5，－7)在平面yOz上的射影为A′(0，5，－7)，B(－2，4，3)在平面yOz上的射影为B′(0，4，3)，∴|A′B′|＝eq\r(0－02＋5－42＋－7－32)＝eq\r(101)．]三、解答题9．如图，在棱长分别为2，4，3的长方体ABCD­A1B1C1D1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长．[解]以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，∴|AD1|＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，|AB1|＝eq\r(2－22＋42＋32)＝5，|AC1|＝eq\r(2－02＋－42＋－32)＝eq\r(29)．10．求点M(4，－3，5)到x轴的距离．[解]设MH⊥x轴于H，则Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0，0))，所以点M到x轴的距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MH))＝eq\r((4－4)2＋(－3－0)2＋(5－0)2)＝eq\r(34)．11．已知三点A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，则()A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．三点构不成三角形C[因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＝49，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))2＝98，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CA))2＝49，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CA))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))2，且|AB|＝|CA|，所以这三点构成等腰直角三角形．]12．已知A(－4，2，3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于()A．8B．12C．16D．19A[依题意A1(－4，－2，3)，A2(4，2，3)，所以|AA2|＝eq\r(－4－42＋2－22＋3－32)＝8．]13．(多选题)在空间直角坐标系中，下列说法正确的是()A．方程z＝0表示坐标平面xOyB．方程x2＋y2＋z2＝1表示以坐标原点为球心，1为半径的球面C．方程x2＋y2＝1表示以坐标原点为圆心，1为半径的面D．方程x2＋y2＝0表示z轴[答案]ABD14．(一题两空)点P(x，y，z)的坐标满意x2＋y2＋z2＝1，点A(－2，3，eq\r(3))，则|PA|的最小值是________，|PA|的最大值是________．35[因为x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，|OA|＝eq\r(－22＋32＋\r(3)2)＝4．所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))min＝|OA|－|OP|＝4－1＝3，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))max＝|OA|＋|OP|＝4＋1＝5．]15．已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|．[解]∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1．以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直