41数列的概念-2022-2023学年高二数学讲义（人教A版2019选择性）

4.1数列的概念课程标准课标解读了解数列的有关概念（项、项的表示）；了解数列的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是特殊的函数.通过本节课的学习，要求会依据若干项求通项公式或某一项，能利用递推公式求解数列中的项或通项公式，并能借助数列的单调性求数列的最大项与最小项.知识点1数列及其有关概念1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．3.对数列概念的理解（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．（3）数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.【即学即练1】（2022·全国·高二课时练习）下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，，与数列，，是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列【解析】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.故选：D.【即学即练2】（2022·全国·高二课时练习）若数列的通项公式为，则关于此数列的图像叙述不正确的是（

）A．此数列不能用图像表示B．此数列的图像仅在第一象限C．此数列的图像为直线D．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点【解析】数列的通项公式为，它的图像就是直线上满足的一系列孤立的点.故选:D．知识点2数列的分类分类标准类型含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*)递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1<an(n∈N*)常数列各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)按其他标准周期数列一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列按其他标准有界(无界)数列任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列注：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项．(4)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．(5)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．【即学即练3】（2022·全国·高二课时练习）已知下列数列：①2，4，8，12；②0，，…，，…；③1，，…，，…；④1，，…，，…；⑤1，0，－1，…，sin，…；⑥6，6，6，6，6，6.其中，(1)递增数列是________；(2)递减数列是________.(填序号)【解析】对于①，因为，故①为增数列，对于②，数列的通项为，故，故，故为增数列，故②为增数列，对于③，数列的通项为，故，故为减数列，故③为减数列，对于④，因为，故此数列既不是增数列，也不是减数列.对于⑤，该数列的第4项为，故该数列的前4项为：，而，故⑤中数列既不是增数列，也不是减数列，而⑥中数列为常数列，故答案为：①②，③.知识点3数列的表示方法1．列表法列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：序号n123…n…项ana1a2a3…an…2．图象法在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．3．通项公式法如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．4．递推公式法如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．注：常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n.(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n.(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1.(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n.(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n.(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1.【即学即练4】（2022·全国·高二课时练习）数列的通项公式是（，），这个数列从第______项起各项均为正数．【解析】由题意，数列的通项公式是，令，即，解得或，因为，所以且，所以这个数列从第7项起各项均为正数．故答案为：.【即学即练5】（2022·江苏·高二课时练习）已知数列．(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？【解析】(1)解：由题意数列，令，可得数列的第为；令，可得数列的第为.所以数列的第为，第为.(2)解：令，即，解得，所以是数列的第项.【即学即练6】（2022·全国·高二课时练习）若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（

）．A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项【解析】因，因此符合题意的一个通项公式为，由解得：，所以是这个数列的第15项.故选：D【即学即练7】（2022·全国·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)，，，；(2)，，，；(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．【解析】（1）4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（2）4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（3）4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（4）4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，依次可写为，所以给定4项都满足的一个通项公式为.【即学即练8】（2022·山东东营·高二期末）已知数列，则是这个数列的（

）A．第1011项 B．第1012项 C．第1013项 D．第1014项【解析】由数列，可得，令，解得，所以是这个数列的第1012项.故选：B.【即学即练9】（2022·辽宁·高二期中）在数列中，，，则（

）A． B． C．－3 D．2【解析】因为，，所以，所以，所以．故选：C知识点4数列的前n项和Sn与an的关系1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．数列的前项和和通项的关系：则特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．【即学即练10】（2022·浙江·高二期末）已知数列的前项和，则______.【解析】当时，；当时，.所以，所以.故答案为：【即学即练11】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前项和为，，则该数列的通项公式______；若为严格递减数列，则实数的取值范围是______．【解析】当时，；当且时，；若，则满足；此时；若，则不满足，此时.综上所述：或；当时，，满足为严格递减数列，当时，若，则，满足严格递减；若为严格递减数列，只需，即，解得：且；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：或；.【即学即练12】（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）已知对任意，则的值为（

）A． B． C． D．【解析】因为对任意，所以当时，，当时，得，两式相减得，即，又适合上式，所以，所以.故选：A知识点5数列的性质（1）数列的单调性递增数列、递减数列或是常数列；在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))数列的周期性.根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．【即学即练13】（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（

）A． B． C． D．【解析】由，得，，，，．又，，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．故选：B．【即学即练14】（2022·全国·高二课时练习）在数列中，已知，，则（

）A．11 B．0 C．1 D．2【解析】由，得，所以，，，，又的值以4为周期循环出现，所以数列是以4为周期的数列，所以（项数较大，可先考虑周期性）．故选：C．【即学即练15】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（

）A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若为递增数列，则，即，得，又，所以，所以，所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件．故选：A.考点一数列的有关概念和分类解题方略：1、判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．2、判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．【例11】（2022·全国·高二课时练习）现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B变式1：（2022·全国·高二课时练习）下列说法：①数列，，，与，，，是相同数列；②数列，，，可表示为；③数列，，，，…的一个通项公式为；④数列，，，，…是常数列；⑤数列是严格递增数列，其中正确的是______．（填编号）【解析】对于①，数列中的项是有序的，，，，与，，，项的排序不同，不是相同数列，①错误；对于②，表示集合，其中元素无序；数列，，，，各项是有序的，不可以用来表示，②错误；对于③，当时，，不是该数列的一个通项公式，③错误；对于④，常数列是指各项均为同一常数的数列，④错误；对于⑤，若，则，，数列是严格递增数列，⑤正确.故答案为：⑤.变式2：（2022·全国·高二课时练习）下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（

）A．… B．…C．… D．【解析】对于选项A：数列是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；故选项A不正确；对于选项B：数列是无穷数列，但它不是递增数列；故选项B不正确；对于选项C：数列是无穷数列，也是递增数列；故选项C正确；对于选项D：数列是递增数列，但不是无穷数列，故选项D不正确；故选：C考点二判断或者写出数列的项解题方略：对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.2、(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝eq\f(1＋（－1）n＋1,2)或an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))，甚至分段形式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n是奇数，,0，n是偶数))等.4、递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．（一）根据规律填写数列中的某项【例21】（2022·全国·高二期末）数列，，，，的第14项是_________．【解析】不妨设数列为，则，，，，由此归纳得到的一个通项公式为，所以；故答案为：变式1：（2022·全国·高二课时练习）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第10个图有______个点．【解析】图（1）只有1个点，无分支；图（2）除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；图（3）除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；图（4）除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点……猜想第个图除中间1个点外，有个分支，每个分支有个点，故第个图点的个数为，故第10个图点的个数为．故答案为：91.变式2：（2022·广西·高二学业考试）一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（

）A．1 B．6 C．10 D．20【解析】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：.故选：C变式3：（2022·河南驻马店·高二期中（理））如果正整数排列规律如下：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15）……则第十个括号内从左到右第3个数是（

）A．39 B．46 C．47 D．48【解析】由排列的规律可得，第个括号最后一个数为，所以第九个括号最后一个数为45，则第十个括号内从左到右第3个数是48．故选：D.根据通项公式写出项【例22】（2022·全国·高二课时练习）已知点在直线上，则数列的通项公式______；依次写出数列的前3项为______．【解析】因点在直线上，则，所以数列的通项公式是，.故答案为：；3，5，7变式1：（2022·天津河北·高二期末）已知数列的通项公式，则数列的前5项为______.【解析】因为，所以数列的前5项为.故答案为：变式2：（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式．（1）______（选填“是”或“不是”）数列中的项；（2）这个数列第______项起各项都为负数．【解析】令，即，所以，所以不是数列中的项；由数列函数属性可知，，，因为，，所以，这个数列第5项起各项都为负数.故答案为：不是；.变式3：（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则它的前五项依次为______．【解析】因为数列的通项公式为，所以，，故答案为：1，1，2，2，3变式4：（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，从第______项起各项均大于．【解析】令，即，解得：或，又，从第项起，各项均大于.故答案为：.根据项写出通项公式【例23】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．（1）1，3，7，15，31，…；（2）4，44，444，4444，…；（3）－1，3，－5，7，－9，…；（4）2，－，，－，，－，…；（5）1，2，1，2，1，2，….【解析】（1）由题意，数列的前几项为：1，3，7，15，31，…，可得各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为，故原数列的通项公式为.（2）由数列的前几项为：4，44，444，4444，…各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1000，…，新数列的通项为，故原数列的通项公式为．（3）所给数列有这样几个特点：①符号正、负相间；②整数部分构成奇数列；③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；④分数部分的分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为，所以.（4）数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，再把各分母分别加上1，数列又变为，所以.(5)由1，2，1，2，1，2，，可写成分段函数的形式：.变式1：（2022·全国·高二课时练习）（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______；（2）数列，，，，…的一个通项公式为=______；（3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______．【解析】（1）所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，，，（分式中应分别考虑分子、分母的特征），所以数列的一个通项公式为．（2）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为．（3）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为．故答案为：；；．变式2：（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，写出各数列的前4项，并归纳猜想数列的通项公式．(1)，（，）；(2)，（，）；(3)，，（，）．【解析】(1)解：归纳猜想.(2)解：归纳猜想.(3)解：，，，归纳猜想.（四）由递推公式求数列的指定项【例24】（2022·北京·高二期末）已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是（

）A．4 B．12 C．24 D．32【解析】由题意，，故选：B变式1：（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）数列满足，，则等于（

）A． B． C．2 D．【解析】因为，，所以，，，，，…，所以数列是周期数列，周期为3，所以，所以.故选：A.变式2：（2022·广东佛山·高二期末）已知数列满足，，则______．【解析】由题设，，所以，又，所以.故答案为：.变式3：（2022·辽宁·高二阶段练习）已知数列满足，且，则___________.【解析】因为，且，所以，解得，，解得，，解得．故答案为：．变式4：（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，.若数列是常数列，则（

）A． B． C． D．【解析】∵数列满足，，∴.∵数列是常数列，∴，解得.故选：A.考点三数列的单调性解题方略：解决数列单调性问题的三种方法数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用.解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组求.(1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．(2)作商比较法：根据eq\f(an＋1,an)(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断；①当an>0时，eq\f(an＋1,an)>1⇔数列{an}是单调递增数列；eq\f(an＋1,an)<1⇔数列{an}是单调递减数列；eq\f(an＋1,an)＝1⇔数列{an}是常数列．②当an<0时，eq\f(an＋1,an)>1⇔数列{an}是单调递减数列；eq\f(an＋1,an)<1⇔数列{an}是单调递增数列；eq\f(an＋1,an)＝1⇔数列{an}是常数列．函数法：结合相应的函数图象直观判断．【例31】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式是，则（

）A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列【解析】因为，所以是递增数列.故选：C.变式1：（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二期中）已知函数，设数列的通项公式为，其中.(1)求的值；(2)求证：；(3)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由.【解析】(1)解：由题得，所以.(2)解：由题意得，因为为正整数，所以，所以.(3)解：由题得是递增数列，证明：，所以是递增数列.【例32】（2022·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（

）A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．【解析】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，所以对于都成立，所以对于都成立，即，所以对于都成立，所以对于都成立，所以，即的取值范围是，故选：D变式1：（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【解析】由题意可得，解得故选：D.考点四数列的最值解题方略：求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项；(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an>0时，\f(an＋1,an)>1))，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an>0时，\f(an＋1,an)<1))，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．【例41】（2022·全国·高二课时练习）已知，求数列的最小值.【解析】因为二次函数的对称轴为，故在上，为增函数，而，故当时，为递增数列，故当时，的最小值为.变式1：（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求数列中的最大项．【解析】解法一：（作差比较法）：，当时，，即；当时，，即；当时，，即．所以，，所以数列中的最大项为或，且；解法二（作商比较法）：，令，解得；令，解得；令，解得．又，故，，所以数列中的最大项为或，且．变式2：（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，(1)依次写出数列的前项；(2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项．【解析】(1)由题意得：，，，，.(2)，当时，且递增；当时，且递增；；.变式3：（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，若为该数列的最小项，则______．【解析】令，解得：；当且时，，则递减；当且时，，则递增；又，，，即或.故答案为：或.考点五数列的周期性解题方略：解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解.待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”.【例51】（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，，则等于（

）．A． B． C． D．2【解析】由，可得：，故数列为周期性数列，每3项为一循环，而，故，故选：C变式1：（2022·广东·深圳市建文外国语学校高二期中）对于数列，，，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．2【解析】对于数列，，，，所以；；；；；；；……故数列的各项依次为1，2，3，1，2，3，1，2，3，1，2，3，……所以数列是以6为周期的周期数列.所以.故选：C变式2：（2022·河南·高二阶段练习（文））已知数列满足，，则（

）A．0 B． C． D．【解析】因为数列满足，，所以，，，，……由此归纳得数列是周期数列，数列的周期为3.所以.故选：B变式3：（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，，则的值为______．【解析】因为，，所以当时，，，得，当时，，，得，当时，，，得，所以数列为周期为3的周期数列，所以，故答案为：考点六利用Sn与an的关系求通项公式解题方略：1、已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写2、Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．【例61】（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【解析】当时，，当时，，∴当时，，当时，，∴A，B均错误；又当时，，当时，，∴D正确，故选：D．变式1：（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【解析】当时，，；当时，，不符合，则.故选：B.变式2：（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为______．【解析】因为，所以，即．当时，，当时，，显然不满足上式.所以．故答案为：.变式3：（2022·广东珠海·高二期末）已知数列，满足，则_______.【解析】由题意，，两式相减得，．故答案为：．变式4：（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求Sn；(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，又＝＝2，所以是首项为2，公差为2的等差数列．可得＝2n，所以Sn＝.(2)由(1)可得,当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－；当n＝1时，a1＝，不符合an＝－.

故题组A基础过关练1．【多选】（2022·全国·高二课时练习）下列结论中正确的是（

）A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点C．数列的项数是无限的D．数列是递增数列【解析】由数列的定义知，数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集，选项A，B正确；由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不正确；对于，得到，所以，数列是递增数列，D正确.故选：ABD2．（2022·全国·高二课时练习）给出下列命题：①已知数列，，则是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列，…的一个通项公式是；③已知数列，，且，则；④已知，则数列为递增数列．其中正确命题的个数为______．【解析】对于①中，令，解得，且数列为递减数列，所以最大项为第1项，所以①正确；对于②中，数列，，，，…的一个通项公式为，所以原数列的一个通项公式为，所以②正确；对于③中，由且，即，解得，所以，所以，所以③正确；对于④中，由，可得，即，所以数列为递增数列，所以④正确．故答案为：.3．（2022·海南华侨中学高二期中）数列中，，，，则（

）A． B．11 C． D．12【解析】因为，，，所以，；故选：D4．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）已知数列的前n项和为，对任意的都有，则的值为（

）A．2 B．1 C．1 D．0【解析】在中，令可得，，即所以，令，可得故选：C5．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知数列的前n项和为，则“为常数列”是“，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】数列为常数列，则，，，，，则当时，，即，有，因此，，，数列为常数列，所以“为常数列”是“，”的充分必要条件.故选：C6．（2022·全国·高二单元测试）如果数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为______．【解析】由题，观察图形，第个图比第n个图多了4条边，每条边有个端点，由于边与边有1端点重合，即第个图比第n个图多了个点，设第n个六边形数为，则，.则，∴第10个六边形数为故答案为：1907．（2022·全国·高二课时练习）已知，若数列中最小项为第3项，则______．【解析】因为开口向上，对称轴为，则由题意知，所以．故答案为：.8．（2022·北京市房山区房山中学高二期中）已知数列的前项和为，若点在函数的图象上，则数列的通项公式___________.【解析】由题，点在函数的图象上，则，，，当时，符合，所以，故答案为：题组B能力提升练9．（2022·全