《拣选14份合集》吉林省通钢某中学、集安某中学、梅河口五中等联谊校2020-2021学年高三第二学期第五次月考数学 含解析

吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等联谊校2020-2021学年高三第二学

期第五次月考数学

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位

置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他

位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知/(x+2)是偶函数，Ax)在(—，2］上单调递减，"0)=0,贝！)/(2-3幻>0的解集是

22

A.(^o,—)(2,+oo)B.(―,2)

2222

c.(---§)D.y,-?(->+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

先由/(X+2)是偶函数，得到/(x)关于直线x=2对称；进而得出单调性，再分别讨论2-3x22和

2-3x<2,即可求出结果.

【详解】

因为/(x+2)是偶函数，所以/(x)关于直线x=2对称；

因此，由『(0)=0得"4)=0；

又/(x)在(-，2］上单调递减，则/(x)在［2,+8)上单调递增；

所以，当2-3x22即x4()时，由/(2-3x)>0得〃2-3x)>/(4),所以2-3x>4,

解得X<——5

当2-3x<2即x〉0时，由f(2—3x)>0得f(2—3x)>f(0),所以2-3x<0,

解得x>g;

22

因此，“2-3幻>0的解集是(-0),_,(1,+00).

【点睛】

本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题

型.

log।>0

3

2.已知函数/(尤)=(]丫，若关于x的方程/"*)]=0有且只有一个实数根，则实数a的取

a\3)，X-0

值范围是()

A.(-=o,0)(0,1)B.(—8,0)51,”)

C.(-oo,0)D.(0,1)5L+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用换元法设f=/(x),则等价为/(。=()有且只有一个实数根，分。<0,。=0,。>0三种情况进行讨

论，结合函数的图象，求出。的取值范围.

【详解】

解：设r=/(x),则/(。=0有且只有一个实数根.

当。<0时，当xWO时，=<0,由/(。=0即解得f=l,

结合图象可知，此时当f=l时，得/(x)=l,则x=；是唯一解，满足题意；

当a=()时，此时当xVO时，/(x)=a-f->|=0.此时函数有无数个零点，不符合题意;

当a>0时，当xWO时，=G[CZ,+OO),此时/(x)最小值为a,

4

结合图象可知，要使得关于X的方程/[/（x）]=o有且只有一个实数根，此时“＞1.

综上所述：。＜0或。＞1.

故选:A.

【点睛】

本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.

3.设）是方程%一1=0的两个不等实数根，记%="'+夕'（〃eN*）.下列两个命题（）

①数列｛q｝的任意一项都是正整数;

②数列｛。,,｝存在某一项是5的倍数.

A.①正确，②错误B.①错误，②正确

C.①②都正确D.①②都错误

【答案】A

【解析】

【分析】

利用韦达定理可得。+尸=1,皿=—1,结合a,,=a"+夕’可推出a,l+l=a„+a,”,再计算出《=1,4=3,

从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.

【详解】

因为a,乃是方程/一x-1=0的两个不等实数根，

所以a+6=1,a"=T,

因为%=a"+〃，

所以凡M=a""+夕川

)«+(«"+/?")/?-B"a-an13

=(a”—奶(a'1+)

=(a"+〃)+("+〃)=4+%,

即当〃23时，数列｛a,,｝中的任一项都等于其前两项之和，

又4=(2+0=1,%=a1+伊=(a+£)--2a£=3,

所以％=%+4=4,/=%+。2=7,。5=%+%=11,

以此类推，即可知数列｛q｝的任意一项都是正整数，故①正确；

若数列｛4｝存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为0或5,

由4=1,4=3,依次计算可知，

数列｛q｝中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,97,6,3,9,2为周期，

故数列｛%｝中不存在个位数字为0或5的项，故②错误；

故选:A.

【点睛】

本题主要考查数列递推公式的推导，考查数列性质的应用，考查学生的综合分析以及计算能力.

22

4.已知点A（2技3比可在双曲线器—£=10＞0）上，则该双曲线的离心率为（）

A.叵B.叵C.晒D.2710

32

【答案】C

【解析】

【分析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.

【详解】

22

将x=2，Ly=3而代入方程［-1=1（。＞0）得。=3而，而双曲线的半实轴。=而，所以

10b

c=Ja2+b2=10＞得离心率e=£=加,故选C・

a

【点睛】

此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.

5.如图，在A48C中，点M,N分别为C4,C8的中点，若=CB=\,且满足

3AGMB=CA"+CB2'则AG-AC等于(

2

C.

3

【答案】D

【解析】

【分析】

选取就前为基底，其他向量都用基底表示后进行运算.

【详解】

由题意G是A4BC的重心，

3AGMB=3X|A7V.(-BM)=-2(B7V-&4)-1(BC+&4)=(BA-1BC)-(BC+&4)

---212111

=BA——BC+—3AU5——+-BABC

2222

CA+CB=(BA-BC)2+\=BA-2BABC+BC+1==5-234BC+1+1，

91----------------------------------

：.-+-BA-BC=7-2BA-BC,BABC-\<

2--------21————21—23----——2

•a-AGAC=-^NAC=-{-BC-BA)[BC-BA)=-{-BC--BCBA+BA)

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这

样做目标明确，易于操作.

6.+且一是“J+/«1”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

画出“一1mX+y41,-14%一丁＜1,工2+丁241,所表示的平面区域,即可进行判断.

【详解】

如图，“一1«x+y«1且一14x-yW1”表示的区域是如图所示的正方形,

记为集合P,“^+^^产表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q,

显然P是。的真子集，所以答案是充分非必要条件，

故选:A.

【点睛】

本题考查了不等式表示的平面区域问题，考查命题的充分条件和必要条件的判断，难度较易.

'2x+y-2<0

7.已知x,y满足不等式组2y-1K0,则点尸(x,y)所在区域的面积是()

x>0

54

A.1B.2C.-D.-

45

【答案】C

【解析】

【分析】

画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.

【详解】

不等式表示的平面区域如图：

y

直线2x+y-2=0的斜率为—2,直线工一2丁一1的斜率为:，所以两直线垂直，故A8CD为直角三角形,

易得8(1,0),D(O,-1),c(o,2),忸忸q=石所以阴影部分面积

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.

TTTT

8.已知函数/(x)=sin(2019x+丁)+cos(2019x-：)的最大值为M,若存在实数，几〃，使得对任意实

44

数x总有/(加)《/(幻《/(〃)成立，则的最小值为()

冗2兀4兀兀

A.----B.-----C.-----D.-----

2019201920194038

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角函数的两角和差公式得到/(%)=2sin(2()19x+?),进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度

要大于等于半个周期，最终得到结果.

【详解】

函数

/(x)=sin2019x+^+cos(2019x-：)=^-(sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x)

=V2(sin2019x+cos2019x)=2sin(2019x+^)

则函数的最大值为2,M-\m-^^2\m-n\

存在实数利，?，使得对任意实数x总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周

期，§Pm-n>———/.2\m-n\.=

20191Mm2019

故答案为：B.

【点睛】

这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较

综合.

9.甲、乙、丙、丁四人通过抓阉的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阉后，甲说：“我

没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到.”已知他们四人中只有一人说了真话，根

据他们的说法，可以断定值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】A

【解析】

【分析】

可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.

【详解】

由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，

T：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；

假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以断定值班人是甲.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了

推理与分析判断能力，属于基础题.

10.历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用

圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只

用圆内接正多边形就求得不的近似值，他的方法被后人称为割圆术.近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷

级数等各种〃值的表达式纷纷出现，使得力值的计算精度也迅速增加.华理斯在1655年求出一个公式：

^=2x2x4x4x6x6x根据该公式绘制出了估计圆周率兀的近似值的程序框图，如下图所示，执行该

2Ix3x3x5x5x7x

程序框图，已知输出的7>2.8,若判断框内填入的条件为kN机？，则正整数机的最小值是

/输，出7'/

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

初始：k=l,T=2,第一次循环：T=2x：9x57=；R<2.8,k=2,继续循环；

133

第二次循环：T=；8x4；x4^=f128>2.8,k=3,此时7>2.8,满足条件，结束循环，

33545

所以判断框内填入的条件可以是％23?,所以正整数机的最小值是3,故选B.

11.已知等差数列｛q｝的公差不为零，且,构成新的等差数列，5,,为｛4｝的前"项和，若存

4%%

在〃使得S“=o,贝!]〃=()

A.10B.11C.12D.13

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式可得4=-6d,再利用等差数列的前及项和公式即可求解.

【详解】

111

由一，一，一构成等差数列可得

4%a4

J___1__J___1_

〃3。4。3

u,-a%CIQ-ciA-2d-d_

即」~=—~£=>——=—=4=2%

aya3a3a4a｝a4

又q=q+3d=>a[=2(q+3d)

解得：%=—6d

XS„=|[2a,+(n-l)j]=^(-12J+(rt-l)J)=|d(n-\3)

所以S“=0时，〃=13.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前〃项和公式，需熟记公式，属于基础题.

12.已知函数，则函数y=/(/(x))的零点所在区间为()

2+loggx9,x>0

A.0,g)B.(-1,0)0GBD-US

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求得x4()时，”X)的取值范围.然后求得x>0时，“X)的单调性和零点，令/(/(x))=0,根

据“x40时，“X)的取值范围”得到〃x)=2'+log3X-9=3,利用零点存在性定理，求得函数

丁=/(/(力)的零点所在区间.

【详解】

当x40时，3</(x)<4.

当xNO时，/(%)=2*+1089X2—9=2*+log3X—9为增函数，且"3)=0,贝()x=3是/(x)唯一零

点.由于“当x40时，3</(%)<4所以

令/(.”x))=0,得〃x)=2，+k)g3X—9=3,因为〃3)=0<3,

/^=8V2+log31-9>8xl.414+log33-9=3.312>3,

所以函数y=/(/(x))的零点所在区间为(3彳1

故选：A

【点睛】

本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化

归与转化的数学思想方法，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

Inx,x>1

13.已知函数/(x)=,若则。的取值范围是_

【答案】[0,l]u[e,+8)

【解析】

【分析】

根据分段函数的性质，即可求出。的取值范围.

【详解】

当a>l时,Ina.A,

a..e

当4,1时，3a..l,

所以喷必1,

故«的取值范围是[0,11u[e,+O)).

故答案为：[0,1]u[e,+8).

【点睛】

本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.

14.在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治

愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2

倍，那么第19天治愈出院患者的人数为,第天该医院本次收治的所有

患者能全部治愈出院.

【答案】161

【解析】

【分析】

由题意可知出院人数构成一个首项为1,公比为2的等比数列，由此可求结果.

【详解】

某医院一次性收治患者127人.

第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.

且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，

・•・从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，

则第19天治愈出院患者的人数为%=1x2,=16,

5也4:127,

"1-2

解得〃=7,

.•.第7+15-1=21天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

故答案为：16,1.

【点睛】

本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能

力，属于中档题.

15.能说明“在数列｛4｝中，若对于任意的犯〃eN*，am+),>am+aH,则｛a,,｝为递增数列”为假命题的

一个等差数列是.(写出数列的通项公式)

【答案】答案不唯一，如见=一“一1

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质可得到满足条件的数列.

【详解】

由题意知，不妨设4,=一“一1,

a

则m+„=~（m+n）-\>一（加+“）一2=am+an,

很明显｛凡｝为递减数列，说明原命题是假命题.

所以1,答案不唯一，符合条件即可.

【点睛】

本题考查对等差数列的概念和性质的理解，关键是假设出一个递减的数列，还需检验是否满足命题中的条

件，属基础题.

16.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足4+3/+…+3”%”=〃，贝US4=

……40

【答案】—

27

【解析】

【分析】

对题目所给等式进行赋值，由此求得””的表达式，判断出数列｛q｝是等比数列，由此求得S&的值.

【详解】

解：4+34++3"-%”=〃，可得〃=1时，q=l,

〃22时,q+3兄+.一+3"~=〃-1，又4+34+...+3'।=n,

两式相减可得3"-%=1,即a“=K，上式对〃=1也成立，可得数列｛4｝是首项为1,公比为不的等

1-J-

比数列，可得S4=—=

1----

3

【点睛】

本小题主要考查已知求勺，考查等比数列前〃项和公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（可二%3-/一（4一16卜，g（x）=alnx,aeR.函数人（力=丛。-8（%）的

导函数/?’（x）在|,4上存在零点.

（1）求实数。的取值范围；

(2)若存在实数。，当xe［O,。］时，函数/(x)在x=0时取得最大值，求正实数b的最大值;

(3)若直线/与曲线y=/(x)和y=g(x)都相切，且/在.丫轴上的截距为-12,求实数。的值.

【答案】⑴［10,28］；⑵4；⑶12.

【解析】

【分析】

(1)由题意可知，h(x)=x2-x-alnx-a+16,求导函数/«”,方程2/一万一。=()在区间1,4上有

实数解，求出实数a的取值范围；

(2)由/(x)=d-f-(a-16)T，则j/，(x)=3f—2x-a+16,分步讨论，并利用导函数在函数的单

调性的研究，得出正实数的最大值；

(3)设直线/与曲线y=/(x)的切点为(如无；一片一(。—16)X)，因为/'(6=3/-2%-(。—16),所

以切线斜率左=3k一25一(。一16),切线方程为y=(24-a)x-12,设直线/与曲线y=g(x)的切点

为(A2Mln±),因为g'(x)=q,所以切线斜率攵=且，即切线方程为y=g(x-X2)+alnx2,

X%212

a—=24—675

整理得y=-x+alnx2-所以，求得々之三设G(x)=lnx+三-5

•^27

aynx2一。=一12

2x—1C

——2x^2>0

所以G(x)在1，+8］上单调递增，最后求出实数a的值.

【详解】

(1)由题意可知，/?(x)=x2-x-alnx-a+16,则//(*)=21_］，=2%二"二0

XX

即方程2d一x-a=0在区间|，4上有实数解，解得ae［10,28］；

2f2

⑵因为/(x)=d-x-(a-16)x,则f(x)=3x-2x-a+\6f

①当A=4-12(—a+16)W0,即lOWaM?时，/'(x)NO恒成立，

所以/(x)在［0,0上单调递增，不符题意；

②当?<a<16时，令/"(x)=3f-2x-a+16=0,

解得._2±-^4-12(-a+16)_I+J3a-47

•A-6―

']_J3a_47)

当XG0,---------时，/,(x)>0,/(X)单调递增，

<3?

所以不存在人〉0,使得/(X)在[0,句上的最大值为了(0),不符题意；

③当16WaW28时，/〈X)=3f-2x-a+16=0,

版省1—y/3a—471+J3a—47八

解得：X.=----------<0>%,=----------->0

'33

且当xw(0,%2)时，/,(x)<0,当xel/,”)时，r(x)>。，

所以/(x)在(0,%2)上单调递减，在(々，+8)上单调递增，

若0<此々,则“X)在[0,可上单调递减，所以<(力皿=/(0),

若b>j,则〃力(0,%)上单调递减，在(冷。)上单调递增，

由题意可知，f(b)</(0),即》3一加一(。一16)区0,

整理得〃-/?<«-16>

因为存在a《16,28],符合上式，所以〃一。<12,解得0<〃44,

综上，b的最大值为4；

(3)设直线/与曲线y=/(x)的切点为G，x；—x；—(a-16)xj,

因为/'(x)=3f—2,x—(a—16),所以切线斜率k——2F一(a-16),

即切线方程V=[3x：-2$一(a—16)](x—玉)+x；_*一(a_16)为

整理得：y=[3x；一2羽-(q_]6)]x_2x；+x：

由题意可知，~2x^+x；—12,即2父—X；—12=0,

即同一2)(2%；+3丹+6)=0,解得芭=2

所以切线方程为y=(24-〃卜一12,

设直线/与曲线y=g(x)的切点为(w,alnw)，

因为g'(x)=g,所以切线斜率左=巴，即切线方程为.V=g(x-X2)+alnx2,

XX2电

a,

整理得.丫=一%+。山工2—a.

—=24—a11

所以S,消去〃，整理得1。吃+:^---=o

2X22

a\nx2-a=-12

且因为幺=24_a(ae[10,28]),解得x?2’,

*27

设G(")=mx+?一贝"6'(、)=:一止=第>()，

所以G(x)在+8)上单调递增，

因为G(l)=0,所以々=1，所以a=24—。，即。=12.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.

18.(12分)已知函数ln(x+a)(a>0).

(D证明：函数/(X)在(0,+8)上存在唯一的零点;

(2)若函数/0)在区间(0,+=。)上的最小值为1,求。的值.

【答案】(1)证明见解析；(2)!

【解析】

【分析】

(1)求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明/(X)在((),+8)上存在唯一的

零点即可；

⑵根据导函数零点X。，判断出/(x)的单调性，从而/(x)min可确定，利用/(力讪=1以及y=(-InX

的单调性，可确定出毛，。之间的关系，从而a的值可求.

【详解】

(1)证明：•."(>)=e'-"—ln(x+a)(a>0),/'(x)=e""———.

X+Q

：e""在区间(0,+s)上单调递增，一L在区间(0,+8)上单调递减，

x+a

A函数/(x)在(。,+8)上单调递增.

1Z7—2“

又/(0)="。一±=令gm)=Q—ea(a>0),g'3)=l—ea<0,

aaea

则g(a)在(0,+8)上单调递减，g(a)<g(0)=-l,故/'(0)<0.

令根=a+1,贝!)f'{ni)=f\a+1)=e------->0

2a+\

所以函数/(x)在(0,+8)上存在唯一的零点.

(2)解：由(1)可知存在唯一的/e(0,+s),使得/(玉))=/"———=0,即/-“=」一(*).

x0+ax0+a

函数f'M=ex'a一——在((),+8)上单调递增.

X+Q

.•.当xe(O,%)时，f'(x)<0,/(x)单调递减；当xe(毛,+»)时，/'(x)>0,/(x)单调递增.

•••/(x)min=/5)=一ln(x(,+a).

由(*)式得/(x),”in=/(%)=U^Tn(Xo+a).

二二=显然/+a=1是方程的解.

又•••>=1-111》是单调递减函数，方程」-一In(尤o+a)=l有且仅有唯一的解x0+a=l,

xxQ+a

把与=1-a代入(*)式，得e"2"=i，二。=；,即所求实数a的值为;.

【点睛】

本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解

参数，难度较难.(1)判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；(2)

函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.

19.(12分)已知函数/(x)=a+21nx,f(x)<ax.

(1)求a的值；

⑵令g(x)=必也在3+⑹上最小值为相，证明：6</(m)<7.

x-a

【答案】(1)。=2；(2)见解析.

【解析】

【分析】

(1)将/(x)Wax转化为+21nxW0对任意x>0恒成立，令/i(x)=a-av+21nx,故只需

hix)^<0,即可求出a的值；

(2)由(1)知g(x)=23+2AIn•'(x)2),可得g'(x)=2("，2T4),令5(%)=x—21nx-4,可证

x-2(x-2)

3x0e(8,9),使得s(x°)=0,从而可确定g(x)在(2,x0)上单调递减，在(x。,长。)上单调递增，进而可得

g(x)min=g(与)=Xo，即帆=%，即可证出/(加)=/(%)=2+2也%=%—2e(6,7).

【详解】

函数/(X)的定义域为((),+8),因为/(x)<ax对任意X>0恒成立，

即a-ax+21nxW0对任意x>0恒成立，

令h(x)=a—ax+21nx,贝！)/?’(，)=_〃+—=—,

xx

当。<0时，故〃(x)在(0,+8)上单调递增，

又力(1)=0,所以当X>1时，h(x)>h(l)=09不符合题意；

2

当。〉0时，令〃'(工)=0得%=—,

a

22

当0<%<—时，/Z(x)>0；当工〉一时，〃'(x)v(),

aa

所以〃Q)在上单调递增，在+8)上单调递减，

(2、22

所以/z(x)max=〃|——-a—a,—F2In——ci—2+2In2-2Ina,

Ia,cici

所以要使力(x)W。在x〉0时恒成立，则只需〃(认1ax<0,即a-2+21n2-21na40,

令尸(a)=a-2+21n2-21n。，〃〉0,

所以F(a)=l-』2=〜n-2，

aa

f

当0<a<2时，F(«)<0；当〃>2时，F(a)>09

所以F(“)在(0,2)单调递减，在(2,+8)上单调递增，所以尸(a)之/(2)=0,

即a-2+21n2-21na20,又a-2+21n2-21na<0,所以a-2+21n2-21na=0,

故满足条件的。的值只有2

..xf(x)2x+2xlnX/..丁…，/、2(x-21nx-4)

(2)由(1)知g(zx)x=--=--------(x>2),所以g(x)=一；~二~,

x-ax-2(x-2)

2r-2

令s(x)=%-21nx-4,贝!js'(x)=l——=----,

xx

当x>2,时s'(x)>0,即s(幻在(2,+0。)上单调递增；

又s(8)v(),s⑼>0,所以*e(8,9),使得5(%)=0,

当2vxvx()时，5(x)<0；当］>天)时，5(x)>0,

即g(x)在(2,%)上单调递减，在(4,48)上单调递增，且%-2111/-4=0

所以g(x)疝n=g(x。)=毡丁马=出坐二4)=直二浮

九09

x0-2乙)一2/一2

即机=%0，所以/(m)=/(Xo)=2+21n与=X()-2G(6,7),即6</Q〃)<7.

【点睛】

本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处理方法，第(2)问通过最值问题深化对函数的单调性

的考查，同时考查转化与化归的思想，属于中档题.

20.(12分)如图，在四棱锥P—A8C。中，底面是边长为2的菱形，ZBAD=60°,PB=PD=@

(2)设H在AC上，AH^-AC,若PH=旦,求PH与平面PBC所成角的正弦值.

33

【答案】(1)见解析；(2)逅

3

【解析】

【分析】

(1)记ACBD=O,连结PO,推导出BOLPO,30_L平面PAC,由此能证明平面PAC，平面

43cO；(2)推导出产"1AC,_L平面A6CO,连结”8,由题意得”为A48O的重心，BC1BH,

从而平面PHB1平面PBC,进而NHPB是PH与平面PBC所成角,由此能求出PH与平面PBC所成

角的正弦值.

【详解】

(1)证明：记ACBD=O,

连结PO,APB。中，OB=OD,PB=PD，：.BD上PO,

BD1AC,ACPO=O,二8。_L平面PAC,

Q80u平面ABC。，..平面PACJ_平面ABC。.

(2)APOB中，ZPOB=y,06=1,PB=母,：.PO=\,

AO=yf3>OH=J

3

P//2=(y^)2=|,:.PH-=PO2+OH-,

：.PHVAC,PH1平面ABCD,二PHIBC,

连结由题意得〃为A4BD的重心，

jr九

ZHBO=-,ZHBC=—,BCYBH,：.BC±¥ffiPHB

62

平面PHB1平面PBC,：.H在平面PBC的射影落在PB上,

ZHPB是PH与平面PBC所成角,

PH=1，P8=0，小，=平,

RtAPHB中，

3J

BP3氏3

：.PH与平面PBC所成角的正弦值为旦.

3

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，

考查运算求解能力，是中档题.

21.(125»^@a=2,(2)«=/?=2,(§)Z?=c=2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC

的面积的值(或最大值).已知A3c的内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,三边a,b,c与

面积S满足关系式：45=^+c2-a2,且_____________,求A3C的面积的值(或最大值).

【答案】见解析

【解析】

【分析】

【详解】

若选择①，结合三角形的面积公式，得4s=4*：AcsinA=A2+c2—化简得到

2

,222

sinA="+L-a-=cosA,则tanA=1,又0°<A<180°,从而得到A=45。，

2bc

,222

将。=2代入————=cosA,得匕2+/=y/2hc+4•

2bc

又伍c+4=〃+c2N2Z?c，・•・〃cK4+2夜，当且仅当匕=c=54+20时等号成立.

A5=^csinA<|x(4+2V2)x^-=V2+l,

故ABC的面积的最大值为0+1，此时〃=c=，4+2夜•

若选择②，a=b=2,结合三角形的面积公式，得4s=4x：历sinA=〃+c2-〃，化简得到

2

j222

sinA=生土U二二=cosA,则tanA=l,又0°<A<180°,从而得到A=45。，

2bc

则A=B=45。，此时A3C为等腰直角三角形，S=-x2x2=2.

2

若选择③，b=c=2,则结合三角形的面积公式，得4s=4x：历sinA=^+c2—病，化简得到

2

,222

sinA=生土二cosA,则tanA=l,又0°<A<180°,从而得到A=45。，贝!|

2bc

S=-x2x2xsin45°=V2.

2

1nx

22.(10分)已知函数〃x)=上.

x

(1)求函数/(力的极值；

(H)若根>〃>0,且〃/=〃"',求证：mn>e2-

【答案】(I)极大值为：无极小值；(H)见解析.

e

【解析】

【分析】

(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数/(x)的极值；(H)得到

/(加)=/(〃),根据函数的单调性问题转化为证明m>—>e,即证则<二9二.〃)，令

nne'

22

G(x)=elnx-2x+£jnx(l<x<e),根据函数的单调性证明即可.

【详解】

(I)/(无)=/.-./(x)的定义域为(0,+<0且:(x)=上詈

令r(x)>。，得0cx<e；令/'(x)<0,得x>e

.•・/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减

，函数“X)的极大值为/■)=?=：,无极小值

(II)m>n>0,mn=nmAn\nm=mln

即/㈣=/(〃)

mn

由(I)知/(x)在(o,e)上单调递增，在(e,中»)上单调递减

且则1<〃<6<根

2

要证加〃>储，即证机>一>e>即证,即证/(〃)</

nJ,、〃>

n(2-lnn)

即日F1证F——ln〃<

n

由于即0<ln〃<l,即证e2]n〃v2〃2一〃2]n〃

令G(x)=/lnx-2f+x2lnx(l<x<e)

贝(JG<x)=J-4x+2xlnx+x=--x+2x(lnx_])=(e+x)(e_^+2x(lnx-l)

X〈X,X

\<x<e.,.G'(x)>0恒成立.•・6(同在(1,6)递增

.-.G(x)<G(e)=0在xe(1,e)恒成立

mn>e2

【点睛】

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明,

考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题,

属于难题.

吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等联谊校2020-2021学年高三第二学

期第五次月考数学

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔

将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.为计算5=1—2x2+3x22—4x23+...+100x（—2）",设计了如图所示的程序框图，则空白框中应

填入（）

（竿）

A.z<100B.z>100C.z<100D.z>100

2.已知向量a,力满足同=4,〃在。上投影为一2,则|"3可的最小值为（）

A.12B.10C.710D.2

3.已知呜）问05，匕…言卷，则（）

.cTC

A.2a+/?=耳B.cc/3——

C兀冗

C.a-j3=-D.a+2fi=-

4.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队

方