工程数学 课件 第2章 矩阵

第2章

矩阵第1节

矩阵的概念第2节

矩阵的运算第3节

逆矩阵第4节

矩阵的初等变换及其应用第5节

矩阵的秩

第1节矩阵的概念

一、矩阵的概念

引例2.1若有甲、乙、丙三家公司，在一段时期内，这三家公司的成本明细如表2.1所示。

定义2.1由m×n个数aij(i=1,2，…，m；j=1,2，…，n)组成一个m行n列的矩形数表，称其为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。

矩阵常用大写字母A,B,C,…表示，记作

其中aij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)称为矩阵A的元素。m×n矩阵A也可记为A=(aij)m×n或者Am×n。

二、几种特殊的矩阵

以下列举出几种特殊的矩阵。

(1)零矩阵：所有元素都是零的矩阵。记作0或者0m×n。

(2)行矩阵和列矩阵：只有一行元素的矩阵称为行矩阵(行向量)；只有一列元素的矩阵称为列矩阵(列向量)。例如

(3)负矩阵：矩阵A的负矩阵就是矩阵A的所有元素都取相反数，记为-A。

(4)n阶方阵：行数m等于列数n的矩阵称为n阶方阵，即n×n矩阵或n×n方阵。

(5)主对角线以下(上)元素全为零的方阵称为上(下)三角形矩阵。

(6)除了主对角线上的元素以外，其余元素全为零的矩阵称为对角矩阵。

(7)主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵。

(8)主对角线上的元素全为1的数量矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记作En或In。

第2节矩阵的运算

一、矩阵相等设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，则由矩阵相等的定义可以看出，矩阵A与矩阵B相等当且仅当A与B的行、列、对应元素都相等。

二、矩阵加法

定义2.2已知两个m×n矩阵A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，将对应的元素相加得到一个新的m×n矩阵称为矩阵A与B的和，记作A+B=aij+(bij)m×n。

矩阵加法满足如下的运算规律：

(1)交换律：A+B=B+A；

(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；

(3)存在零矩阵：对任何矩阵A，都有A+0=A。

三、数乘矩阵

定义2.3已知数k和一个m×n矩阵A=(aij)m×n，将数k乘以矩阵A中的每一个元素，所得到的一个新的m×n矩阵称为数k与矩阵A的乘积，记作kA=(kaij

)

m×n。

四、矩阵乘法

先看一个实际的例子。

某钢铁生产企业7-9月份的生产原料：铁矿石、焦炭、无烟煤的用量(吨)用矩阵A表示，三种原料的费用(元)用矩阵B表示。

五、矩阵转置

定义2.5已知m×n矩阵

将矩阵A的行变成相应的列，得到新的n×m矩阵，称它为A的转置矩阵，记作

如果A是一个n阶方阵，且AΤ=A，则称矩阵A为n阶对称矩阵。

可以证明，矩阵的转置有如下性质：

(1)(A+B)T=AT+BT；

(2)(AT)T=A；

(3)(kA)T=kAT(k为常数)；

(4)(AB)T=BTAT。

六、方阵的行列式

定义2.6已知n阶方阵将构成n阶方

阵的n2个元素按照原来的顺序作一个n阶行列式，这个n阶行列式称为n阶方阵A的行列式，记作

第3节逆矩阵一、逆矩阵的概念及性质1.逆矩阵的概念定义2.8已知n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称n阶方阵A可逆，并称n阶方阵B是A的逆矩阵，记作A-1=B。由定义可知，矩阵A和它的逆矩阵B都是可逆的，并且A-1=B，B-1=A。注(1)可逆矩阵的逆是唯一的；(2)由于E·E=E，故单位矩阵E是可逆的，且E-1=E。

二、可逆矩阵的判定及求法

1.可逆矩阵的判定

定理2.1

n阶方阵可逆的充分必要条件是A≠0.

定义2.9如果n阶矩阵A的行列式A≠0，则称其为非奇异矩阵；如果A=0，则称其为奇异矩阵。

所以矩阵A不可逆。

第4节矩阵的初等变换及其应用

一、矩阵的初等变换定义2.10矩阵的初等行变换是指对矩阵施行如下三种变换：(1)对换变换：交换矩阵的两行(ri↔rj)；(2)倍乘变换：用非零数k乘以矩阵的某一行(kri)；(3)倍加变换：把矩阵的某一行乘以数k后加到另一行上去(ri+krj)。

把定义2.8中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(所用的记号是把“r”换成“c”)。

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。如果矩阵A经有限次的初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A~B。

矩阵之间的等价关系具有下面的性质：

(1)反身性：A~A；

(2)对称性：若A~B，则B~A；

(3)传递性：若A~B，B~C，则A~C。

二、阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵

定义2.11满足以下条件的矩阵称为阶梯形矩阵：

(1)各非零行的第一个非零元素(称为该行的首非零元)所在的列标随着行标的增大而严格增大，即矩阵中每一行首非零元素必在上一行首非零元的右下方；

(2)当有零行时，零行在非零行的下方。

定义2.12满足以下条件的阶梯形矩阵称为简化阶梯形矩阵：

(1)各非零行的首非零元素都是1；

(2)各非零行首非零元素所在列的其他元素全为零。

定理2.3任何非零矩阵A经过一系列初等行变换可化成阶梯形矩阵，再经过一系列初等行变换可化成简化阶梯形矩阵。

如何将矩阵化为阶梯形和简化阶梯形矩阵?常常按下面的步骤进行：

(1)让矩阵最左上角的元素，通常是(1，1)元变为1(或便于计算的其他数)；

(2)把第1行的若干倍加到下面各行，让(1，1)元下方的元素都化为零；如果变换的过程中出现零行，就将它换到最下面；

(3)重复上面的做法，把(2，2)元下方的各元素都化为零，直到下面各行都是零行为止，得到阶梯形矩阵；

(4)然后从最下面的一个首元开始，依次将各首元上方的元素化为零。

三、初等矩阵

定义2.13单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。

三种初等变换得到如下的三种初等矩阵：

(1)初等互换矩阵E(i，j)：交换单位矩阵E的第i行和第j行；

(2)初等倍乘矩阵E(i(k))：用非零数k乘以单位矩阵E的第i行；

(3)初等倍加矩阵E(i，j(k))：把单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行。

初等矩阵的行列式都不为零，因此都可逆：

定理2.4设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于用同种类型的初等矩阵左乘A；对A施行一次初等列变换相当于用同种类型的初等矩阵右乘A。

定理2.5设A是一个m×n

矩阵，那么存在m阶初等矩阵P1，…，Ps和n阶初等矩阵Q1，…，Qt，使得

推论2.1如果A和B都是m×n矩阵，那么A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P

和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。

推论2.2可逆矩阵与单位矩阵等价。

推论2.3可逆矩阵可以表示成若干个初等矩阵的乘积。

四、初等变换求逆

设A是n阶可逆矩阵，那么其逆A-1也是可逆矩阵.根据推论2.3，存在初等矩阵P1，…，Ps使A-1=P1P2…Ps，即

式(2.1)两边同时右乘A可变成

根据定理2.2，式(2.2)表示对A施行s次初等行变换，可以把A化为单位矩阵E，式(2.1)表示经过同样的初等变换可以把E化为A-1。那么我们作一个n×2n的矩阵(A，E)，对其仅作初等行变换(这时A和E作了相同的初等行变换)，当A的部分化为E时，E的部分就化成了A-1。

这种方法称为初等变换法求逆：.

还可以用同样的方法求

在以上求逆和A-1B的运算中，不可以作初等列变换!但是可以通过初等列变换求逆和求BA-1：

例2.17用初等行变换求矩阵方程AX+B=X的解X，其中

解将方程变形为X-AX=B，即(E-A)X=B，故X=(E-A)-1B.由于

且|E-A|≠0，则

所以

所以

或者写成

因此

如果AX=B中的B是一个列矩阵，那么AX=B是一个线性方程组.也就是A可逆时，可以用这种方法求解线性方程组。

注逆矩阵的计算方法有初等变换和伴随矩阵两种，初等变换法为基本方法，四阶以上的矩阵一般用初等变换法。

第5节矩阵的秩

一、矩阵秩的定义及性质1.矩阵秩的定义定义2.14从矩阵Am×n中任取k行和k列，用交叉位置上的元素并且保持相对位置不变，组成的k阶行列式称为矩阵的一个k阶子式。

注意(1)子式不是矩阵而是行列式，每个子式都有一个值；

(2)k阶子式有CkmCkn个；

(3)当所有k阶子式都等于零时，k+1及以上阶数的子式都等于零；

(4)Am×n的子式的最高阶数为min(m,n)。

根据定义求矩阵Am×n的秩的方法如下：

(1)从小到大：如果有一个1阶子式不等于零，就考察2阶子式；如果有一个2阶子式不等于零，就考察3阶子式；……，直到发现所有r阶子式都等于零为止，得到r(A)=r-1。

(2)从大到小：如果有一个N=min(m,n)阶子式不等于零，那么r(A)=N；如果所有的N阶子式都等于零，就考察N-1阶子式；如果所有的N-1阶子式都等于零，就考察N-2阶子式；……，直到找到一个不为零的子式为止，这个子式的阶数r就是矩阵的秩，即r(A)=r。

2.矩阵的性质

(1)矩阵的秩是唯一的；

(2)r

(Am×n

)≤min(m，n)；

(3)r(A)=r(AT)，r(kA)=r(A)(k≠0)。

二、初等变换求矩阵的秩

定理2.6如果A~B，那么