2024-2025学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数的乘方与除法运算课时素养评价含解析苏教版选修2-2

PAGE课时素养评价十二复数的乘方与除法运算(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2024·新高考全国Ⅰ卷)QUOTE= ()A.1 B.-1 C.i D.-i【解析】选D.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-i.2.若将复数QUOTE表示为a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式,则a+b= ()A.0 B.1 C.2 【解析】选B.因为QUOTE=QUOTE=i,QUOTE=a+bi,所以a=0,b=1,所以a+b=1.3.若z2+z+1=0,则z2017+z2018+z2020+z2021的值为 ()A.2 B.-2C.-QUOTE+QUOTEi D.-QUOTE±QUOTEi【解析】选B.因为z2+z+1=0,两边同乘(z-1),得z3-1=0,所以z3=1(z≠1),则z4=z,z2017=(z3)672·z=z,于是原式=z2017(1+z+z3+z4)=z(1+z+1+z)=z(2+2z)=2(z+z2)=-2.4.已知QUOTE=1+i(i为虚数单位),则复数z等于 ()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【解析】选D.由题意,得z=QUOTE=QUOTE=-1-i.5.已知复数z满意:(1-i)z=4+2i(i为虚数单位),则z的虚部为 ()A.1 B.3 C.3i 【解析】选B.因为(1-i)·z=4+2i,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1+3i,所以虚部为3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知i为虚数单位,若复数z=QUOTE+i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,则a=____________;QUOTE=____________.

【解析】z=QUOTE+i=QUOTE+i=QUOTE+QUOTEi,因为复数z=QUOTE+i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,所以-QUOTE=QUOTE,解得a=-QUOTE.z=-QUOTE+QUOTEi,所以QUOTE=-QUOTE-QUOTEi.答案:-QUOTE-QUOTE-QUOTEi7.已知复数z=QUOTE,则z·QUOTE=____________.

【解析】z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE-QUOTE,于是z·QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.设a是实数,且QUOTE∈R,则实数a=_______________.

【解析】因为QUOTE∈R,所以不妨设QUOTE=x,x∈R,则1+ai=(1+i)x=x+xi,所以有QUOTE所以a=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.计算下列各题:(1)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).(2)QUOTE+5+i2-QUOTE.(3)QUOTE(QUOTE+QUOTEi)5+QUOTE+QUOTE.【解析】(1)原式=2(4-i)(3-i)+(7-i)(4-3i)=2(12-3i-4i+i2)+(28-4i-21i+3i2)=2(11-7i)+25(1-i)=47-39i.(2)原式=QUOTE+5+i2-QUOTE=i+5-1-i=i+4-i=4.(3)原式=-i·(QUOTE)5·[(1+i)2]2·(1+i)+QUOTE+i7=16QUOTE(-1+i)-QUOTE-i=-QUOTE+(16QUOTE-1)i.10.复数z=QUOTE,若z2+QUOTE<0,求纯虚数a.【解析】z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i.因为a为纯虚数,所以可设a=mi(m≠0),则z2+QUOTE=(1-i)2+QUOTE=-2i+QUOTE=-QUOTE+QUOTEi<0,所以QUOTE解得m=4,所以a=4i.(20分钟·40分)1.(2024·全国Ⅱ卷)(1-i)4= ()A.-4 B.4C.-4i D.4i【解析】选A.(1-i)4=QUOTE=QUOTE=(-2i)2=-4.2.(5分)定义运算QUOTE=ad-bc,则符合条件QUOTE=4+2i的复数z=()A.3+i B.3-iC.1+3i D.-1+3i【解析】选B.由定义知zi+z=4+2i,所以z=QUOTE=QUOTE=3-i.3.(5分)已知复数z=QUOTE是纯虚数,则θ=_______________.

【解析】QUOTE=(tanθ-QUOTE)+i,因为z=QUOTE是纯虚数,所以tanθ-QUOTE=0,所以θ=kπ+QUOTE(k∈Z).答案:kπ+QUOTE(k∈Z)4.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满意zi=1+i,则z2=____________.

【解析】因为zi=1+i,所以z=QUOTE=QUOTE+1=1-i.所以z2=(1-i)2=1+i2-2i=-2i.答案:-2i5.(10分)计算:(1)QUOTE.(2)QUOTE+QUOTE.【解析】(1)QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)原式=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=i+i=2i.6.(10分)已知z2=8+6i,求z3-16z-QUOTE.【解题指南】要求z3-16z-QUOTE的值,应先求出复数z,再代入求解.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi=8+6i,所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE当z=3+i时,z3-16z-QUOTE=(z2-16)z-QUOTE=(-8+6i)(3+i)-QUOTE=-30+10i-30+10i=-60