6年高考4年模拟-第八章空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积 点、线、面的位置关系

立体几何

第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

第一部分六年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.(2010全国卷2理)(9)已知正四棱锥S—ABC。中，SA=2yf3,那么当该棱锥的体

积最大时，它的高为

(A)1(B)百(C)2(D)3

【答案】C

【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.

h=JSA--(-^¥=产，

【解析】设底面边长为a,则高V-Y-所以体积

:

V=-a"h=—A/12a"--a

33\2,

v=12a二——a:-§

3

设.2,则-3a-，当y取最值时，v=48a--3a=0,解得a=0或a=4

h=J12-=2

时，体积最大，此时V-,故选C.

2.(2010陕西文)8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几寺已、

何体的体积是[B]±««左树园

口

(A)2(B)1

(C)-(D)-

33

【答案】B

解析：本题考查立体图形三视图及体积公式

如图，该立体图形为直三棱柱

所以其体积为LxlxJ^x五=1

•>

2

3.（2010辽宁文）（11）已知S,A,6,C是球。表面上的点，%，平面ABC,ABVBC,

SA=AB=\,BC=血，则球。的表面积等于

(A)4乃(B)37(C)27(D)71

【答案】A

【解析】选A.由己知，球。的直径为2R=SC=2,.•.表面积为4万/?2=4加

4.（2010安徽文）（9）一个几何体的三视图如图，该几

何体的表面积是

（A）372（B）360

（C）292（D）280

【答案】B

【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等

于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之

和。

S=2(10x8+10x2+8x2)+2(6x8+8x2)=360.

【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体

的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积

加上面长方体的4个侧面积之和。

5.（2010重庆文）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点

（A）只有1个（B）恰有3个

（C）恰有4个（D）有无穷多个

【答案】D

【解析】放在正方体中研究,显然，线段OQ、EF、

FG、GH、

HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，

所以排除A、B、C,选D

亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、

CD的距离相等

6.（2010浙江文）（8）若某几何体的三视图（单位:

cm）如图所示，则此几何体的体积是

352

(A)---cm3

3

320

(B)---cm3

3

224

(C)---cm3

3

1603

(D)---cm

3

【答案】B

【解析】选B,本题主要考察了对三视图所表达示的空间儿何体的识别以及几何体体积的

计算，属容易题

7.（2010北京文）（8）如图，正方体ABCD-A|B|GD的棱长为

2,动点E、F在棱A|B|上。点Q是CD的中点，动点

P在棱AD上，若EF=1,DP=x,A|E=y（x,y大于零），

则三棱锥P-EFQ的体积：

（A）与x,y都有关；（B）与x,y都无关；

（C）与x有关，与y无关；（D）与y有关，与x无关:

【答案】C

8.（2010北京文）（5）一个长方体去掉一个小长方体,察触柯伊的

正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该

集合体的俯视图为：

答案：C

9.（2010北京理）（8）如图，正方体ABCD-44GA的棱长为

1(1)0岫册

2,动点E、F在棱A#上，动点P,Q分别在棱AD,CD±,若EF=1,&E=x,DQ=y,DP

=z（x,y,z大于零），则四面体PEFQ的体积

（A）与x,y,z都有关

（B）与x有关，与y,z无关

（C）与y有关，与x,z无关

（D）与z有关，与x,y无关

【答案】D

10.（2010北京理）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几

何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何

体的俯视图为

【答案】C

11.（2010广东理）6.如图1,△ABC为三角形，//CC,CC，平面

3

ABC且3AA'=-33'=CC'=AB,则多面体AABC-A'B'C'的正视图（也称主视图）是

2

【答案】D

12.（2010广东文）

9.如图，夫正三角形，平面且，则多面体的正视图，也称主视图）是

13.（2010福建文）3.若一个底面是正三角形的三棱柱

的正视图如图所示，则其侧面积等于（）

A.V3B.2

C.20D.6

【答案】D第3题图

【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2,高为1的正三棱柱，所以底面积为

2x—X4=2A/3,侧面积为3x2xl=6,选D.

4

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基

本能力。

14.（2010全国卷1文）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,

则四面体ABCD的体积的最大值为

,、2百，、4G,、.二,、86

（A）-^―（B）^^（02V3（D）

333

【答案】B

【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这

个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD,使AB_L平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为〃，则有

%m*ABCD=§x2xQx2x〃=§〃，当直径通过AB与CD的中点时，曦=2五-f=2也，

故Knax=~

二、填空题

1.（2010上海文）6.已知四棱椎P-ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱24_1底

面ABC。，且PA=8,则该四棱椎的体积是0

【答案】96

【解析】考查棱锥体积公式V=1x36x8=96

3

2.（2010湖南文）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm?的几何体的三视图，则

【答案】4

3.（2010浙江理）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积

是cm3.

解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中

所给公式计算得体积为144,本题主要考察了对三视图所表达

示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题

俯视图

（第121S）

4.(2010辽宁文)(16)如图，网格纸的小正方形的边长是1,在其上用

粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的

长为.

解析：填2g画出直观图：图中四棱锥P-A3CD即是，P

所以最长的一条棱的长为=

5.(2010辽宁理)(15)如图，网格纸的小正方形的边长是1,

在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的

一条棱的长为.

【答案】2乖)

【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题,

考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。

【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方

形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长

为屈+爱+*=20

6.(2010天津文)(12)一个几何体的三视图如图所示，则这

个几何体的体积为。

【答案】3

【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算,

属于容易题。

由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图

可知该几何体的高为1,结合三个试图可知该几何体是底面为

直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为

-(l+2)x2xl=3

2

【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可

以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3,宽为2,高为1的长

方体的一半。

7.（2010天津理）（12）一个几何体的三视图如图所

示，则这个几何体的体积为

【答案】—

3

【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体

积的计算，属于容易题。

由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1,高为2

的正四棱柱与一个底面边长为2,高为1的正四棱锥

组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2,正四棱锥

14

的体积为一x4xl=—,所以该几何体的体积V=2+

33

4_10

5-T

【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状,结合正视图与侧视图便可得到几何

体的形状，求锥体体积时不要丢掉!哦。

3

三、解答题

1.（2010上海文）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分7分，第2

小题满分7分.

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩

形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱

的侧面和下底面（不安装上底面）.

（D当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该

最大值（结果精确到0.01平方米）；

（2）若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作

出

用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.

解析：（1）设圆柱形灯笼的母线长为1,则7=1.2-2r（0<K0.6）,

负-3%（广0.4）=0.48万，

所以当10.4时，S取得最大值约为1.51平方米；

（2）当眸0.3时，1=0.6,作三视图略.

2.（2010陕西文）18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥人月犯9中，底面力四是矩形为，平面48（刃，A六AB,BABC=2,E,F分

别是做阳的中点.

（I）证明：比'〃平面必〃；

（H）求三棱锥〜的体积V.

解（1）在4外，中，E,尸分别是阳，PC的中点，：.EF〃BC.

又BC//AD,J.EF//AD,

又平面PAD,ERZ平面PAD,

...哥'〃平面PAD.

(II)连接AE,AC,EC,过£•作EG//PA交AB于点G,

则比，平面ABCD,且EG=-PA.

2

在△必6中，AD=AB,NPA万,BP=2,：.AP=AB=\[1,EG-

SAXM—AB,BC^—X,\/2X2=>/2,

22

VEA/£-—S&VIC,EG=—Xy/2,X——.

3323

3.（2010安徽文）19.（本小题满分13分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2,EF〃AB,EF_LFB,ZBFC=90°,

BF=FC,H为BC的中点,

（I）求证：FH〃平面EDB;

（II）求证：AC,平面EDB;

（III）求四面体B—DEF的体积;

【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、

面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础

第（19）题图

知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

【解题指导】（1）设底面对角线交点为G,则可以通过证明EG〃FH,得FH〃平面EDB；

（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FHL平面ABCD,得FHLBC,EH1AC,进而

得EG_LAC,AC_L平面互归；（3）证明BF_L平面CDEF,得BF为四面体B-DEF的高，进

而求体积.

⑴证：设AC与8。交于点G,则G为4。勺中点，连EG,GH,由于”为8C的中点，故

又EF//LAB,.•.四边形EFGU为平行四边形

=2

EGHFH,而EGu平面皮＞8二FH//平面EDB

（□）证：由四边形ABCD为正方形，有AB_LBC。

又EF//AB,EF1BCo而EF1FB,EF平面8月G,.:EFLFH

又BF=FG,玄为8期中点，二阳_LBC.

FH_L平面3s

FH_LAC又FH11EG,AC_L总工又4c_LBD,EGcBD=G

AC_L平面即8,

（III）解:•:邯工FB/BFC=90。BF_L平面CD郎.

仍为四面体8-%漱高，又BC=AB=2,:.BF=FC=^

七3F=g*；*l*点*应=；.

【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线

面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证

明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积.

4.（2010四川理）（18）（本小题满分12分）已知正方体/Ml/S的棱长为1,点

〃是棱AA'的中点，点0是对角线BD的中点.

（I）求证：（2M为异面直线AA和BD的公垂线;

（II）求二面角M-BC—B的大小；

（III）求三棱锥M一咏的体积.

本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识,

并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法一：(1)连结4G取/C中点｛，则/为劭的中点，连结加

因为M是棱44'的中点，点0是加'的中点

所以AMJ/LDDMOK

=2=

所以加幺AK由加'VAK,得

因为AKLBD,AK_LBB',所以4(1平面99'B'

所以/AL切'

所以MOVBD'

又因为01/是异面直线加'和府都相交故做为异面直线A4'和加的公垂线

(2)取做'中点M连结,底则称比平面比TB,

过点N作八心功于〃，连结,以

则由三垂线定理得MLMH

从而，/股W为二面角加g­ff的平面角

1V2

,如M,帏Bnsi破5°

2'~r4

在RtAMNH中,tanZM册竺-=2=•=272故二面角M-BC-ff的大小为arctan2叵

NHV2

彳

(3)易知，S区后S4Ma,且△咏和△〃'D'都在平面比加A,内

点〃到平面物‘D'距离方=L

2

=

VffOBC=Vu0,f。=VoUA'ff_L5A.<M'"h=--

324

解法二：

以点〃为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系介xyz

则4(1,0,0),6(1,1,0),以0,1,0),4(1,0,1),(7(0,1,1),〃’(0,0,1)

(1)因为点"是棱44’的中点，点。是仍’的中点

所以“(1,0,—),。(一,—,一)

2222

OM=(-,--,Q),A4'=(0,0,1),BD'=(-1,-1,1)

22

11

OM.AA'=0,OM,BD'=——+-+0=0所以。归_加'，。忆做'

22

又因为〃”与异面直线AA,和Bff都相交

故为异面直线AA,和BD的公垂线.........................4分

(2)设平面BMC的一个法向量为4=(x,y,z)

8"=(0,T,-),BC'=(-1,O,1)

2

1

nrBM=Q-y+-z=0

即《2

%.BC'=0—x+z=0

取z=2,则x=2,y=l,从而4=(2,1,2)

取平面加后的一个法向量为“=(0,1,0)

勺吗1_1

COS<〃J,〃2>=

|*|“2「瓦

由图可知，二面角炉%-月的平面角为锐角

故二面角M-BC-E的大小为arccos-.......................................................................9分

3

(3)易知，SNOBC=-S&KDX=—=——

444

设平面戚的一个法向量为〃3=(小,0,zj

=1),BC=(-1,0,0)

4・80'=0即1—X1_y+z=0

%・BC=01一玉=0

取％=1,得力=1,从而4=(0,1,1)

点M到平面断1的距离d=皿9=,=也%

|%|V24

1c,1V2V21

-•d=—••=—12分

3A°BC34424

2009年高考题

一、选择题

1.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.

c2百4兀+空

A.2乃+2GB.47+26C.27cH-----D.

【解析】：该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,

圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2〃,四棱锥的底面

边长为、历，高为6,

所以体积为:x（夜『乂百二寺

所以该几何体的体积为2兀+”.侧（左）视图

3

答案:C

【命题立意】：本题考查了立体几何中的空间想象能力,

由三视图能够想象得到空间的立体图，并能准确地

计算出.几何体的体积.

2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c,"）为

(A)48+120(B)48+24及(C)36+1272(D)36+24及

3.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比

为

(A)1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2

TTYI

4.在区间［-1,1］上随机取一个数x,cos—的值介于0到一之间的概率为().

22

1212

A.—B.—C.-D.一

3万23

7TTTYTT

【解析】：在区间［-1,1］上随机取一个数X,即1,1］时，一一<—<一,.•.

222

0<cos—<1

2

区间长度为1,而cos二的值介于0到，之间的区间长度为L,所以概率为'.故选C

2222

答案C

【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题，由自变量x的取值范围,得到函

数值COS空7TY的范围，再由长度型几何概型求得.

2

5.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为则该集合体

2

的俯视图可以是

7

AVC

答案:C

6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方

体

的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标的面的方位

是

A.南B.北

C.西D.下

解：展、折问题。易判断选B

7.如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，

ZABC=90°,BA=BC,

球心。到平面ABC的距离是逆，则8、C两点的球面距离是

2

471一一4万八

A.—B.71C.D.2乃

33

答案B

8.若正方体的棱长为血，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

答案C

9,如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长

为4,且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（）

答案B

二、填空题

10..图是一个几何体的三视图，若它的体积是36,则2=

答案V3

11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3百，则

△

恻视图

俯视图

12.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是.cm3.

答案18

【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为Ix3x3=9,上面的长方体体积为

3x3xl=9,因此其几何体的体积为18

13.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

答案4

14.直三棱柱ABC-AgG的各顶点都在同一球面上，若

A6=AC=A4,=2,ABAC=120°,则此球的表面积等于。

解:在AABC中A3=AC=2,ABAC=120°，可得BC=273，由正弦定理，可得A4BC

外接圆半径r=2,设此圆圆心为O,球心为。，在RTAO8O'中，易得球半径R=百，

故此球的表面积为4万R2=20%.

15.正三棱柱ABC-A4G内接于半径为2的球，若两点的球面距离为万，则正三

棱

柱的体积为.

答案8

16.体积为8的一个正方体，其全面积与球。的表面积相等，则球。的体积等

于.

内6Sx[b7r

答案——

n

17.如图球O的半径为2,圆01是一小圆，QO=0,A、B

24

是圆01上两点，若A,B两点间的球面距离为彳，则乙4。乃=;

冗

答案2

18.已知三个球的半径/?,.R”R3满足/?,+2&=3&，则它们的表面积5,,S2,S3,

满足的等量关系是.

较案+2jS?=3^5j"

19.若球0kCh表示面积之比且=4,则它们的半径之比用=___________.

52&

答案2

三、解答题

20.（本小题满分13分）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥

P-EFGH,下半部分是长方体A6CD-£FG”。图5、图6分别是该标识墩的正

（主）视图和俯视图。

（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（2）求该安全标识墩的体积；

（3）证明：直线_L平面PEG.

【解析】（1）侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为：y=VP-EFGH=yABCD-EFGH

2

=！X4()2X60+40X20=32000+32000=64000(ci

3v

(3)如图，连结EG,HF及BD,EG与HF相交于O,连结PO.

由正四棱锥的性质可知,PO_L平面EFGH,:.PO±HF

又EG工HFHF±平面PEG

又BDPHF平面PEG；

A

2005—2008年高考题

一、选择题

1.（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示AB,C分别是△GHZ三边的中点）

得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）

图1图2

答案A

2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为近，在该几何体的正视图中，这条棱的

投影是长为指的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a

和b的线段，贝的最大值为（）

A.272B.2百C.4D.2也

答案C

【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图

设长方体的高宽高分别为m,”,左，由题意得

\lrrT+n2+k2=V7,yjm2+k2=瓜=>/?=1

Jl+公=a,Vl+m2=b,所以（/—1）+（尸—1）=6

=>4z2+h2=8,［（a+0）2=a2+2ab+b2=8+2ab<S+a2+b2=16

=a+〃K4当且仅当a=b=2时取等号。

3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

A.9nB.lOn

C.llnD.12元

2

俯视图正（主演图侧cm图

答案D

【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一

个圆柱组合而成的，其表面及为

S=4^-xl2+^-xl2x2+2»xlx3=12万.

3.（2007宁夏理・8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,

可得这个几何体的体积是（）

—20—►<—20-►

正视图侧视图俯视图

A.4。。。cn?B.80°Qcn?C.2000cm3D.4000cm?

33

答案B

4.（2007陕西理・6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三

个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）

A3石R后「石n百

A.----D.----C.----u.----

43412

答案B

5.（2006安徽）表面积为2省的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体

积为

・&n1c2c2VI

A.-----71B.-71C.-71D.------7t

3333

答案A

£72

【解析】此正八面体是每个面的边长均为。的正三角形，所以由8乂上二=2若知，

4

a=l,则此球的直径为0,故选A。

6（2006福建）已知正方体外接球的体积是3二2九，那么正方体的棱长等于（）

3

A.2V2B.空C.逑D.迪

333

答案D

【解析】正方体外接球的体积是3丝2力,则外接球的半径R=2,正方体的对角线的长为4,

3

473

棱长等于空巳，选D.

3

7.（2006湖南卷）过半径为2的球。表面上一点A作球。的截面，若04与该截面所成

的角是60°则该截面的面积是（）

A.nB.27rC.37rD.2后"

答案A

【解析】过半径为2的球O表面上一点A作球。的截面，若OA与该截面所成的角是60°,

则截面圆的半径是，R=1,该截面的面积是必选A.

2

8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）

A.1：V3B.1：3C.1：3V3D.1：9

答案C

【解析】设正方体的棱长为。，则它的内切球的半径为它的外接球的半径为立a,

22

故所求的比为1：3#）,选C.

9.（2005全国卷I）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为开，则球的表面积

为（）

兀C.4叵兀D.4"

答案B

10.（2005全国卷I）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且

ABC》均为正三角形，EF〃AB,EF=2,则该多面体的体积为（）

二、填空题

11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边

形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为二9,

8

底面周长为3,则这个球的体积为.

【解析】令球的半径为R,六棱柱的底面边长为。，高为〃，显然有1/+（）2=尺,

6a-3

12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱

柱

的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为6,底面周长为3,那么这个球的体积

为_________

4

答案—71

3

【解析】・・♦正六边形周长为3,得边长为,，故其主对角线为1,从而球的直径

2

2R=可+F=2

4

R=1...球的体积V=—兀.

3

13.（2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条

棱

的长分别为1，2,3,则此球的表面积为.

答案14K

14.（2007全国II理・15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四

棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为—cm」

答案2+4也

15.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱

锥P-ABCDE尸，则此正六棱

锥的侧面积是

答案6万

【解析】显然正六棱锥P-ABCDEV的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底

面边长为2,又正六棱锥P-A8CD所的高依题意可得为2,依此可求得6成.

第二部分四年联考汇编

2010年联考题

题组二（5月份更新）

1.（池州市七校元旦调研）在三棱柱中，各棱长相等，侧掇垂直于底面，

点。是侧面的中心，则49与平面88。。所成角的大小是（）

A.30B.45c.60D.90

答案C

解析：取BC的中点E,则面84GC,.•.A£_LDE,因此与平面瓦G0所

_A/3rtF,--

成角即为NAPE,设AF=T^=万,即有tanNAOE=6,二NAOE=60".

2.（安徽六校联考）如图是一个简单的组合体的

直观图与三视图.下面是一个

棱长为4的正方体，正上面放

一个球，且球的一部分嵌入正

方体中，则球的半径是（）

A.-B.1C.-D.2

22

答案B

3.如图，动点P在正方体ABC。—AgG。的对角线5R上.过点P作垂直于平面

8月2。的直线，与正方体表面相交于M,N.设=MN=y,则函数y=/（x）

的图象大致是（）

答案：B

4.（三明市三校联考）已知某几何体的三视图如右图所

示，则该几何体的体积为

答案2/3

5.（昆明一中三次月考理）四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分

别为1、C、3,若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为o

答案：16万

6.（池州市七校元旦调研）若某几何体的三视图（单位：cm）如图13T

所示，则此几何体的体积是。〃广.

答案18

【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1X3X3=9,上

面的长方体体积为3x3xl=9,因此其几何体的体积为18

7.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）一个几何体的三

视图如图所示：其中，主视图中大三角形的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那

么该几何体几的体积为.

俯视图主视图左视图

8.（安庆市四校元旦联考）（本题满分14分）如图，在四棱锥P—ABC。中，ABCD是矩

••^E-PAB~Vp-ABE=弓SMBE'弘=1X彳X1X6X1=

3J2O

(2)当点E为的中点时，£户||平面PAC。

理由如下：♦.•点E,产分别为CD、PD的中点，.•.EF'IIPC。

PCu平面PAC,平面PAC,EE||平面PAC

(3)•••PA_L平EABC。，COu平面ABC。CD±PA

•••ABC醒矩矩形，.•.COLA。

•.•PAcAZ)=A,..C。，平面PAO

•.•A/u平面PAO:.AF±DC

•.•PA=AO,点尸是P£)的中点:.AF±PD

又CDCPD=D/.AF±TffiPDC

PEu平面PDC,/.PE±AF

9.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）如图，在三棱柱ABC-A瓦G中，己

1T

知BC=1,BB]=2,ZBCC,=-A5，侧面BBgC,

（1）求直线CiB与底面ABC所成角正切值；

（2）在棱CG（不包含端点C，G）上确定一点E的位置，

使得E4J.EA（要求说明理由）.

（3）在（2）的条件下，若48=0,求二面角A-Eg-A的大小.

解：（1）在直三棱柱ABC—AAG中，C。*1■平面ABC，。田在平面ABC上的射影

为CB.

.•.NGBC为直线G6与底面A8C所成角.........2'

CC|=明=2,5C=1,tanZC,5C=2

即直线与底面ABC所成角正切值为2..............4'

(2)当E为中点时，EALEB]..CE=EC1=1,BC=Bg=1

NBEC=NB[EC[=45

NBg=90,即gE，BE.............6'

又ABI.平面84cle,EB、u平面83CCAB±EBt

BEAB=B平面ABE,EAu平®ABE

EAYEBt.............8'

(3)取Eg的中点G,HE的中点F,则FG〃Ag,

Ag±EB]FG±EB,

连结设48Ag=O,连结O£OG,FG,

则OG〃AE,且OG=，AEAE1EB.OGI£5,

2

C

.•.NOGF为二面角A-E4—4的平面角.........10'

11V21V2

OG=-AE=1,FG=-A,B,=-,OF=-BE=—,:.ZOGF=45

22国।222

...二面角A-EB1-A的大小为45°12'

题组一（1月份更新）

一、选择题

I.（2009滨州一模）设a、夕是两个不同的平面，/、加为两条不同的直线，命题p：若

平面a〃/?,lua,mu0,则〃/加；命题q：IHa,m±/,mu（3，则/?_La，

则下列命题为真命题的是