期末考测试（基础）

期末考测试（基础）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2021·安徽安庆·高一期末）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A． B．C． D．【答案】B【解析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，所以恰有2只做过测试的概率为，选B．2．（2021·江西·景德镇一中）在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角AD1C1C的大小等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如图，连接AD1，BC1，∵正方体ABCDA1B1C1D1中，D1C1⊥平面BCC1B1，∴D1C1⊥C1C，D1C1⊥C1B，则∠BC1C为二面角AD1C1C的平面角，等于45°．故选B．3．（2021·北京·首都师大二附高一期末）设在中,角所对的边分别为,若,则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.4．（2021·浙江·高一期末）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱，则所求角为，易得，因此，故选C．5．（2021·浙江浙江·高一期末）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】A：由正方体性质有AB∥NQ，面，面可知：面，排除；B、C：由正方体性质有AB∥MQ，面，面可知：面，排除；D：由正方体性质易知：直线AB不平行与面MNQ，满足题意.故选：D6．（2021·江苏常州·高一期末）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．7．（2021·广东·深圳外国语学校高一期末）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球【答案】B【解析】将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥．故选：B．8．（2021·福建宁德·高一期末）《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设田忌的上等马为，中等马为：，下等马为，齐王的上等马为，中等马为：，下等马为，双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：，，，，，，，，，共9种；其中田忌的马获胜的事件为：，，，共3种，所以田忌的马获胜的概率为：.故选：C.二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2021·海南·白沙黎族自治县白沙中学高一期末）在中，内角，，所对的边分别为，若，，，则（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由正弦定理，所以，又，，所以或.故选：CD.10．（2021·广东·揭阳第一中学高一期末）已知复数则（）A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限C． D．【答案】AD【解析】利用复数的相关概念可判断A正确；对于B选项，对应的点位于第四象限，故B错；对于C选项，，则，故C错；对于D选项，，则，故D正确.故选：AD11．（2021·黑龙江·大庆二中高一期末）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若m∥n，m∥α，则n∥αC．若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线【答案】AD【解析】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：对于A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；对于B，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于C，若m⊂α，n⊂β，则m，n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线，故D正确.故选：AD.12．（2021·山西·平遥县第二中学校高一月考）在中，，，，则角的可能取值为（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由余弦定理，得，即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以；当时，，此时为直角三角形，所以.故选：AD三、填空题（每题5分，4题共20分）13．（2021·江苏·高一课时练习）已知i是虚数单位，设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是，，则点C对应的复数是________.【答案】【解析】依题意得，，，，，四边形ABCD是平行四边形，，故点C对应的复数为.故答案为：14．（2021·吉林·延边二中高一月考）为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，三个年级学生人数之比依次为.已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为___________人.【答案】360【解析】由已知高一年级抽取的比例为，所以，得，故高三年级抽取的人数为．故答案为：36015．（2021·浙江·高一单元测试）已知随机事件，互斥，且，，则________.【答案】0.5【解析】随机事件，互斥，,.故答案为：0.5.16．（2021·山西·长治市潞城区第一中学校高一月考）已知向量，，，，若，则的最小值______.【答案】【解析】，，，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2021·江苏省郑集高级中学高一月考）已知复数．当实数m取什么值时，复数z是：（Ⅰ）虚数；（Ⅱ）纯虚数；（Ⅲ）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.【答案】（Ⅰ）且；（Ⅱ）；（Ⅲ），或.【解析】（Ⅰ），，当复数为虚数时，且，所以实数且时，复数为虚数；（Ⅱ）当复数为纯虚数时，，解得，所以当时，复数为纯虚数；（Ⅲ）当复数对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上时，，解得，或，所以，或时，复数对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上18．（2021·全国·高一课时练习）年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.组数分组“环保族”人数占本组的频率第一组第二组第三组第四组第五组（1）求、、的值；（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，并在这人中选取人作为记录员，求选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意得：；（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值为：；（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，从中选：人，分别记为、、、、，从中选：人，分别记为、、、，在这人中选取人作为记录员，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，选取的名记录员中至少有一人年龄在包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，因此，选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.19．（2021·广东·南方科技大学附属中学高一期中）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，（1）若为中点，证明：面（2）若点在面上投影在线段上，，证明：面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取中点为，连接，，则为中位线，且，又四边形是直角梯形，，且，四边形为平行四边形，所以，因为面，面，所以面.（2）在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，设点在面上投影在线段上，设为点，面，面，，又，，面.20．（2021·河北·深州长江中学高一期中）已知．（1）若向量，求的值；（2）若向量，证明：．【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）因为所以所以（2）因为所以.所以21．（2021·重庆市江津中学校高一月考）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）在正方形ABCD中，，又侧面底面ABCD，侧面底面，所以平面PAD，平面PAD，所以，是正三角形，M是PD的中点，所以，又，所以平面PCD.（2）取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，则，所以，又在正中，，平面PEF，∵正方形ABCD中，平面PEF，是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，由平面PAD，，平面PEF，平面PAD，.设正方形ABCD的边长，则，所以，所以,即侧面PBC与底面ABCD