《运筹学》题库及答案

运筹学习题库

数学建模题（5）

1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A、B、C三种资源，每种产品的资源消耗

量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：

ABC

甲94370

乙4610120

360200300

试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。

解：设甲、乙产品的生产数量应为xl、x2,则xl、x220,设z是产品售后的总利润，则

maxz=70XI+120X2

s.t.

9x1+4X2<360

+6X2<200

3X1+10X2<300

x2>0

2、某公司生产甲、乙两种产品，生产所需原材料、工时和零件等有关数据如下：

甲乙可用量

原材料（吨/件）223000吨

工时（工时/件）52.54000工时

零件（套/件）1500套

产品利润（元/件）43

建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。

解：设甲、乙两种产品的生产数量为入、x2，

设z为产品售后总利润，则max2=4X1+3X2

s.t.

2x}+2X2<3000

5X1+2,5x2W4000

'Xj<500

x,,x2>0

3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源一一技术服务、劳动力和行政管理。

每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表

所示：

技术服务劳动力行政管理单位利润

甲110210

乙1426

丙1564

资源储备量100600300

建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。

解：建立线性规划数学模型：

设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为XI、X2、x3,则XI、X2、X320,设z是产品售后的总

利润，则

maxz=10x1+6x2+4x3

Xj+x2+<100

10J,+4X2+5X3<6(X)

2%[+2X2+6巧<300

x2,x3>0

4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通

信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,

试选择该队员所应携带的物品。

序号1234567

物品食品氧气冰镐绳索帐篷照相器材通信设备

重量/Kg55261224

重要性系数201518148410

试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。

解：引入0—1变量M,表示应携带物品了,,M=0表示不应携带物品/

naxz=20X]+15x2+18x3+14A4+8x5+4x6+l0x7

5x,+5X2+2X3+6X4+12X5+2x6+4x7<25

Xj=0或=1,2,...7

5、工厂每月生产A、B、C三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源

限量及单件产品利润如下图所示：

ABC资源限量

资、^品

源

材料（kg）1.51.242500

设备（台时）31.61.21400

利润（元/件）101412

根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120,最高需求量是250、310、

130,试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。

解：设每月生产A、B、C数量为4，々，当。

MaxZ=10x）+14.r2+12x3

，1.5X]+1.2X2+4X3<2500

3x1+\.6X2+1.2X3<1400

150<250

260<x2<310

120<x3<130

^xpx2,x3>0

6、A、B两种产品，都需要经过前后两道工序，每一个单位产品A需要前道工序1小时和后

道工序2小时，每单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时。可供利用的前道工序

有11小时，后道工序有17小时。每加工一个单位产品B的同时，会产生两个单位的副产

品C,且不需要任何费用，产品C一部分可出售盈利，其余只能加以销毁。出售A、B、C

的利润分别为3、7、2元，每单位产品C的销毁费用为1元。预测表明，产品C最多只能售

出13个单位。试建立总利润最大的生产计划数学模型，不求解。

解：设每月生产A、B数量为不，々，销毁的产品C为巧。

MaxZ=3^1+7X2+2(2x2-x3)-x3

"%+2X2«11

2x+3X<17

1It2

2X2-X3<13

<xl,x2,x3>0

7、靠近某河流有两个化工厂(参见附图)，流经第一化工厂的河流流量为每天500m3,在

两个工厂之间有一条流量为200万的支流。第一化工厂每天排放有某种优化物质的工业

污水2万加工第二化工厂每天排放该污水1.4万63。从第一化工厂的出来的污水在流至

第二化工厂的过程中，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中的污水含量不应大于0.2%.

这两个工厂的都需要各自处理一部分工业污水。第一化工厂的处理成本是1000元/万机

第二化工厂的为800元/万加3。现在要问满足环保的条件下，每厂各应处理多少工业污水,

才能使两个工厂的总的污水处理费用最少？列出数学模型，不求解。

解：设第一化工厂和第二化工厂的污水处理量分别为每天西机3和X2万机3,

minZ=l(XX)x+8()0x

1<x1<2

0.8X]+x>1.6

st«2

x21.4

xI,x2>0

8、消费者购买某一时期需要的营养物（如大米、猪肉、牛奶等），希望获得其中的营养成分

（如：蛋白质、脂肪、维生素等）。设市面上现有这3种营养物，其分别含有各种营养成分

数量，以及各营养物价格和根据医生建议消费者这段时间至少需要的各种营养成分的数量

（单位都略去）见下表。

营养物

营养成尸甲乙丙至少需要的营养成分数量

A462080

B11265

C10370

D21735450

价格252045

问：消费者怎么购买营养物，才能既获得必要的营养成分，而花钱最少？只建立模型，不用

计算。

解：设购买甲、乙、丙三种营养物的数量分别为与、/和刍，则根据题意可得如下线性规

划模型：

minz=25%+20x2+45.

4%+6X2+20X3>80

%1+%2+2X3>65

s.t.<X]+3X3>70

21%+7X2+35X3>450

xrx2,x3>0

9、某公司生产的产品A,B,C和D都要经过下列工序：包lj、立铳、钻孔和装配。已知每

单位产品所需工时及本月四道工序可用生产时间如下表所示:

刨立铳钻孔装配

A0.52.00.53.0

B1.01.0.0.51.0.

C1.01.01.02.0

D0.51.01.03.0

可用生产时间1800280030006000

（小时）

又知四种产品对利润贡献及本月最少销售需要单位如下:

产品最少销售需要单位元/单位

A1002

B6003

C5001

D4004

问该公司该如何安排生产使利润收入为最大？（只需建立模型）

解：设生产四种产品分别X1,X2,X3,X4单位

则应满足的目标函数为：maxz=2xi+3X2+X3+X4

满足的约束条件为：

0.5%]+42+玉+05%41800

2x1+x2+Xy+x4<2800

（）.5石+（）.5X2++x4<300（）

3X1+/+2匕+3X4<6000

x,>100

x2>600

x3>500

X4>400

10、某航空公司拥有10架大型客机、15架中型客机和2架小型客机，现要安排从一机场

到4城市的航行计划，有关数据如表1-5,要求每天到D城有2个航次（往返），到A,B,C

城市各4个航次（往返），每架飞机每天只能完成一个航次，且飞行时间最多为18小时，

求利润最大的航班计划。

客机类型到达城市飞行费用（元/次）飞行收入（元/次）飞行时间（h/d）

A600050001

大型B700070002

C8000100005

D100001800010

A100030002

中型B200040004

C400060008

D-■-一-20

A200040001

小型B350055002

C600080006

D————19

解：设大型客机飞往A城的架次为XIA，中型客机飞往A城的架次为X2A，小型客机飞往

A城的架次为X3A，其余依此类推。

资源限制派出的大型客机架次不能超过10架，表示为

X\A+玉8+“IC"1°

同理ZA+ZS+ZCKIS

X3A++^3C—2

班次约束飞往各城的班次要满足

斗A+%2A+X3A=4

斗8+X2B+X3B=4

xiC+x2C+x3C=4

%。+%。+七。=2

非负性约束4.20且为整数；（i=l,2,3;j=A,B,C,D）

maxz=-1000玉八+0x+2000x4-8000x+2000x+

目标函数为IBlc1D24

犬

2(X)02〃+2000%c+2(XX)X3A+2(XX)x3B+2()(Xk3c

11、CRISP公司制造四种类型的小型飞机：ARI型（具有一个座位的飞机）、AR2型（具有

两个座位的飞机）、AR4型（具有四个座位的飞机）以及AR6型（具有六个座位的飞机）。AR1

和AR2一般由私人飞行员购买，而AR4和AR6一般由公司购买，以便加强公司的飞行编队。

为了提高安全性，联邦航空局（F.A.A）对小型飞机的制造做出了许多规定。一般的联邦航

空局制造规章和检测是基于一个月进度表进行的，因此小型飞机的制造是以月为单位进行

的。表说明了CRISP公司的有关飞机制造的重要信息。

ARIAR2AR4AR6

联邦航空局的最大产量（每月生产的飞机数目）8171115

建造飞机所需要的时间（天）47911

每架K机所需要的生产经理数E1122

每架U机的盈利贡献（千美元）6284103125

CRISP公司下个月可以得到的生产经理的总数是60人。该公司的飞机制造设施可以同

时在任何给定的时间生产多达9架飞机。因此,下一个月可以得到的制造天数是270天（9*30,

每月按30天计算）。JonathanKuring是该公司飞机制造管理的主任，他想要确定下个月的

生产计划安排，以便使盈利贡献最大化。

解：设*表示下个月生产ARI型飞机的数目，％表示AR2型，W表示AR4型，&表示

AR6型

目标函数：maxz-62A-,+84x2+103%4-125x4

4%+lx2+9X3+1lx4<270

%+%2+2X3+2X4<60

x,<8

约束条件：X2<17

<11

x4<15

xpx2,x3,x4>0

%,々，工3，々为整数

12、永辉食品厂在第一车间用1单位原料N可加工3单位产品A及2单位产品B,产品A可

以按单位售价8兀出售，也可以在第二车间继续加工，单位生产费用要增加6兀，加工后单

位售价增加9元。产品B可以按单位售价7元出售，也可以在第三车间继续加工，单位生产

费用要增加4元，加工后单位售价可增加6元。原料N的单位购入价为2元，上述生产费用

不包括工资在内。3个车间每月最多有20万工时，每工时工资0.5元，每加工1单位N需

要1.5工时，若A继续加工，每单位需3工时，如B继续加工，每单位需2工时。原料N

每月最多能得到10万单位。问如何安排生产，使工厂获利最大？

解：设西为产品A的售出量；超为A在第二车间加工后的售出量；七表示产品B的售出

量；5表示B在第三车间加工后的售出量；毛为第一车间所用原材料的数量，

则目标函数为：maxz=+9.5x2+7x3+8x4-2.75x5

&<100()(X)

3x2+2x44-1.5x5<200000

约束条件:X[+勺-3毛=0

Xj+x4-2X5=0

王，W，马»"4'*5~°

>化标准形式（5）

1、将下列线性规划模型化为标准形式

minz=xl-2x2+3X3

X)4-x2+x3<7

x]-x2+x3>2

一3X]+x2+2X3=-5

X)>0x2>0马无约束

maxz'=-Xj+2X2-3(x4-x5)+0•x6+0-x7

玉+x2+x4-x5+x6=7

Xj-x2+x4-x5-x7=2

2元3=

3NO

2、将下列线性规划模型化为标准形式

minz=%+2x2+3x3

-2xt+x2+x3<9

-3工]+x2+2X3>4

43—2^2—3Xj=-6

Xj<0x2>0刍无约束

M

maxz*=x,-2X2-3x3*+3x3

M

2xJ+x2+X3'-X3+x4=9

M

3x/+x2+2X3-2X3-x5=4

,

4xJ+2X2+3X3'-3X3*=6

%之°

3、将下列线性规划变为最大值标准形。

minz=-3x]+4x2-2x3+5x4

4玉—x2+2xs—x4=—2

A；1+x2+3X3-x4<14

-2X1+3X2-X3+2X4>2

xpx2,x320,占无约束

解:

maxz=3X]-4x2+2x3-5x4+5x4

一4玉+x2-2xi+x4-x4=2

%+W+3X-X,+X4-XJ=14

st<34

—2百+3x2一七+2/2%4—/=2

xpx2,x3,x4,x4",x5x6>0

>图解法(5)

1、用图解法求解下面线性规划

minz=-3x1+2x2

2x}+4X2422

-xl+4X2<10

,2x1-X2<7

%)-3x2<1

xpx2>0

可行解域为abcda,最优解为b点.。

2X[+4X2=22

由方程组，A解出x】=ll,x2=0

》2=0

CT

AX==(11,0)T

Aminz=-3X11+2X0-33

2、用图解法求解下面线性规划

minz=2XI+X2

一内+4X2<24

Xj+x2>8

"5<x,<10

x2>0

解：

%+42=8

:解出Xi=5,X=3

%=52

AX==(5,3)T

VX2)

Aminz=Z*=2X5+3=13

3、已知线性规划问题如下：

MaxZ=X[+3X2

0+10x2<50

X1+x2>1

x2<4

xx>0

Ip2

用图解法求解，并写出解的情况

解:

X2:二4

5XI+10X2=50

Xi+X2=l

由图可知：

5x,+10x2=50解之得:X[=2

Y

x=4x=4

221

则maxZ=2+3*4=14

4、用图解法求解下面线性规划问题

maxz=2%+x2

5.415

6x+2X9<24

x2+x2<5

Xj,x2>0

解:

5、用图解法求解下面线性规划问题

maxz=2%+3x9

玉+2X2<8

4x,<16

4X2<12

x>>0J=l,2

图解如下:

可知,

大值为一=2*4+3*2=14。

二、单纯型法(15)

1、用单纯型法求解下面线性规划问题的解

maxz=3XJ+3X2+4X3

3X[+4X2+5A3<40

6x+4X2+3X3<66

Xj,x2,x3>0

解：加入松弛变量x.”x5,得到等效的标准模型:

maxz=3XI+3X2+4XQ+0X«+0XS

3X[+4X2+5X3+x4=40

再+

s.t,64X2+3X3+x5=66

X/20,/=1,2,…,5

列表计算如下：

33400

CBXBb0L

xlx2x3x4x5

0x44034(5)108

0x5666430122

00000

334t00

4x383/54/511/5040/3

0x542(21/5)8/50-3/5110

12/516/544/50

3/51-1/50-4/50

4x3204/712/7-1/7

3xl1018/210-1/75/21

324/745/71/7

38

0-3/70-5/7-1/7

/.X*=(10,0,2,0,0)r/.maxz=3X10+4X2=38

2、用单纯型法求解下面线性规划问题的解

maxz=70XI+120X2

9xj+4X2<360

+6X2<200

s3Xj+10x2<300

Xpx2>0

解：加入松弛变量X3,X.,X5,得到等效的标准模型:

maxz=70XI+120X2+0X3+Ox«+0X5

s.t.

9x,4-4X2+x3=360

4巧+6X2+x4=200

5

3X[+10x2+x5=300

XjN0,/=12・・・5

列表计算如下:

70120000

CBXBb0L

xlx2x3x4x5

0x33609410090

0x420046010100/3

0x53003(10)00130

00000

701201000

0x324039/5010-2/5400/13

0x420(11/5)001-3/5100/11

120x2303/101001/10100

361200012

341000-12

0x31860/11001-39/1119/11

70xl100/111005/11-3/11

120x2300/110103/222/11

43000701200170/1130/11

11000-170/11-30/11

*1003001860

•X=(z—,——,0,0)1

111111

10030043000

•maxz=70X——+120X——=---------

111111

3、用单纯型法求解下面线性规划问题的解

2x}+2X2<3000

5x.+2.5X2<4000

maxz=4x+3x.s.t.i

1Z<500

x2>0

解：加入松弛变量X3，X4»Xs,得到等效的标准形式：

2X,+2X2+X3=3000

5x,+2,5X2+%=4000

maxz=4X]+3X2+0X+0X4+OX5S.t."

3%+/=500

XjNO,J=1,2,…5

用表解形式的单纯形法求解，列表计算如下：

43000

CBXBbBi.

XXX

123X4X5

0x33000221003000/2=1500

0x4400052.50104000/5=800

0xs500(1)0001500/1=500

00000

4t3000

0x320000210-22000/2=1000

0X415000(2.5：>01-51500/2.5=600

4X150010001

40004

03f00-4

0x3800001-0.8(2)800/2=400

3x26000100.4-2

4X150010001500/1=500

4301.2-2

000-1.22f

0X5400000.5-0.41

3X21400011-0.40

410010-0.50.40

4310.40

4600

00-1-0.40

据上表，X*=(100,1400,0,0,400)'maxz=4X100+3X1400=460

4、用单纯型法求解下面线性规划问题的解

maxz=10XI+6X2+4X3

x1+x2+x3<100

lOx,+4X2+5X3<600

<

2X[+2X2+<300

X],X29x3>0

解：加入松弛变量X.”X5,X6,得到等效的标准模型：

maxz=10XI+6X2+4XJ+0XJ+OX5+0X6

Xj+x2+x3+X4=100

10%1+4X2+5X3+X5=600

V

s.t.

2X|+2X2+6七+x6=300

XjNO,/=1,2,…6

列表计算如下：

1064000

CBXBb0L

xlx2x3x4x5x6

0x4100111100100

0x5600(10)4501060

0x6300226001150

000000

lOt64000

0x4400(3/5)1/21-1/100200/3

10Xl6012/51/201/100150

0x618006/550-1/51150

1045010

02t-10-10

6x2200/3015/65/3-1/60

10xl100/3101/6-2/31/60

0x6100004-201

220010620/310/32/30

300-8/3-10/3一2/30

100200

(3'3，°0,0,100)'

1002002200

z=10X——+6X----二------

333

5、用单纯型法求解下面线性规划问题的解

MaxZ=4x]-2x2+2x3

r3^1+x2+x3<60

-x2+2X3<10

2xj+2X2-2X3<40

<X],X2,X3>0

用单纯形法求解，并指出问题的解属于哪一类。

解：(1)、将原问题划为标准形得：

MaxZ=-2X2+2x3+0x4+0x5+0x6

'3X]+x2+x3+x4=60

%1—x2+2X3+X5=10

2x)+2X2-2X3+x6=40

x1,x2,x3,x4,x5,x6>0

Cj4-22009

b

CBXB工2Z%/

060311100

匕

0&10[1]-12013

0%402-22001

4-22009

bj

Cj4-2200,

b

CBXB,x2£z%

03004-51-39

4101-121

*03

0200[4]-60-21

02-60-43

%

Cj4-22000

b

CBXB王x2工3五4%

0100011-1-1

415101/201/21/4

-2501-3/20-1/21/4

%2

00-30-3-1/2

所以X=(15,5,0,10,0,0)为唯一最优解

MaxZ=4*15-2*5=50

6、用单纯形法求解下述LP问题。

maxz=2.5x,+x2

+5X2<15

5%+2%410

xpx2>0

解：引入松弛变量与、%4,化为标准形式:

maxz=2.5x}+x2

3x}+5X2+x3=15

5X[+2X2+X4=10

xpx2,x3,x4>0

构造单纯形表,计算如下:

CJ2.5100

4

CBXBh演z与①

0W1535105

0%10[5]2012

Oj2.5100

090[19/5]1一3/545/19

2.5212/501/55

*000-1/2

1九245/19015/19-3/19

2.520/1910-2/195/19

000-1/2

由单纯形表，可得两个最优解X⑴=(2,0,9,0),、X⑵=(20/19,45/19,0,0)、所以

两点之间的所有解都是最优解，即最优解集合为：aX(,)+(l-a)X(2),其中OKaKl。

7、用单纯形法解线性规划问题

maxz=2玉+x2

5X2<15

6Xj+2X<24

<2

玉+x2<5

Xj>0x2>0

解：化为标准型

maxz=+x2+0x3+0x4+0x5

5元2+x3=15

6项+2X2+x4=24

+x2+尤5=5

Xl-5-。

列出单纯形表

Cj21000

CHXRbX\X2照X,lA5

0X31505100

0Xi24[6]20104

0X55110015

-z021000

0X315051003

2X\411/301/6012

0禹10[2/3]0-1/613/2

-z-801/30-1/30

0Xi15/20015/4-15/2

2X\7/21001/4-1/2

1Xz3/2010-1/43/2

-z-20000-1/4-1/2

Z*=17/2,X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)'

8、用单纯型法求解下面线性规划问题的解

maxz=x1+x2

X-2X2<2

-2x,+x<2

<